六,离散系统的系统函数、
系统的频率响应
LSI系统的 系统函数 H(z)：
单位抽样响应 h(n)的 z变换
()( ) [ ( )] ( )
()
n
n
YzH z Z T h n h n z
Xz


其中,y(n)=x(n)*h(n) Y(z)=X(z)H(z)
系统的 频率响应,()jHe?
( ) ( ) [ ( ) ]jj zeH e H z D T F T h n
单位圆上的系统函数单位抽样响应 h(n)的 Fourier变换
1、因果稳定系统稳定系统的系统函数 H(z)的 Roc须包含单位圆，
即频率响应存在且连续
H(z)须从单位圆到 的整个 z域内收敛即系统函数 H(z)的全部极点必须在单位圆内
xRz1）因果：
2）稳定：
()
n
hn

序列 h(n)绝对可和，即
() n
n
h n z

而 h(n)的 z变换的 Roc：
1 z3）因果稳定,Roc：
/ 4 / 4 / 6 / 6
0,2,0,2,0,4,2,2,1,5
j j j j
e e e e

例：一系统的极点有：
问什么情况下，系统为因果系统，
什么情况下，系统为稳定系统
Re[ ]z
Im[ ]jz
0 1
40.2 je?
40.2 je
0.4 1.5
62 je?
62 je 2z?解：因果系统,
0,4 1,5z稳定系统：
2、系统函数与差分方程常系数线性差分方程：
00
( ) ( )
NM
km
km
a y n k b x n m


00
( ) ( )
NM
km
km
km
a z Y z b z X z


1
01
1
01
( 1 )
( ) ( ) / ( )
( 1 )
MM
m
mm
mm
NN
k
kk
kk
b z c z
H z Y z X z K
a z d z







取 z变换则系统函数
L S I
3 1 1
( ) ( 1 ) ( 2 ) ( ) ( 1 )
4 8 3
( ) ( )
1
2
3
y n y n y n x n x n
x n y n

例：已知离散 系统的差分方程：
其中,为输入,为输出。
）求系统函数，指出系统的零极点；
）若该系统是因果稳定的，指出系统的收敛域；
）求该因果稳定系统的单位抽样响应。
z解：1 ）对差分方程两边取 变换：
1 2 13 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )
4 8 3Y z z Y z z Y z X z z X z

11
12 11
11
11
() 33
()
31 11()
1 11
48 24
zz
Yz
Hz
Xz
zz zz







1 1 1,0,
3 2 4zz零点,极点：
系统函数：
2
1
2
z?
）由于系统为因果稳定系统，
故收敛域,Re[ ]z
Im[ ]jz
0
0.5
0.25 1
1/3?

1
11
1
3
1
1
3
11
11
24
11
24
zz
Hz
z
z
z zz









12
1
3
1111
2424
z
Hz AA
z
zzzz







1
1
2
1
2
1
1 1 03
1123
24
z
z
z
Hz
A R e s z
z
zz?





3 ) H(z ) h (n) 对 求z 反变换即得单位抽样响应,
用部分分式法

2
1
4
1
4
1
17 3
1143
24
z
z
z
Hz
A R e s z
z
zz?




10 7
33()
11
24
zz
Hz
zz


1,2 - 1
2R o c z?根据,查表 得
1 0 1 7 1() 3 2 3 4
nn
h n u n



3、系统的频率响应的意义
1） LSI系统对复指数序列的稳态响应：
() jnx n e n
()( ) ( ) ( )j n m j n j m
mm
y n h m e e h m e




()j n je H e
0( ) c o s ( )x n A n
00 0( ) ( ) c o s { a r g [ ( ) ] }jjy n A H e n H e
2） LSI系统对正弦序列的稳态响应输出同频 正弦序列幅度受频率响应幅度 加权相位为输入相位与系统相位响应之和
()jHe?
0?
3） LSI系统对任意输入序列的稳态响应
( ) ( ) * ( )y n x n h n?
( ) ( ) ( )j j jY e X e H e
1( ) ( ) ( )
2
j j j ny n H e X e e d

1( ) ( )
2
j j nx n X e e d

其中：
1 ()
2
j j nX e e d
微分增量（复指数）：
4、频率响应的几何确定法利用 H(z)在 z平面上的零极点分布
1
()11
1
11
( 1 ) ( )
()
( 1 ) ( )
MM
mm
NMmm
NN
kk
kk
c z z c
H z K K z
d z z d







( ) a r g [ ( ) ]1
1
()
( ) ( )
()
j
M
j
m
j j N M j j H em
N
j
k
k
ec
H e K e H e e
ed



频率响应：
则频率响应的
mjjm m mc e c e
kjjk k kd e d l e
11
a r g[ ( ) ] a r g[ ] ( )
MN
j
mk
mk
H e K N M


令幅角：
1
1
()
M
m
j m
N
k
k
H e K
l
幅度：
零点位置影响凹谷点的位置与深度
– 零点在单位圆上，谷点为零
– 零点趋向于单位圆，谷点趋向于零
极点位置影响凸峰的位置和深度
– 极点趋向于单位圆，峰值趋向于无穷
– 极点在单位圆外，系统不稳定
( ) ( )nh n a u n
( ) ( ) ( 1 ) 1y n x n a y n a a
例：设一阶系统的差分方程：
,为实数求系统的频率响应。
1
z
( ) 1
( )
( ) 1
Yz
H z z a
X z az?

解：两边求 变换，得
11()
1 ( 1 c o s ) sin
j
jHe a e a ja

2 1 / 2( ) ( 1 2 c o s )
sin
a r g [ ( ) ] a r c ta n
1 c o s
j
j
H e a a
a
He
a


幅度响应：
相位响应：
2( ) ( ) ( 1 ) ( 2 ),.,y n x n a x n a x n
例：设系统的差分方程：
1
1
0
( 1 ) ( )
M
Mk
k
a x n M a x n k
1MM?这就是 个单元延时及 个抽头加权后相加所组成的电路，常称之为横向滤波器，
求其频率响应。
2 1,2,.,,,1ji
Miz a e i M
零点：,
1
11
0
( ) ( ) z
1
( ) 0
1 ( )
M M M MM
kk
M
k
x n n
a z z a
H z a z z
az z z a





解：令,两边取 变换
( ) ( )
01
()
0
n
n h n
a n M
hn
n


当输入为,则输出为其它
0 ( 1 )z M z a极点：,阶,处零极点相消
5,IIR系统和 FIR系统无限长单位冲激响应（ IIR）系统：
单位冲激响应 h(n)是无限长序列有限长单位冲激响应（ FIR）系统：
单位冲激响应 h(n)是有限长序列
00
01
()
1
MM
mm
mm
mm
NN
kk
kk
kk
b z b z
Hz
a z a z







0ka?IIR系统：至少有一个
0ka?FIR系统：全部
0b全极点系统：分子只有常数项
0b零极点系统：分子不止常数项收敛域 内无极点，是全零点系统0 z
00
( ) ( ) ( )
MN
mk
mk
y n b x n m a y n k


0ka?IIR系统：至少有一个有反馈环路，采用递归型结构
0ka?FIR系统：全部无反馈环路，多采用非递归结构