四、连续时间信号的抽样
( ) ( )aax t x t?
( ) ( ) ( )a a Tx t x t p t
0
( ) ( ) ( )a a Tx t x t t
当讨论：
采样前后信号频谱的变化
什么条件下，可以从采样信号不失真地恢复出原信号
1、理想抽样冲激函数：
( ) ( ) ( ) ( ) ( )a a T a
m
x t x t t x mT t mT
0
()aXj?求理想抽样的频谱
( ) ( )T
m
t t mT
理想抽样输出：
1 ( ) ( )
2 aTX j j j d
2( ) [ ( ) ] ( )
T T s
k
j DT FT t kT
1( ) [ ( ) ] [ ( ) * ( ) ]
2a a a TX j DT FT x t X j j
12[ ( ) ( ) ]
2 as kX j k dT
1 ( ) ( )
as
k
X j k dT
1 ()
as
k
X j jkT
( ) [ ( ) ] ( ) jta a aX j DT FT x t x t e dt
()
21
sjk t
Tk
k
ss
t A e
f
TT
其中,为级数的基频,为采样频率
2211 ( ) ( )ssTT j k t j k t
kT
m
A t e dt t mT e dtTT
系数,
1( ) [ ( ) ] [ ]sjk t
TT
k
j DTFT t DTFT eT?
其频谱：
122 ( ) ( )
ss
kk
kkTT
2
2
11() sT jk t
T t e d tTT?
1() sjk t
T
k
teT?
()11 ssj k t j k tjte e d t e d t?
抽样信号的频谱是模拟信号频谱以抽样频率为周期进行周期延拓而成
频谱幅度是原信号频谱幅度的 1/T倍
若信号的最高频率 2
2
s
h
s
,
为折叠频率则延拓分量产生频谱混叠奈奎斯特抽样定理要想抽样后能够不失真地还原出原信号，则抽样频率必须大于两倍信号谱的最高频率
22s h s hff 即
2、抽样的恢复利用低通滤波器还原满足奈奎斯特抽样定理的抽样信号。
2
()
0
2
s
s
T
Hj
ΩΩs/2-Ωs/2
T
0
H(jΩ)
H[jΩ]
()aXj? ()aYj?
理想低通滤波器,
( ) ( ) ( ) ( )a a aY j X j H j X j
( ) ( )aax t x t?
1( ) ( )
2
jth t H j e d
( ) ( ) ( ) ( )a a ay t x t x h t d
s i n [ ( )]
( ) ( ) ( )
()
aa
mm
t mT
Tx mT h t mT x mT
t mT
T
s i n( ) s i n( )
2
2
2
s
s
s
jt
s
tt
T T
ed
tt
T
[ ( ) ( ) ] ( )a
m
x mT h t d
( ) ( ) ( )a
m
x h t mT d
输出：
讨论
( ) ( )aax m T x t信号的抽样值 经内插函数得到连续信号
s i n[ ( )]
()
()
t mT
Th t mT
t mT
T
内插函数：
3、实际抽样
抽样脉冲不是冲激函数，而是一定宽度的矩形周期脉冲
() sjk tTk
k
p t C e
( ) ( )a k a s
k
X j C X j jk
其中系数 Ck随 k变化
抽样信号频谱
抽样信号的频谱是连续信号频谱的周期延拓，
周期为 Ωs
若满足奈奎斯特抽样定理，则不产生频谱混叠失真
抽样后频谱幅度随着频率的增加而下降
幅度变化并不影响信号恢复，只要取
0? ( ) ( )aaX j C X j2s
0C T
00
( ) s in ( 2 ) 50
8
1 ( )
2 200
()
3 ( ) ( )
()
a
a
s
a
a
x t f t f Hz
xt
f Hz
xt
x t x n
xn
例：模拟信号,其中
）求 的周期，采样频率应为多少？采样间隔应为多少？
）若选采样频率,采样间隔为多少？
写出采样信号 的表达式；
）画出对应 的时域离散信号 的波形，
并求出 的周期。
解：
0 50f H z?1 ）由,得
00( ) 1 / 0,0 2ax t T f s的周期为,
02 1 0 0sf f H z采样频率应,
1 / 0,0 1sT f s采样间隔应为：
2 2 0 0sf H z?）选
1 / 0,0 0 5sT f s则采样间隔为：
00( ) s i n ( 2 / 8 ) s i n ( 2 / / 8 )asx n T f n T f n f
50 1si n( 2 / 8 ) si n( / 8 )
20 0 2nn
( ) ( ) ( )aa
n
x t x n T t n T
1s i n( ) ( )
2 8 20 0n
nnt
1( ) ( ) si n( )
28a t nTx n x t n
0
22 4
1 / 2
N
k
4N? 为最小正整数
( ) 4x n N的周期为
4、正弦信号的抽样连续时间正弦信号：
00( ) s i n ( ) s i n ( 2 )x t A t A f t
02sff?取 时,( ) s i n ( )x n A n
0当 ( ) s i n ( )x n A n ( 0 ) ( 1 ) 0xx
/2当 ( ) s i n ( / 2 )x n A n
( 0) ( 1 )x A x A
02sff对正弦信号采样，须满足
( ) ( )aax t x t?
( ) ( ) ( )a a Tx t x t p t
0
( ) ( ) ( )a a Tx t x t t
当讨论：
采样前后信号频谱的变化
什么条件下，可以从采样信号不失真地恢复出原信号
1、理想抽样冲激函数：
( ) ( ) ( ) ( ) ( )a a T a
m
x t x t t x mT t mT
0
()aXj?求理想抽样的频谱
( ) ( )T
m
t t mT
理想抽样输出：
1 ( ) ( )
2 aTX j j j d
2( ) [ ( ) ] ( )
T T s
k
j DT FT t kT
1( ) [ ( ) ] [ ( ) * ( ) ]
2a a a TX j DT FT x t X j j
12[ ( ) ( ) ]
2 as kX j k dT
1 ( ) ( )
as
k
X j k dT
1 ()
as
k
X j jkT
( ) [ ( ) ] ( ) jta a aX j DT FT x t x t e dt
()
21
sjk t
Tk
k
ss
t A e
f
TT
其中,为级数的基频,为采样频率
2211 ( ) ( )ssTT j k t j k t
kT
m
A t e dt t mT e dtTT
系数,
1( ) [ ( ) ] [ ]sjk t
TT
k
j DTFT t DTFT eT?
其频谱：
122 ( ) ( )
ss
kk
kkTT
2
2
11() sT jk t
T t e d tTT?
1() sjk t
T
k
teT?
()11 ssj k t j k tjte e d t e d t?
抽样信号的频谱是模拟信号频谱以抽样频率为周期进行周期延拓而成
频谱幅度是原信号频谱幅度的 1/T倍
若信号的最高频率 2
2
s
h
s
,
为折叠频率则延拓分量产生频谱混叠奈奎斯特抽样定理要想抽样后能够不失真地还原出原信号，则抽样频率必须大于两倍信号谱的最高频率
22s h s hff 即
2、抽样的恢复利用低通滤波器还原满足奈奎斯特抽样定理的抽样信号。
2
()
0
2
s
s
T
Hj
ΩΩs/2-Ωs/2
T
0
H(jΩ)
H[jΩ]
()aXj? ()aYj?
理想低通滤波器,
( ) ( ) ( ) ( )a a aY j X j H j X j
( ) ( )aax t x t?
1( ) ( )
2
jth t H j e d
( ) ( ) ( ) ( )a a ay t x t x h t d
s i n [ ( )]
( ) ( ) ( )
()
aa
mm
t mT
Tx mT h t mT x mT
t mT
T
s i n( ) s i n( )
2
2
2
s
s
s
jt
s
tt
T T
ed
tt
T
[ ( ) ( ) ] ( )a
m
x mT h t d
( ) ( ) ( )a
m
x h t mT d
输出：
讨论
( ) ( )aax m T x t信号的抽样值 经内插函数得到连续信号
s i n[ ( )]
()
()
t mT
Th t mT
t mT
T
内插函数：
3、实际抽样
抽样脉冲不是冲激函数，而是一定宽度的矩形周期脉冲
() sjk tTk
k
p t C e
( ) ( )a k a s
k
X j C X j jk
其中系数 Ck随 k变化
抽样信号频谱
抽样信号的频谱是连续信号频谱的周期延拓，
周期为 Ωs
若满足奈奎斯特抽样定理，则不产生频谱混叠失真
抽样后频谱幅度随着频率的增加而下降
幅度变化并不影响信号恢复，只要取
0? ( ) ( )aaX j C X j2s
0C T
00
( ) s in ( 2 ) 50
8
1 ( )
2 200
()
3 ( ) ( )
()
a
a
s
a
a
x t f t f Hz
xt
f Hz
xt
x t x n
xn
例：模拟信号,其中
）求 的周期，采样频率应为多少？采样间隔应为多少？
）若选采样频率,采样间隔为多少？
写出采样信号 的表达式；
）画出对应 的时域离散信号 的波形，
并求出 的周期。
解：
0 50f H z?1 ）由,得
00( ) 1 / 0,0 2ax t T f s的周期为,
02 1 0 0sf f H z采样频率应,
1 / 0,0 1sT f s采样间隔应为：
2 2 0 0sf H z?）选
1 / 0,0 0 5sT f s则采样间隔为：
00( ) s i n ( 2 / 8 ) s i n ( 2 / / 8 )asx n T f n T f n f
50 1si n( 2 / 8 ) si n( / 8 )
20 0 2nn
( ) ( ) ( )aa
n
x t x n T t n T
1s i n( ) ( )
2 8 20 0n
nnt
1( ) ( ) si n( )
28a t nTx n x t n
0
22 4
1 / 2
N
k
4N? 为最小正整数
( ) 4x n N的周期为
4、正弦信号的抽样连续时间正弦信号：
00( ) s i n ( ) s i n ( 2 )x t A t A f t
02sff?取 时,( ) s i n ( )x n A n
0当 ( ) s i n ( )x n A n ( 0 ) ( 1 ) 0xx
/2当 ( ) s i n ( / 2 )x n A n
( 0) ( 1 )x A x A
02sff对正弦信号采样，须满足
