二、线性移不变系统一个离散时间系统是将输入序列变换成输出序列的一种运算。
离散时间系统
T[ · ]
x(n) y(n)
( ) [ ( ) ]y n T x n?
[]T?记为：
1、线性系统若系统满足叠加原理：
或同时满足：
可加性：
比例性 /齐次性：
其中：
则此系统为线性系统。
1 1 2 2 1 1 2 2[ ( ) ( ) ] ( ) ( )T a x n a x n a y n a y n
1 2 1 2[ ( ) ( ) ] ( ) ( )T x n x n y n y n
11[ ( ) ] ( )T a x n a y n?
12,,a a a 为 常 数
11( ) [ ( ) ]y n T x n? 22( ) [ ( ) ]y n T x n?
[]T?
1 1 1
2( ) [ ( ) ] ( ) sin( )
97y n T x n x n n
解,设
2 2 2
2( ) [ ( ) ] ( ) si n( )
97y n T x n x n n
1 2 1 2
2[ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ] sin( )
97T x n x n x n x n n
12
22( ) si n( ) ( ) si n( )
9 7 9 7x n n x n n
11
2[ ( ) ] ( ) sin( )
97T ax n ax n n
1 ()a y n a?,为常数
该 系 统 是 线 性 系 统
2( ) ( ) si n( )
97y n x n n
例：判断系统 是否线性
12( ) ( )y n y n 满足可加性满足比例性例：证明由线性方程表示的系统
( ) ( )y n a x n b,ab为 常 数是非线性系统
1 1 1( ) [ ( ) ] ( )y n T x n a x n b证,设
2 2 2( ) [ ( ) ] ( )y n T x n a x n b
1 2 1 2[ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ]T x n x n a x n x n b
12( ) ( )y n y n
该 系 统 是 非 线 性 系 统
12( ) ( )a x n a x n b
不满足可加性增量线性系统线性系统
x(n)
y0(n)
y(n)
( ) ( )y n a x n b
2、移不变系统若系统响应与激励加于系统的时刻无关，
则称为移不变系统（或时不变系统）
T [ x( n) ] ( )
[ ( ) ] ( )
yn
T x n m y n m m
对移不变系统，若则,为任意整数
2[ ( ) ] ( ) sin( )
97T x n m x n m n
解,
2( ) ( ) si n[ ( ) ]
97y n m x n m n m
[ ( ) ]T x n m
该 系 统 不 是 移 不 变 系 统例：试判断
2( ) ( ) si n( )
97y n x n n
是否是移不变系统同时具有线性和移不变性的离散时间系统称为线性移不变系统
LSI,Linear Shift Invariant
3、单位抽样响应和卷积和单位抽样响应 h(n)是指输入为单位抽样序列时的系统输出：()n?
( ) [ ( ) ]h n T n T[ · ]()n? ()hn
对 LSI系统，讨论对任意输入的系统输出
T[ · ]
x(n) y(n)
( ) ( ) ( )
m
x n x m n m?
任 意 输 入 序 列,
( ) [ ( ) ] [ ( ) ( ) ]
m
y n T x n T x m n m?
系 统 输 出,
( ) [ ( ) ]
m
x m T n m?
,线性性
( ) [ ( ) ]
( ) [ ( ) ]
h n T n
h n m T n m
[ ( ) ]
[ ( ) ]
ii
i
ii
i
T a x n
a T x n
( ) ( )
m
x m h n m
,移不变性
( ) ( )x n h n
一个 LSI系统可以用单位抽样响应 h(n)来表征，任意输入的系统输出等于输入序列和该单位抽样响应 h(n)的卷积和。
LSI
h(n)
x(n) y(n)
( ) ( ) ( )y n x n h n
( ) ( ) * ( )y n x n h n?解：
( ) ( )
m
x m h n m?
( ) ( ) 0 1nh n a u n a
( ) ( ) ( )x n u n u n N
L S I例：某 系统，其单位抽样响应为：
输入序列为：
求系统输出。
0 nN当 时 0( ) ( ) ( ) 1n nmmmy n x m h n m a
( 1 )
10
1
1
nn
n m n
m
aa a a
a
0 ( ) 0n y n当 时
nN?当 时
( ) ( ) ( )
m
y n x m h n m?
11
00
1NNn m n m
mm
a a a
1
1
1
N
n aa
a
( 1 )
1
1
00
1
( ) 0
1
1
1
n
n
N
n
n
a
y n a n N
a
a
a n N
a
01nN 时
0
( ) ( ) ( )n
m
y n x m h n m
0 ( ) 0n y n时
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
()
N
M
x n x n R n
h n h n R n
yn
若求 输 出
MN?1) 当
1N n M 时
1
0
( ) ( ) ( )N
m
y n x m h n m?
2M n N M 时
1
1
( ) ( ) ( )N
m n M
y n x m h n m?
1 ( ) 0n N M y n时
01nM 时
0
( ) ( ) ( )n
m
y n x m h n m
0 ( ) 0n y n时 MN?2) 当
1M n N 时
1
( ) ( ) ( )n
m n M
y n x m h n m
2N n N M 时
1
1
( ) ( ) ( )N
m n M
y n x m h n m?
1 ( ) 0n N M y n时思考,
当 x(n)的非零区间为 [N1,N2],h(n)的非零区间为 [M1,M2]时，求解系统的输出 y(n)
又如何分段？
结论：
若有限长序列 x(n)的长度为 N,h(n)的长度为 M，则其卷积和的长度 L为：
L=N+M-1
4,LSI系统的性质交换律
h(n)x(n) y(n) x(n)h(n) y(n)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )y n x n h n h n x n
结合律
h1(n)x(n) h2(n) y(n)
h2(n)x(n) h1(n) y(n)
h1(n)*h2(n)x(n) y(n)
1 2 2 1( ) * ( ) * ( ) ( ) * ( ) * ( )x n h n h n x n h n h n?
12( ) ( ) * ( )h n h n h n? ( ( ) * ( )y n x n h n?
分配律
1 2 1 2( ) * [ ( ) ( ) ] ( ) * ( ) ( ) * ( )x n h n h n x n h n x n h n
h1(n)+h2(n)x(n) y(n)
h1(n)
x(n) y(n)
h2(n)
5、因果系统若系统 n时刻的输出，只取决于 n时刻以及
n时刻以前的输入序列，而与 n时刻以后的输入无关，则称该系统为因果系统。
( ) 0 0h n n
LSI系统是因果系统的充要条件：
6、稳定系统稳定系统是有界输入产生有界输出的系统若 ()x n M
()
n
h n P?
LSI系统是稳定系统的充要条件：
()y n P则
0 ( ) 0n h n解,讨 论 因 果 性,时
该 系 统 是 非 因 果 系 统讨 论 稳 定 性,
0
0
() nn
n n n
h n a a
1
1
1
1
1
a
a
a
11aa当 时 系 统 稳 定,当 时 系 统 不 稳 定例：某 LSI系统，其单位抽样响应为
( ) ( )nh n a u n
试讨论其是否是因果的、稳定的。
结论：
因果稳定的 LSI系统的单位抽样响应是因果的，且是绝对可和的，即, ()()
()
n
h n h n u n
hn
离散时间系统
T[ · ]
x(n) y(n)
( ) [ ( ) ]y n T x n?
[]T?记为：
1、线性系统若系统满足叠加原理：
或同时满足：
可加性：
比例性 /齐次性：
其中：
则此系统为线性系统。
1 1 2 2 1 1 2 2[ ( ) ( ) ] ( ) ( )T a x n a x n a y n a y n
1 2 1 2[ ( ) ( ) ] ( ) ( )T x n x n y n y n
11[ ( ) ] ( )T a x n a y n?
12,,a a a 为 常 数
11( ) [ ( ) ]y n T x n? 22( ) [ ( ) ]y n T x n?
[]T?
1 1 1
2( ) [ ( ) ] ( ) sin( )
97y n T x n x n n
解,设
2 2 2
2( ) [ ( ) ] ( ) si n( )
97y n T x n x n n
1 2 1 2
2[ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ] sin( )
97T x n x n x n x n n
12
22( ) si n( ) ( ) si n( )
9 7 9 7x n n x n n
11
2[ ( ) ] ( ) sin( )
97T ax n ax n n
1 ()a y n a?,为常数
该 系 统 是 线 性 系 统
2( ) ( ) si n( )
97y n x n n
例：判断系统 是否线性
12( ) ( )y n y n 满足可加性满足比例性例：证明由线性方程表示的系统
( ) ( )y n a x n b,ab为 常 数是非线性系统
1 1 1( ) [ ( ) ] ( )y n T x n a x n b证,设
2 2 2( ) [ ( ) ] ( )y n T x n a x n b
1 2 1 2[ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ]T x n x n a x n x n b
12( ) ( )y n y n
该 系 统 是 非 线 性 系 统
12( ) ( )a x n a x n b
不满足可加性增量线性系统线性系统
x(n)
y0(n)
y(n)
( ) ( )y n a x n b
2、移不变系统若系统响应与激励加于系统的时刻无关，
则称为移不变系统（或时不变系统）
T [ x( n) ] ( )
[ ( ) ] ( )
yn
T x n m y n m m
对移不变系统，若则,为任意整数
2[ ( ) ] ( ) sin( )
97T x n m x n m n
解,
2( ) ( ) si n[ ( ) ]
97y n m x n m n m
[ ( ) ]T x n m
该 系 统 不 是 移 不 变 系 统例：试判断
2( ) ( ) si n( )
97y n x n n
是否是移不变系统同时具有线性和移不变性的离散时间系统称为线性移不变系统
LSI,Linear Shift Invariant
3、单位抽样响应和卷积和单位抽样响应 h(n)是指输入为单位抽样序列时的系统输出：()n?
( ) [ ( ) ]h n T n T[ · ]()n? ()hn
对 LSI系统，讨论对任意输入的系统输出
T[ · ]
x(n) y(n)
( ) ( ) ( )
m
x n x m n m?
任 意 输 入 序 列,
( ) [ ( ) ] [ ( ) ( ) ]
m
y n T x n T x m n m?
系 统 输 出,
( ) [ ( ) ]
m
x m T n m?
,线性性
( ) [ ( ) ]
( ) [ ( ) ]
h n T n
h n m T n m
[ ( ) ]
[ ( ) ]
ii
i
ii
i
T a x n
a T x n
( ) ( )
m
x m h n m
,移不变性
( ) ( )x n h n
一个 LSI系统可以用单位抽样响应 h(n)来表征，任意输入的系统输出等于输入序列和该单位抽样响应 h(n)的卷积和。
LSI
h(n)
x(n) y(n)
( ) ( ) ( )y n x n h n
( ) ( ) * ( )y n x n h n?解：
( ) ( )
m
x m h n m?
( ) ( ) 0 1nh n a u n a
( ) ( ) ( )x n u n u n N
L S I例：某 系统，其单位抽样响应为：
输入序列为：
求系统输出。
0 nN当 时 0( ) ( ) ( ) 1n nmmmy n x m h n m a
( 1 )
10
1
1
nn
n m n
m
aa a a
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0 ( ) 0n y n当 时
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( ) ( ) ( )
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11
00
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0
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MN?1) 当
1N n M 时
1
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y n x m h n m?
1 ( ) 0n N M y n时
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1M n N 时
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( ) ( ) ( )n
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y n x m h n m
2N n N M 时
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m n M
y n x m h n m?
1 ( ) 0n N M y n时思考,
当 x(n)的非零区间为 [N1,N2],h(n)的非零区间为 [M1,M2]时，求解系统的输出 y(n)
又如何分段？
结论：
若有限长序列 x(n)的长度为 N,h(n)的长度为 M，则其卷积和的长度 L为：
L=N+M-1
4,LSI系统的性质交换律
h(n)x(n) y(n) x(n)h(n) y(n)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )y n x n h n h n x n
结合律
h1(n)x(n) h2(n) y(n)
h2(n)x(n) h1(n) y(n)
h1(n)*h2(n)x(n) y(n)
1 2 2 1( ) * ( ) * ( ) ( ) * ( ) * ( )x n h n h n x n h n h n?
12( ) ( ) * ( )h n h n h n? ( ( ) * ( )y n x n h n?
分配律
1 2 1 2( ) * [ ( ) ( ) ] ( ) * ( ) ( ) * ( )x n h n h n x n h n x n h n
h1(n)+h2(n)x(n) y(n)
h1(n)
x(n) y(n)
h2(n)
5、因果系统若系统 n时刻的输出，只取决于 n时刻以及
n时刻以前的输入序列，而与 n时刻以后的输入无关，则称该系统为因果系统。
( ) 0 0h n n
LSI系统是因果系统的充要条件：
6、稳定系统稳定系统是有界输入产生有界输出的系统若 ()x n M
()
n
h n P?
LSI系统是稳定系统的充要条件：
()y n P则
0 ( ) 0n h n解,讨 论 因 果 性,时
该 系 统 是 非 因 果 系 统讨 论 稳 定 性,
0
0
() nn
n n n
h n a a
1
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a
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11aa当 时 系 统 稳 定,当 时 系 统 不 稳 定例：某 LSI系统，其单位抽样响应为
( ) ( )nh n a u n
试讨论其是否是因果的、稳定的。
结论：
因果稳定的 LSI系统的单位抽样响应是因果的，且是绝对可和的，即, ()()
()
n
h n h n u n
hn
