三、离散傅里叶变换（ DFT）
( ) ( )
r
x n x n rN


( ) ( ) ( )Nx n x n R n?
( ) ( ( ) ) NX k X k?
( ) ( ) ( )NX k X k R k?
同样,X(k)也是一个 N点的有限长序列
()
()
N x n
N x n
长度为 的有限长序列周期为 的周期序列
(( )) Nxn?
()xn 的主值序列
()xn 的周期延拓有限长序列的 DFT正变换和反变换：
1
0
( ) [ ( ) ] ( ) 0 1
N
nk
N
n
X k DF T x n x n W k N

1
0
1( ) [ ( ) ] ( ) 0 1N nk
N
k
x n I DF T X k X k W n NN

2j
NNWe
其中：
1
0
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
N
nk
N N N
n
X k x n W R k X k R k
或
1
0
1( ) ( ) ( ) ( ) ( )N nk
N N N
k
x n X k W R n x n R nN

x(n)的 N点 DFT是
x(n)的 z变换在单位圆上的 N点等间隔抽样；
D F T z与序列的D T F T 和 变换的关系：
1
0
( ) ( )
N
n
n
X z x n z

1
0
( ) ( )
N
nk
N
n
X k x n W

1
0
( ) ( )
N
j j n
n
X e x n e

2()
j
k
N
Xe

x(n)的 DTFT在区间 [0,2π]上的 N点等间隔抽样。
2() jk
k N
Nz W e
Xz?

4( ) ( ),( ) 8 1 6 D F Tx n R n x n?例：已知序列 求 的 点和 点 。
D TF Txn解：求 的
j j n
n
X e x n e

2 2 2
2 2 2
j j j
j j j
e e e
e e e









3
2 s i n 2
s i n / 2
je

3
0
jn
n
e

41
1
j
j
e
e

8 8x n D F T N?求 的 点
2
8
j
k
X k X e

3
24
2
s i n 2
8
12
sin
28
jk
k
e
k






3
8
s i n
2
s i n
8
jk
k
e
k






1 6 1 6x n D F T N?求 的 点
2
16
j
k
X k X e

32
2 1 6
2
s i n 2
16
12
sin
2 1 6
jk
k
e
k






3
16
sin
4
sin
16
jk
k
e
k