六,抽样 z变换 —频域抽样理论时域抽样定理：在满足奈奎斯特定理条件下，时域抽样信号可以不失真地还原原连续信号。
频域抽样呢？ 抽样条件？ 内插公式？
( ) (
(
) ( )
)
k
N
nk
NzW
n
Xk
N
W
z
n
X
X z x?


对 在单位圆上 点等间隔抽样，得周期序列：
( ) ( )X k x n?分析：
( ) z
( ) ( ) n
n
xn
X z x n z


任意绝对可和的非周期序列,其 变换：
( ) ( )Nx n X k I D F S令 为 的,
1
0
1( ) [ ( ) ] ( )N nk
NN
k
x n I DFS X k X k WN

1
0
1 [ ( ) ]N mk nk
NN
km
x m W WN



1
()
0
1( ) [ ]N m n k
N
mk
x m WN



()
r
x n rN


1
()
0
11
0
N
m n k
N
k
m n rNW
mN

其 它
r为任意整数
x(n)为无限长序列 — 混 叠失真
x(n)为有限长序列，长度为 M
()Xk由频域抽样序列 还原得到的周期序列是原非周期序列 的周期延拓序列，其周期为频域抽样点数 N。
()xn
所以：时域抽样造成频域周期延拓同样，频域抽样造成时域周期延拓
1 NM?）,不失真
2 NM?）,混叠失真频率采样定理若序列长度为 M，则只有当频域采样点数,
时，才有即可由频域采样 不失真地恢复原信号
，否则产生时域混叠现象。
NM?
( ) ( ) [ ( ) ] ( ) ( )N N Nx n R n I D F S X k R n x n
()Xk
()xn
1
1
0
1 ( )
1
N N
k
k N
z X k
N W z




()M x n N
NM?
点有限长序列,频域 点等间隔抽样，且
11
00
( ) ( ) ( )
MN
nn
nn
X z x n z x n z




11
00
1 ()NN nk n
N
nk
X k W zN





11
00
1 ()NN nk n
N
kn
X k W zN





1
1
0
11 ()
1
N k NN
N
k
k N
WzXk
N W z




用频域采样 表示 的内插公式()Xk ()Xz
1
1
0
1 ( )()
1
N N
k
k N
z X kXz
N W z



内插公式：
1
11()
1
N
k k
N
zz
N W z


内插函数：
1
0
( ) ( ) ( )
N
k
k
X z X k z

则内插公式简化为：
2 0,1,...,1jr
Nz e r N
零点：,
2 0 ( - 1 )jk
Nz e N
极点：,阶
( ) ( ) jjkk zeez
()jXe?用频域采样 表示 的内插公式()Xk
1
( 1)
2
si n
21
si n
2
k N
jN j
N
Nk
N
ee
N
k
N










1
0
( ) ( ) ( ) ( )j
N
jj
kze
k
X e X z X k e

1
2
s i n
1 2
( )
s i n
2
N
j
N
e
N










内插函数：
1
0
2
( ) ( ) ( )
N
j
k
X e X k k
N


内插公式：
2
1
2
( )
2
0
k
i
k
N
k
N
i i k
N