三、常系数线性差分方程用差分方程来描述时域离散系统的输入输出关系。
一个 N阶常系数线性差分方程表示为：
00
( ) ( )NMkm
km
a y n k b x n m


0 1 kma a b?,,是常数其中：
求解常系数线性差分方程的方法：
1）经典解法
2）递推解法
3）变换域方法例 1：已知常系数线性差分方程若边界条件求其单位抽样响应。
( ) ( 1 ) ( )y n a y n x n
( 1) 0y
( ) ( ) ( ) ( )
( 1 ) 0
x n n y n h n
y


解：令输入,则输出,
又已知
2
3
( ) ( 1 ) ( )
( 0) ( 1 ) ( 0) 1
( 1 ) ( 0) ( 1 )
( 2 ) ( 1 ) ( 2 )
( 3 ) ( 2 ) ( 3 )
( ) 0
n
y n ay n x n
y ay x
y ay x a
y ay x a
y ay x a
y n a n






由,得
，
1
( 1 ) [ ( ) ( ) ]
1
( 2 ) [ ( 1 ) ( 1 ) ] 0
1
( 3 ) [ ( 2 ) ( 2 ) ] 0
( ) 0 1
y n y n x n
a
y y x
a
y y x
a
y n n




由,得
，
( ) ( ) ( )nh n y n a u n
例 2：已知常系数线性差分方程同上例若边界条件求其单位抽样响应。
(0) 0y?
( ) ( ) ( ) ( )
( 0 ) 0
x n n y n h n
y

解：令输入,则输出,
又已知
( ) ( 1 ) ( )
( 1 ) ( 0) ( 1 ) 0
( 2 ) ( 1 ) ( 2 ) 0
( ) 0 1
y n ay n x n
y ay x
y ay x
y n n




由,得
，
1
2
3
1
( 1 ) [ ( ) ( ) ]
11
( 1 ) [ ( 0 ) ( 0 ) ]
1
( 2 ) [ ( 1 ) ( 1 ) ]
1
( 3 ) [ ( 2 ) ( 2 ) ]
( ) 1
n
y n y n x n
a
y y x a
aa
y y x a
a
y y x a
a
y n a n





由,得
，
( ) ( ) ( 1 )nh n y n a u n
例 3：已知常系数线性差分方程同上例若边界条件讨论系统的线性性和移不变性。
( 1) 1y
1 1 1( ) ( ) ( 1 ) 1 ( )x n n y y n解：1 ）令输入,由,求输出
1 1 1
1 1 1
1 1 1
2
1 1 1
3
1 1 1
1
( ) ( 1 ) ( )
( 0) ( 1 ) ( 0) 1
( 1 ) ( 0) ( 1 ) ( 1 )
( 2 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 1 )
( 3 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 1 )
( ) ( 1 ) 0
n
y n a y n x n
y a y x a
y a y x a a
y a y x a a
y a y x a a
y n a a n






由,得
，
1 1 1
1
1 1 1
2
1 1 1
1
1
1
( 1 ) [ ( ) ( ) ]
1
( 2 ) [ ( 1 ) ( 1 ) ]
1
( 3 ) [ ( 2 ) ( 2 ) ]
( ) 1
n
y n y n x n
a
y y x a
a
y y x a
a
y n a n




由,得
，
11 ( ) ( 1 ) ( ) ( 1 )nny n a a u n a u n
2 2 2( ) ( 1 ) ( 1 ) 1 ( )x n n y y n2 ）令输入,由,求输出
2 2 2
2 2 2
2
2 2 2
2
2 2 2
22
2 2 2
12
2
( ) ( 1 ) ( )
( 0) ( 1 ) ( 0)
( 1 ) ( 0) ( 1 ) 1
( 2 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 1 )
( 3 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 1 )
( ) ( 1 ) 1
n
y n a y n x n
y a y x a
y a y x a
y a y x a a
y a y x a a
y n a a n






由,得
，2 2 2
1
2
1
1
( 1 ) [ ( ) ( ) ]
( ) 1n
y n y n x n
a
y n a n?


同步骤 ），由得，
2 1 12 ( ) ( ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )nny n a n a a u n a u n
3 1 2
33
( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 )
( 1 ) 1 ( )
x n x n x n n n
y y n


3 ）令输入,
由,求输出
3 3 3
3 3 3
2
3 3 3
2
3 3 3
22
3 3 3
12
3
( ) ( 1 ) ( )
( 0) ( 1 ) ( 0) 1
( 1 ) ( 0) ( 1 ) 1
( 2 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 1 )
( 3 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 1 )
( ) ( 1 ) 1
n
y n ay n x n
y ay x a
y ay x a a
y ay x a a a
y ay x a a a
y n a a a n






由,得
，
3 3 3
1
3
1
1
( 1 ) [ ( ) ( ) ]
( ) 1n
y n y n x n
a
y n a n?


同步骤 ），由得，
213 ( ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( 1 )ny n a n a a a u n
1 ( 1 )na u n
4）结论：
2 1 12 ( ) ( ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )nny n a n a a u n a u n
2 ( ) ( 1 )x n n当输入 时，输出
1 ( ) ( )x n n当输入 时，输出
11 ( ) ( 1 ) ( ) ( 1 )nny n a a u n a u n
2 1 2 1( ) ( 1 ) ( ) ( 1 )
( 1 ) 1
x n x n y n y n
y


由于,而边界条件下的系统不是移不变系统
3 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 )x n x n x n n n当输入 时，输出
213 ( ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( 1 )ny n a n a a a u n
1 ( 1 )na u n
( 1 ) 1y 边界条件下的系统不是线性系统不满足可加性12( ( )y n y n
一些关于差分方程的结论：
一个差分方程不能唯一确定一个系统
常系数线性差分方程描述的系统不一定是线性移不变的
不一定是因果的
不一定是稳定的差分方程 系统结构
Z-1
a
x(n) y(n)
( ) ( 1 ) ( )y n a y n x n