第二章学习目标
掌握 z变换及其收敛域，掌握因果序列的概念及判断方法
会运用任意方法求 z反变换
理解 z变换的主要性质
理解 z变换与 Laplace/Fourier变换的关系
掌握序列的 Fourier变换并理解其对称性质
掌握离散系统的系统函数和频率响应，系统函数与差分方程的互求，因果 /稳定系统的收敛域本章作业练习
P83:
1(2)(3)
2
3(1)(2)
6
7(1)(3)
9
10(a)(b)(c)
11(a)(b)
13
14
17
第二章 z变换
时域分析方法
变换域分析方法：
连续时间信号与系统
Laplace变换
Fourier变换离散时间信号与系统
z变换
Fourier变换一,z变换的定义及收敛域
1,z变换的定义序列 x(n)的 z变换定义为：
( ) [ ( ) ] ( ) n
n
X z Z T x n x n z
z 是复变量，所在的复平面称为 z平面例：
1 2 3( ) 2 1 1,5 +0,5X z z z z z
2,z变换的收敛域与零极点
对于任意给定序列 x(n)，使其 z变换 X(z)
收敛的所有 z值的集合称为 X(z)的收敛域。
级数收敛的充要条件是满足绝对可和
() n
n
x n z M
()()
()
PzXz
Qz?令
X( z ) X( z ) =0
( ) 0 ( ) ( ) ( )P z Q z P z Q z
则 的零点：使 的点,
即 和当 阶次高于 时
X( z ) X( z )
( ) 0 ( ) ( ) ( )Q z P z Q z P z
的极点：使 的点，
即 和当 阶次高于 时
1）有限长序列
12()()
0
x n n n nxn
n
其它
2
1
Z ( ) ( )
n
n
nn
X z x n z?
其 变换：
0R o c z至少为,Re[ ]z
Im[ ]jz
0
120nn
11 ( 1 ) 111( ) ( ) ( 1 ) ( 1 )nnX z x n z x n z x z
22( 1 )01 22( 0 ) ( 1 ) ( 1 ) ( )nnx z x z x n z x n z
210
:0
nn
R o c z
120 nn 00
:0
nn
R o c z
00
:0
nn
R o c z
12 0nn
2）右边序列
1
1
()()
0
x n n nxn
nn
1
1
0
Z ( ) ( ) ( )nn
n n n
X z x n z x n z
其 变换：
R o c,0 z前式
R o c,xRz后式
1
1
0:
0:
x
x
n R o c R z
n R o c R z
当 时，
当 时，
Re[ ]z
Im[ ]jz
0
xR?
z包括 处
1 0n?
因果序列
的右边序列，
Roc,
因果序列的 z变换必在 处收敛
在 处收敛的 z变换，
其序列必为因果序列
1 0n?
xRz
Re[ ]z
Im[ ]jz
0
xR?
z包括 处
3）左边序列
2
2
0()
()
nnxn
x n n n
20
1
( ) ( ) ( )
n
nn
nn
z X z x n z x n z
其 变换：
R o c,0 xzR前式
R o c,0 z后式
2
2
0,0
0,0
x
x
n R o c z R
n R o c z R
当 时，
当 时，
Re[ ]z
Im[ ]jz
0 xR?
2 0n?
4）双边序列
n 为任意值时皆有值
1
0
z ( ) ( ) ( )nn
nn
X z x n z x n z
其 变换：
R o c,0 xzR前式
R o c,xRz后式
:
:
xx
x x x x
R R R o c
R R R o c R z R
当 时，
当 时，
Re[ ]z
Im[ ]jz
0
xR?
xR?
1 ( ) ( ) zNx n R n?例：求 的 变换及其收敛域
Re[ ]z
Im[ ]jz
0
X( z ) = ( ) = ( )nn N
nn
x n z R n z
解：
1
0
=
N
n
n
z
2 1,...,1rj
Nz e r N
零点：
01zN极点,（ ）阶
,0R o c z
122
1
1
1
nnn
n
nn
qqq
q
1
1
1
Nz
z
2 1nq时须满足
1
1
( 1 )
N
N
z
zz?
2 ( ) ( ) znx n a u n?例,求 的 变换及其收敛域
Re[ ]z
Im[ ]jz
0
a
0
X( z ) = ( ) = ( ) =n n n n n
n n n
x n z a u n z a z
解：
0z?零点：
za?极点：
,R o c z a?
1
1
1 az 1 1az当时
3 ( ) ( 1 ) znx n a u n例,求 的 变换及其收敛域
Re[ ]z
Im[ ]jz
0
a
X( z ) = ( ) = ( 1 )n n n
nn
x n z a u n z
解：
0z?零点：
za?极点：
,R o c z a?
1
11
1
11
az
a z a z
1 1az当时
11
== n n n n
nn
a z a z
4 ( ) znx n a a?例,求,为实数，求其 变换及其收敛域
1
0
X( z ) = ( ) = =nn n n n n n
n n n n
x n z a z a z a z
解：
10
= n n n n
nn
a z a z
1 1
nn
n
azaz
az
1 1 /a z z a
1
0
1
1
nn
n
az az
1 1a z z a
1 X ( )az当 时，无公共收敛域,不存在
Re[ ]z
Im[ ]jz
0
a
1/a
2
1
1 ( 1 )1 ( )
1 1 ( 1 ) ( )
az z aa X z
az az az z a?
当 时，
0,z零点：
1,z a a极点：
,< 1 /R o c a z a?
给定 z变换 X(z)不能唯一地确定一个序列，
只有同时给出收敛域才能唯一确定。
X(z)在收敛域内解析，不能有极点，故：
– 右边序列 的 z变换收敛域一定在模最 大 的有限极点所在圆 之外
– 左边序列 的 z变换收敛域一定在模最 小 的有限极点所在圆 之内
Re[ ]z
Im[ ]jz
0
a
b
c
Re[ ]z
Im[ ]jz
0
a
b
c
Re[ ]z
Im[ ]jz
0
a b
c
Re[]z
Im[ ]jz
0
a
b
c
掌握 z变换及其收敛域，掌握因果序列的概念及判断方法
会运用任意方法求 z反变换
理解 z变换的主要性质
理解 z变换与 Laplace/Fourier变换的关系
掌握序列的 Fourier变换并理解其对称性质
掌握离散系统的系统函数和频率响应，系统函数与差分方程的互求，因果 /稳定系统的收敛域本章作业练习
P83:
1(2)(3)
2
3(1)(2)
6
7(1)(3)
9
10(a)(b)(c)
11(a)(b)
13
14
17
第二章 z变换
时域分析方法
变换域分析方法：
连续时间信号与系统
Laplace变换
Fourier变换离散时间信号与系统
z变换
Fourier变换一,z变换的定义及收敛域
1,z变换的定义序列 x(n)的 z变换定义为：
( ) [ ( ) ] ( ) n
n
X z Z T x n x n z
z 是复变量，所在的复平面称为 z平面例：
1 2 3( ) 2 1 1,5 +0,5X z z z z z
2,z变换的收敛域与零极点
对于任意给定序列 x(n)，使其 z变换 X(z)
收敛的所有 z值的集合称为 X(z)的收敛域。
级数收敛的充要条件是满足绝对可和
() n
n
x n z M
()()
()
PzXz
Qz?令
X( z ) X( z ) =0
( ) 0 ( ) ( ) ( )P z Q z P z Q z
则 的零点：使 的点,
即 和当 阶次高于 时
X( z ) X( z )
( ) 0 ( ) ( ) ( )Q z P z Q z P z
的极点：使 的点，
即 和当 阶次高于 时
1）有限长序列
12()()
0
x n n n nxn
n
其它
2
1
Z ( ) ( )
n
n
nn
X z x n z?
其 变换：
0R o c z至少为,Re[ ]z
Im[ ]jz
0
120nn
11 ( 1 ) 111( ) ( ) ( 1 ) ( 1 )nnX z x n z x n z x z
22( 1 )01 22( 0 ) ( 1 ) ( 1 ) ( )nnx z x z x n z x n z
210
:0
nn
R o c z
120 nn 00
:0
nn
R o c z
00
:0
nn
R o c z
12 0nn
2）右边序列
1
1
()()
0
x n n nxn
nn
1
1
0
Z ( ) ( ) ( )nn
n n n
X z x n z x n z
其 变换：
R o c,0 z前式
R o c,xRz后式
1
1
0:
0:
x
x
n R o c R z
n R o c R z
当 时，
当 时，
Re[ ]z
Im[ ]jz
0
xR?
z包括 处
1 0n?
因果序列
的右边序列，
Roc,
因果序列的 z变换必在 处收敛
在 处收敛的 z变换，
其序列必为因果序列
1 0n?
xRz
Re[ ]z
Im[ ]jz
0
xR?
z包括 处
3）左边序列
2
2
0()
()
nnxn
x n n n
20
1
( ) ( ) ( )
n
nn
nn
z X z x n z x n z
其 变换：
R o c,0 xzR前式
R o c,0 z后式
2
2
0,0
0,0
x
x
n R o c z R
n R o c z R
当 时，
当 时，
Re[ ]z
Im[ ]jz
0 xR?
2 0n?
4）双边序列
n 为任意值时皆有值
1
0
z ( ) ( ) ( )nn
nn
X z x n z x n z
其 变换：
R o c,0 xzR前式
R o c,xRz后式
:
:
xx
x x x x
R R R o c
R R R o c R z R
当 时，
当 时，
Re[ ]z
Im[ ]jz
0
xR?
xR?
1 ( ) ( ) zNx n R n?例：求 的 变换及其收敛域
Re[ ]z
Im[ ]jz
0
X( z ) = ( ) = ( )nn N
nn
x n z R n z
解：
1
0
=
N
n
n
z
2 1,...,1rj
Nz e r N
零点：
01zN极点,（ ）阶
,0R o c z
122
1
1
1
nnn
n
nn
qqq
q
1
1
1
Nz
z
2 1nq时须满足
1
1
( 1 )
N
N
z
zz?
2 ( ) ( ) znx n a u n?例,求 的 变换及其收敛域
Re[ ]z
Im[ ]jz
0
a
0
X( z ) = ( ) = ( ) =n n n n n
n n n
x n z a u n z a z
解：
0z?零点：
za?极点：
,R o c z a?
1
1
1 az 1 1az当时
3 ( ) ( 1 ) znx n a u n例,求 的 变换及其收敛域
Re[ ]z
Im[ ]jz
0
a
X( z ) = ( ) = ( 1 )n n n
nn
x n z a u n z
解：
0z?零点：
za?极点：
,R o c z a?
1
11
1
11
az
a z a z
1 1az当时
11
== n n n n
nn
a z a z
4 ( ) znx n a a?例,求,为实数，求其 变换及其收敛域
1
0
X( z ) = ( ) = =nn n n n n n
n n n n
x n z a z a z a z
解：
10
= n n n n
nn
a z a z
1 1
nn
n
azaz
az
1 1 /a z z a
1
0
1
1
nn
n
az az
1 1a z z a
1 X ( )az当 时，无公共收敛域,不存在
Re[ ]z
Im[ ]jz
0
a
1/a
2
1
1 ( 1 )1 ( )
1 1 ( 1 ) ( )
az z aa X z
az az az z a?
当 时，
0,z零点：
1,z a a极点：
,< 1 /R o c a z a?
给定 z变换 X(z)不能唯一地确定一个序列，
只有同时给出收敛域才能唯一确定。
X(z)在收敛域内解析，不能有极点，故：
– 右边序列 的 z变换收敛域一定在模最 大 的有限极点所在圆 之外
– 左边序列 的 z变换收敛域一定在模最 小 的有限极点所在圆 之内
Re[ ]z
Im[ ]jz
0
a
b
c
Re[ ]z
Im[ ]jz
0
a
b
c
Re[ ]z
Im[ ]jz
0
a b
c
Re[]z
Im[ ]jz
0
a
b
c
