四、离散傅里叶变换的性质
DFT正变换和反变换：
1
0
( ) [ ( ) ] ( ) ( )
N
nk
NN
n
X k D FT x n x n W R k
1
0
1( ) [ ( ) ] ( ) ( )N nk
NN
k
x n I D FT X k X k W R nN
2j
NNWe
其 中,
1、线性：
,ab 为任意常数这里，序列长度及 DFT点数均为 N
若不等，分别为 N1,N2，则需补零使两序列长度相等，均为 N，且 12m a x [,]N N N?
11( ) [ ( ) ]X k D F T x n?
22( ) [ ( ) ]X k D F T x n?
若
1 2 1 2[ ( ) ( ) ] ( ) ( )D F T a x n b x n a X k b X k则
2、序列的圆周移位
( ) ( ( ) ) ( )m N Nx n x n m R n定义：
( ) ( ) ( )x n x n x n m?()mxn周期延拓移位 取主值序列( ( ) )
Nx n m
有限长序列的圆周移位导致频谱线性相移，
而对频谱幅度无影响。
( ) [ ( ) ] [ ( ( ) ) ( ) ]m m N NX k D F T x n D F T x n m R n
()mkNW X k
[ ( ( ) ) ( ) ] [ ( ) ( ) ]N N ND F T x n m R n D F T x n m R n证：
[ ( ) ] ( )ND F S x n m R k
( ) ( )mkNNW X k R k ()mkNW X k
调制特性：
时域序列的调制等效于频域的圆周移位
2[ ( ( ) ) ( ) ] ( ) ( )j n l
nl N
N N NI DFT X k l R k W x n e x n
[ ( ( ) ) ( ) ] [ ( ) ( ) ]N N NI D F T X k l R k I D F T X k l R k证：
[ ( ) ] ( )NI D F S X k l R n
( ) ( ) ( )n l n lN N NW x n R n W x n
21( ) c o s ( ( ) ) ( ( ) ) ( )2 N N NnlDFT x n X k l X k l R kN
21( ) si n ( ( ) ) ( ( ) ) ( )2 N N NnlDFT x n X k l X k l R kNj
1 ( ( ) ) ( ( ) ) ( )2 N N NI DFT X k l X k l R kj
证：
1 ( ) ( )
2
n l n l
NNW x n W x nj
22
()
2
j n l j n l
NNee
xn
j
2
( ) si n nlxn N
3、共轭对称性序列的 Fourier变换的对称性质中提到,
( ) ( ) ( )eox n x n x n
**( ) ( ) 1 / 2 [ ( ) ( ) ]eex n x n x n x n
**( ) ( ) 1 / 2 [ ( ) ( ) ]oox n x n x n x n
其中：
任意序列可表示成 和 之和,()exn ()oxn
*1( ) [ ( ) ( )]
2ex n x n x n
*1( ) [ ( ) ( )]
2ex n x n x n
(( ))Nxn
* ( ( ) ) Nx N n?
其中：
**( ) ( ) 1 / 2 [ ( ) ( ) ]oox n x n x n x n
*1 / 2 [ ( ( ) ) ( ( ) ) ]NNx n x N n
共轭反对称分量：
**( ) ( ) 1 / 2 [ ( ) ( ) ]eex n x n x n x n
*1 / 2 [ ( ( ) ) ( ( ) ) ]NNx n x N n
共轭对称分量：
( ) ( ) ( )eox n x n x n任意周期序列：
定义：
( ) ( ) ( )e p o px n x n x n
则任意有限长序列：
( ) ( ) ( )o p o Nx n x n R n?
*1 / 2 [ ( ( ) ) ( ( ) ) ] ( )N N Nx n x N n R n
圆周共轭反对称序列：
( ) ( ) ( )e p e Nx n x n R n?
*1 / 2 [ ( ( ) ) ( ( ) ) ] ( )N N Nx n x N n R n
圆周共轭对称序列：
圆周共轭对称序列满足：
*( ) ( ( ) ) ( )e p e p N Nx n x N n R n
R e[ ( )] R e[ (( )) ( )]ep ep N Nx n x N n R n实部圆周偶对称
I m [ ( ) ] I m [ ( ( ) ) ( ) ]e p e p N Nx n x N n R n虚部圆周奇对称
( ) (( )) ( )ep ep N Nx n x N n R n幅度圆周偶对称
a r g [ ( ) ] a r g [ ( ( ) ) ( ) ]e p e p N Nx n x N n R n幅角圆周奇对称圆周共轭反对称序列满足：
*( ) ( ( ) ) ( )o p o p N Nx n x N n R n
R e[ ( )] R e[ (( )) ( )]o p o p N Nx n x N n R n实部圆周奇对称
I m [ ( ) ] I m [ ( ( ) ) ( ) ]o p o p N Nx n x N n R n虚部圆周偶对称
( ) (( )) ( )o p o p N Nx n x N n R n幅度圆周偶对称幅角没有对称性
*( ) ( ( ) ) ( )o p o p N NX k X N k R k
*1 / 2 [ ( ( ) ) ( ( ) ) ] ( )N N NX k X N k R k
( ) ( ) ( )e p o pX k X k X k同理：
*1 / 2 [ ( ( ) ) ( ( ) ) ] ( )N N NX k X N k R k
*( ) ( ( ) ) ( )e p e p N NX k X N k R k其中：
序列 DFT
共轭对称性
( ) ( )x n X k
R e [ ( ) ] ( )epx n X k
I m [ ( ) ] ( )opj x n X k
( ) R e [ ( ) ]epx n X k
( ) I m [ ( ) ]opx n j X k
序列 DFT
实数序列的共轭对称性
R e [ ( ) ] ( ) ( )epx n X k X k?
I m [ ( ) ] 0 ( ) 0opj x n X k
( ) R e [ ( ) ]epx n X k
( ) I m [ ( ) ]opx n j X k
纯虚序列的共轭对称性序列 DFT
R e [ ( ) ] 0 ( ) 0epx n X k
I m [ ( ) ] ( ) ( )opj x n X k X k?
( ) R e [ ( ) ]epx n X k
( ) I m [ ( ) ]opx n j X k
例：设 x1(n)和 x2(n)都是 N点的实数序列，试用一次 N点 DFT运算来计算它们各自的 DFT,
11[ ( ) ] ( )D F T x n X k? 22[ ( ) ] ( )D F T x n X k?
解：利用两序列构成一个复序列
12( ) ( ) ( )w n x n jx n
12( ) [ ( )] [ ( ) ( )]W k D F T w n D F T x n j x n
则
12[ ( )] [ ( )]D F T x n j D F T x n
12( ) ( )X k jX k
1 ( ) R e [ ( ) ]x n w n?由得
11( ) [ ( ) ] { R e [ ( ) ] } ( )epX k D F T x n D F T w n W k
*1 [ (( )) (( )) ] ( )
2 N N NW k W N k R k
2 ( ) I m [ ( ) ]x n w n?由得
22
1( ) [ ( )] { I m [ ( )] } ( )
opX k D F T x n D F T w n W kj
*1 [ (( )) (( )) ] ( )
2 N N NW k W N k R kj
( ) 2 DF T
( ) 2 DF T,( )
x n N N
x n N X k
例：设 是 点实数序列，试用一次 点来计算 的 点
()xn解：将 按奇偶分组，令
1
2
( ) ( 2 ) 0,1,.,,,1
( ) ( 2 1 ) 0,1,.,,,1
x n x n n N
x n x n n N
12 ( ) ( ) ( )w n x n j x n构成一个复序列
12
( ) DFT
( ) [ ( ) ] ( ) ( )
w n N
W k DF T w n X k jX k
对 进行一次 点 运算得
1
2
( ) ( )
1
( ) ( )
ep
op
X k W k
X k W k
j
D F TN均为 点
( ) 2 D F TX k N而 是 点
4、复共轭序列
* * *[ ( ) ] ( ( ) ) ( ) ( ( ) ) ( )N N N ND F T x n X k R k X N k R k
1
**
0
[ ( ) ] ( ) ( )
N
nk
NN
n
DFT x n x n W R k
证：
*1
0
( ) ( )
N
nk
NN
n
x n W R k
* ( ( ) ) ( )NNX k R k
*1
()
0
( ) ( )
N
N k n
NN
n
x n W R k
* ( ( ) ) ( )NNX N k R k
** NND F T x n R n X k
1
**
0
[ ( ( ) ) ( ) ] ( ( ) ) ( )
N
nk
N N N N N
n
DF T x n R n x n R n W
证：
*1
0
(( ))
N
nk
NN
n
x n W
*1
0
( ( ) )
N
mk
NN
m
x m W
*1
0
N
nk
NN
n
x n W
* ()Xk?
mn令
*1
0
N
nk
N
n
x n W
5,DFT形式下的 Parseval定理
11
**
00
1( ) ( ) ( ) ( )NN
nk
x n y n X k Y kN
*1 1 1
*
0 0 0
1( ) ( ) ( ) ( )N N N nk
N
n n k
x n y n x n Y k WN
证,
11
*
00
1 ( ) ( )NN nk
N
kn
Y k x n WN
1
*
0
1 ( ) ( )N
k
X k Y kN
11
**
00
1( ) ( ) ( ) ( )NN
nk
x n x n X k X kN
11 22
00
1( ) ( )NN
nk
x n X kN
即,
( ) ( )y n x n?令,则
6、圆周卷积和
1
21
0
[ ( ) ( ( ) ) ] ( )
N
NN
m
x m x n m R n
12( ) ( ) ( )Y k X k X k若
1
12
0
( ) [ ( ) ] [ ( ) ( ( ) ) ] ( )
N
NN
m
y n I D FT Y k x m x n m R n
则
12( ) ( )x n x n N设 和 都是点数为 的有限长序列
1 2 1 2m ax (,)N N N N N
N
（若不等，分别为,点，则取,
对序列补零使其为 点）
11[ ( ) ] ( )D F T x n X k? 22[ ( ) ] ( )D F T x n X k?
12( ) ( ) ( )
( ) [ ( )]
Y k X k X k
y n ID F S Y k
证：由周期卷积和，若,
则
1
12
0
( ) ( )
N
m
x m x n m
1
12
0
( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ( ) ) ] ( )
N
N N N
m
y n y n R n x m x n m R n
1
12
0
( ( ) ) ( ( ) )
N
NN
m
x m x n m
1
12
0
( ) ( ( ) )
N
N
m
x m x n m
圆周卷积过程：
1）补零
2）周期延拓
3）翻褶，取主值序列
4）圆周移位
5）相乘相加
12( ) ( )x n x n? N
1
12
0
( ) [ ( ) ( ( ) ) ] ( )
N
NN
m
y n x m x n m R n
1
21
0
[ ( ) ( ( ) ) ] ( )
N
NN
m
x m x n m R n
21( ) ( )x n x n? N
N用 表示圆周卷积和
1 5 2 4 ( ) ( 5 ) ( ) ( ) ( )x n n R n x n R n例,已 知 序 列,
求 两 个 序 列 的 6 点 圆 周 卷 积 和 。
… -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7…
5 4 3 2 1 0
1 1 1 1 0 0
… 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1…
… 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0…
1 0 0 1 1 1
1 1 0 0 1 1
1 1 1 0 0 1
1 1 1 1 0 0
0 1 1 1 1 0
0 0 1 1 1 1
nm
1 /x n m
2 /x n m
266x m R n?
61x m R n?
26 62x m R n?
63x m R n?
26 64x m R n?
65x m R n?
2 6xm?
2 6xm
8
10
12
14
10
6
()yn
同样，利用对称性
1
12
0
1 [ ( ) ( ( ) ) ] ( )N
NN
l
X l X k l R kN
1
21
0
1 [ ( ) ( ( ) ) ] ( )N
NN
l
X l X k l R kN
12( ) ( ) ( )y n x n x n若
1
0
( ) [ ( ) ] ( )
N
nk
N
n
Y k DF T y n y n W
则
7、有限长序列的线性卷积与圆周卷积
11
22
( ) 0 1
( ) 0 1
x n n N
x n n N
设：
12m a x [,]N N N?令
1 1
1 2 1 2
0
( ) ( ) * ( ) ( ) ( )
N
l
m
y n x n x n x m x n m
2 1
2 1 2 1
0
( ) ( ) ( ) * ( )
N
m
x m x n m x n x n
线性卷积：
1
1 2 1 2
0
( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ( ) ) ] ( )
N
c N N
m
y n x n x n x m x n m R n
1
2 1 2 1
0
[ ( ) ( ( ) ) ] ( ) ( ) ( )
N
NN
m
x m x n m R n x n x n
N点圆周卷积：
N
N
讨论圆周卷积和线性卷积之间的关系：
1
12
0
[ ( ) ( ) ] ( )
N
N
mr
x m x n rN m R n
1
12
0
[ ( ) ( ) ] ( )
N
N
rm
x m x n rN m R n
[ ( ) ] ( )lN
r
y n rN R n
对 x1(n)和 x2(n)补零，使其长度均为 N点；
2 2 2( ) ( ( ) ) ( )N
r
x n x n x n rN
对 x2(n)周期延拓：
1
12
0
( ) [ ( ) ( ( ) ) ] ( )
N
c N N
m
y n x m x n m R n
圆周卷积：
12 1N N N
N
即 当圆周卷积长度 时，
点圆周卷积能代表线性卷积
12( ) 1ly n N N而 的长度为
( ) ( ) NclN y n y n点圆周卷积 是线性卷积 以 为周期的周期延拓序列的主值序列。
12 - 1 ( )lN N N y n N只有当 时,以 为周期进行周期延拓才无混叠现象
N1 2 1 2( ) ( ) ( ) * ( )x n x n x n x n?
12
12
1
02
N N N
n N N
小结：线性卷积求解方法
时域直接求解
( ) ( ) * ( ) ( ) ( )
m
y n x n h n x m h n m
补 N-N1个零x(n) N点 DFT
补 N-N2个零h(n) N点 DFT
N点 IDFT y(n)
= x(n)*h(n)
( ) [ ( )] [ ( ) ( )]y n IZ T Y z IZ T X z H zz
( ) [ ( )] ( ) [ ( )]X z Z T x n H z Z T h n
z变换法
DFT法
8、线性相关与圆周相关
*( ) ( ) ( )
xy
n
r m x n y n m
*( ) )
n
x n m y n
线性相关：
*( ) ( ) ( )
xx
n
r m x n x n m
**( ) ( ) ( )
xx
n
x n m x n r m
自相关函数：
*( ) ( ) ( )x y y x x yr m r m r m
相关函数不满足交换率：
*( ) ( ) ( )
yx
n
r m y n x n m
* ( ) ( )
k
x k y k m
* ( ) [ ( ) ]
k
x k y k m
*
*( ) [ ( ) ]
k
x k y k m
* ()xyrm *( ) ( ) ( )xy
n
r m x n y n m
相关函数的 z变换：
*
*
1( ) ( ) ( )
xyR z X z Y z?
( ) ( ) mx y x y
m
R z r m z
*( ) ( ) m
mn
x n y n m z
*( ) ( ) m
nm
x n y n m z
* ( )( ) ( ) kn
nk
x n y k z
*( ) ( )nk
nk
x n z y k z
*
*
1( ) ( )X z Y
z?
*( ) ( ) ( )j j jxyR e X e Y e
2( ) ( )jj
xxR e X e
相关函数的频谱：
圆周相关定理
( ) [ ( )]x y x yr m ID F T R k?则
1
*
0
( ) ( ( ) ) ( )
N
NN
n
x n y n m R n
* ( ) ( ) ( )xyR k X k Y k若
1
*
0
( ) ( ( ) ) ( )
N
NN
n
y n x n m R n
*( ) ( ) ( )xyR k X k Y k证：先延拓成周期序列
( ) [ ( ) ]x y x yr m I D F S R k?则
1
*
0
1 ( ) ( )N mk
N
k
Y k X k WN
11
*
00
1 ( ) ( )NN nk mk
NN
kn
Y k x n W WN
11
* ( )
00
1( ) ( )NN n m k
N
nk
x n Y k WN
1
*
0
( ) ( )
N
n
x n y n m
1
*
0
( ) ( )
N
n
y n x n m
则取主值序列
1
*
0
( ) ( ( ) ) ( )
N
NN
n
x n y n m R n
1
*
0
( ) ( ) ( ( ) ) ( )
N
x y N N
n
r m y n x n m R n
当 时，
圆周相关可完全代表线性相关
12 1N N N
类似于线性卷积与圆周卷积之间的关系
DFT正变换和反变换：
1
0
( ) [ ( ) ] ( ) ( )
N
nk
NN
n
X k D FT x n x n W R k
1
0
1( ) [ ( ) ] ( ) ( )N nk
NN
k
x n I D FT X k X k W R nN
2j
NNWe
其 中,
1、线性：
,ab 为任意常数这里，序列长度及 DFT点数均为 N
若不等，分别为 N1,N2，则需补零使两序列长度相等，均为 N，且 12m a x [,]N N N?
11( ) [ ( ) ]X k D F T x n?
22( ) [ ( ) ]X k D F T x n?
若
1 2 1 2[ ( ) ( ) ] ( ) ( )D F T a x n b x n a X k b X k则
2、序列的圆周移位
( ) ( ( ) ) ( )m N Nx n x n m R n定义：
( ) ( ) ( )x n x n x n m?()mxn周期延拓移位 取主值序列( ( ) )
Nx n m
有限长序列的圆周移位导致频谱线性相移，
而对频谱幅度无影响。
( ) [ ( ) ] [ ( ( ) ) ( ) ]m m N NX k D F T x n D F T x n m R n
()mkNW X k
[ ( ( ) ) ( ) ] [ ( ) ( ) ]N N ND F T x n m R n D F T x n m R n证：
[ ( ) ] ( )ND F S x n m R k
( ) ( )mkNNW X k R k ()mkNW X k
调制特性：
时域序列的调制等效于频域的圆周移位
2[ ( ( ) ) ( ) ] ( ) ( )j n l
nl N
N N NI DFT X k l R k W x n e x n
[ ( ( ) ) ( ) ] [ ( ) ( ) ]N N NI D F T X k l R k I D F T X k l R k证：
[ ( ) ] ( )NI D F S X k l R n
( ) ( ) ( )n l n lN N NW x n R n W x n
21( ) c o s ( ( ) ) ( ( ) ) ( )2 N N NnlDFT x n X k l X k l R kN
21( ) si n ( ( ) ) ( ( ) ) ( )2 N N NnlDFT x n X k l X k l R kNj
1 ( ( ) ) ( ( ) ) ( )2 N N NI DFT X k l X k l R kj
证：
1 ( ) ( )
2
n l n l
NNW x n W x nj
22
()
2
j n l j n l
NNee
xn
j
2
( ) si n nlxn N
3、共轭对称性序列的 Fourier变换的对称性质中提到,
( ) ( ) ( )eox n x n x n
**( ) ( ) 1 / 2 [ ( ) ( ) ]eex n x n x n x n
**( ) ( ) 1 / 2 [ ( ) ( ) ]oox n x n x n x n
其中：
任意序列可表示成 和 之和,()exn ()oxn
*1( ) [ ( ) ( )]
2ex n x n x n
*1( ) [ ( ) ( )]
2ex n x n x n
(( ))Nxn
* ( ( ) ) Nx N n?
其中：
**( ) ( ) 1 / 2 [ ( ) ( ) ]oox n x n x n x n
*1 / 2 [ ( ( ) ) ( ( ) ) ]NNx n x N n
共轭反对称分量：
**( ) ( ) 1 / 2 [ ( ) ( ) ]eex n x n x n x n
*1 / 2 [ ( ( ) ) ( ( ) ) ]NNx n x N n
共轭对称分量：
( ) ( ) ( )eox n x n x n任意周期序列：
定义：
( ) ( ) ( )e p o px n x n x n
则任意有限长序列：
( ) ( ) ( )o p o Nx n x n R n?
*1 / 2 [ ( ( ) ) ( ( ) ) ] ( )N N Nx n x N n R n
圆周共轭反对称序列：
( ) ( ) ( )e p e Nx n x n R n?
*1 / 2 [ ( ( ) ) ( ( ) ) ] ( )N N Nx n x N n R n
圆周共轭对称序列：
圆周共轭对称序列满足：
*( ) ( ( ) ) ( )e p e p N Nx n x N n R n
R e[ ( )] R e[ (( )) ( )]ep ep N Nx n x N n R n实部圆周偶对称
I m [ ( ) ] I m [ ( ( ) ) ( ) ]e p e p N Nx n x N n R n虚部圆周奇对称
( ) (( )) ( )ep ep N Nx n x N n R n幅度圆周偶对称
a r g [ ( ) ] a r g [ ( ( ) ) ( ) ]e p e p N Nx n x N n R n幅角圆周奇对称圆周共轭反对称序列满足：
*( ) ( ( ) ) ( )o p o p N Nx n x N n R n
R e[ ( )] R e[ (( )) ( )]o p o p N Nx n x N n R n实部圆周奇对称
I m [ ( ) ] I m [ ( ( ) ) ( ) ]o p o p N Nx n x N n R n虚部圆周偶对称
( ) (( )) ( )o p o p N Nx n x N n R n幅度圆周偶对称幅角没有对称性
*( ) ( ( ) ) ( )o p o p N NX k X N k R k
*1 / 2 [ ( ( ) ) ( ( ) ) ] ( )N N NX k X N k R k
( ) ( ) ( )e p o pX k X k X k同理：
*1 / 2 [ ( ( ) ) ( ( ) ) ] ( )N N NX k X N k R k
*( ) ( ( ) ) ( )e p e p N NX k X N k R k其中：
序列 DFT
共轭对称性
( ) ( )x n X k
R e [ ( ) ] ( )epx n X k
I m [ ( ) ] ( )opj x n X k
( ) R e [ ( ) ]epx n X k
( ) I m [ ( ) ]opx n j X k
序列 DFT
实数序列的共轭对称性
R e [ ( ) ] ( ) ( )epx n X k X k?
I m [ ( ) ] 0 ( ) 0opj x n X k
( ) R e [ ( ) ]epx n X k
( ) I m [ ( ) ]opx n j X k
纯虚序列的共轭对称性序列 DFT
R e [ ( ) ] 0 ( ) 0epx n X k
I m [ ( ) ] ( ) ( )opj x n X k X k?
( ) R e [ ( ) ]epx n X k
( ) I m [ ( ) ]opx n j X k
例：设 x1(n)和 x2(n)都是 N点的实数序列，试用一次 N点 DFT运算来计算它们各自的 DFT,
11[ ( ) ] ( )D F T x n X k? 22[ ( ) ] ( )D F T x n X k?
解：利用两序列构成一个复序列
12( ) ( ) ( )w n x n jx n
12( ) [ ( )] [ ( ) ( )]W k D F T w n D F T x n j x n
则
12[ ( )] [ ( )]D F T x n j D F T x n
12( ) ( )X k jX k
1 ( ) R e [ ( ) ]x n w n?由得
11( ) [ ( ) ] { R e [ ( ) ] } ( )epX k D F T x n D F T w n W k
*1 [ (( )) (( )) ] ( )
2 N N NW k W N k R k
2 ( ) I m [ ( ) ]x n w n?由得
22
1( ) [ ( )] { I m [ ( )] } ( )
opX k D F T x n D F T w n W kj
*1 [ (( )) (( )) ] ( )
2 N N NW k W N k R kj
( ) 2 DF T
( ) 2 DF T,( )
x n N N
x n N X k
例：设 是 点实数序列，试用一次 点来计算 的 点
()xn解：将 按奇偶分组，令
1
2
( ) ( 2 ) 0,1,.,,,1
( ) ( 2 1 ) 0,1,.,,,1
x n x n n N
x n x n n N
12 ( ) ( ) ( )w n x n j x n构成一个复序列
12
( ) DFT
( ) [ ( ) ] ( ) ( )
w n N
W k DF T w n X k jX k
对 进行一次 点 运算得
1
2
( ) ( )
1
( ) ( )
ep
op
X k W k
X k W k
j
D F TN均为 点
( ) 2 D F TX k N而 是 点
4、复共轭序列
* * *[ ( ) ] ( ( ) ) ( ) ( ( ) ) ( )N N N ND F T x n X k R k X N k R k
1
**
0
[ ( ) ] ( ) ( )
N
nk
NN
n
DFT x n x n W R k
证：
*1
0
( ) ( )
N
nk
NN
n
x n W R k
* ( ( ) ) ( )NNX k R k
*1
()
0
( ) ( )
N
N k n
NN
n
x n W R k
* ( ( ) ) ( )NNX N k R k
** NND F T x n R n X k
1
**
0
[ ( ( ) ) ( ) ] ( ( ) ) ( )
N
nk
N N N N N
n
DF T x n R n x n R n W
证：
*1
0
(( ))
N
nk
NN
n
x n W
*1
0
( ( ) )
N
mk
NN
m
x m W
*1
0
N
nk
NN
n
x n W
* ()Xk?
mn令
*1
0
N
nk
N
n
x n W
5,DFT形式下的 Parseval定理
11
**
00
1( ) ( ) ( ) ( )NN
nk
x n y n X k Y kN
*1 1 1
*
0 0 0
1( ) ( ) ( ) ( )N N N nk
N
n n k
x n y n x n Y k WN
证,
11
*
00
1 ( ) ( )NN nk
N
kn
Y k x n WN
1
*
0
1 ( ) ( )N
k
X k Y kN
11
**
00
1( ) ( ) ( ) ( )NN
nk
x n x n X k X kN
11 22
00
1( ) ( )NN
nk
x n X kN
即,
( ) ( )y n x n?令,则
6、圆周卷积和
1
21
0
[ ( ) ( ( ) ) ] ( )
N
NN
m
x m x n m R n
12( ) ( ) ( )Y k X k X k若
1
12
0
( ) [ ( ) ] [ ( ) ( ( ) ) ] ( )
N
NN
m
y n I D FT Y k x m x n m R n
则
12( ) ( )x n x n N设 和 都是点数为 的有限长序列
1 2 1 2m ax (,)N N N N N
N
（若不等，分别为,点，则取,
对序列补零使其为 点）
11[ ( ) ] ( )D F T x n X k? 22[ ( ) ] ( )D F T x n X k?
12( ) ( ) ( )
( ) [ ( )]
Y k X k X k
y n ID F S Y k
证：由周期卷积和，若,
则
1
12
0
( ) ( )
N
m
x m x n m
1
12
0
( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ( ) ) ] ( )
N
N N N
m
y n y n R n x m x n m R n
1
12
0
( ( ) ) ( ( ) )
N
NN
m
x m x n m
1
12
0
( ) ( ( ) )
N
N
m
x m x n m
圆周卷积过程：
1）补零
2）周期延拓
3）翻褶，取主值序列
4）圆周移位
5）相乘相加
12( ) ( )x n x n? N
1
12
0
( ) [ ( ) ( ( ) ) ] ( )
N
NN
m
y n x m x n m R n
1
21
0
[ ( ) ( ( ) ) ] ( )
N
NN
m
x m x n m R n
21( ) ( )x n x n? N
N用 表示圆周卷积和
1 5 2 4 ( ) ( 5 ) ( ) ( ) ( )x n n R n x n R n例,已 知 序 列,
求 两 个 序 列 的 6 点 圆 周 卷 积 和 。
… -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7…
5 4 3 2 1 0
1 1 1 1 0 0
… 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1…
… 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0…
1 0 0 1 1 1
1 1 0 0 1 1
1 1 1 0 0 1
1 1 1 1 0 0
0 1 1 1 1 0
0 0 1 1 1 1
nm
1 /x n m
2 /x n m
266x m R n?
61x m R n?
26 62x m R n?
63x m R n?
26 64x m R n?
65x m R n?
2 6xm?
2 6xm
8
10
12
14
10
6
()yn
同样，利用对称性
1
12
0
1 [ ( ) ( ( ) ) ] ( )N
NN
l
X l X k l R kN
1
21
0
1 [ ( ) ( ( ) ) ] ( )N
NN
l
X l X k l R kN
12( ) ( ) ( )y n x n x n若
1
0
( ) [ ( ) ] ( )
N
nk
N
n
Y k DF T y n y n W
则
7、有限长序列的线性卷积与圆周卷积
11
22
( ) 0 1
( ) 0 1
x n n N
x n n N
设：
12m a x [,]N N N?令
1 1
1 2 1 2
0
( ) ( ) * ( ) ( ) ( )
N
l
m
y n x n x n x m x n m
2 1
2 1 2 1
0
( ) ( ) ( ) * ( )
N
m
x m x n m x n x n
线性卷积：
1
1 2 1 2
0
( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ( ) ) ] ( )
N
c N N
m
y n x n x n x m x n m R n
1
2 1 2 1
0
[ ( ) ( ( ) ) ] ( ) ( ) ( )
N
NN
m
x m x n m R n x n x n
N点圆周卷积：
N
N
讨论圆周卷积和线性卷积之间的关系：
1
12
0
[ ( ) ( ) ] ( )
N
N
mr
x m x n rN m R n
1
12
0
[ ( ) ( ) ] ( )
N
N
rm
x m x n rN m R n
[ ( ) ] ( )lN
r
y n rN R n
对 x1(n)和 x2(n)补零，使其长度均为 N点；
2 2 2( ) ( ( ) ) ( )N
r
x n x n x n rN
对 x2(n)周期延拓：
1
12
0
( ) [ ( ) ( ( ) ) ] ( )
N
c N N
m
y n x m x n m R n
圆周卷积：
12 1N N N
N
即 当圆周卷积长度 时，
点圆周卷积能代表线性卷积
12( ) 1ly n N N而 的长度为
( ) ( ) NclN y n y n点圆周卷积 是线性卷积 以 为周期的周期延拓序列的主值序列。
12 - 1 ( )lN N N y n N只有当 时,以 为周期进行周期延拓才无混叠现象
N1 2 1 2( ) ( ) ( ) * ( )x n x n x n x n?
12
12
1
02
N N N
n N N
小结：线性卷积求解方法
时域直接求解
( ) ( ) * ( ) ( ) ( )
m
y n x n h n x m h n m
补 N-N1个零x(n) N点 DFT
补 N-N2个零h(n) N点 DFT
N点 IDFT y(n)
= x(n)*h(n)
( ) [ ( )] [ ( ) ( )]y n IZ T Y z IZ T X z H zz
( ) [ ( )] ( ) [ ( )]X z Z T x n H z Z T h n
z变换法
DFT法
8、线性相关与圆周相关
*( ) ( ) ( )
xy
n
r m x n y n m
*( ) )
n
x n m y n
线性相关：
*( ) ( ) ( )
xx
n
r m x n x n m
**( ) ( ) ( )
xx
n
x n m x n r m
自相关函数：
*( ) ( ) ( )x y y x x yr m r m r m
相关函数不满足交换率：
*( ) ( ) ( )
yx
n
r m y n x n m
* ( ) ( )
k
x k y k m
* ( ) [ ( ) ]
k
x k y k m
*
*( ) [ ( ) ]
k
x k y k m
* ()xyrm *( ) ( ) ( )xy
n
r m x n y n m
相关函数的 z变换：
*
*
1( ) ( ) ( )
xyR z X z Y z?
( ) ( ) mx y x y
m
R z r m z
*( ) ( ) m
mn
x n y n m z
*( ) ( ) m
nm
x n y n m z
* ( )( ) ( ) kn
nk
x n y k z
*( ) ( )nk
nk
x n z y k z
*
*
1( ) ( )X z Y
z?
*( ) ( ) ( )j j jxyR e X e Y e
2( ) ( )jj
xxR e X e
相关函数的频谱：
圆周相关定理
( ) [ ( )]x y x yr m ID F T R k?则
1
*
0
( ) ( ( ) ) ( )
N
NN
n
x n y n m R n
* ( ) ( ) ( )xyR k X k Y k若
1
*
0
( ) ( ( ) ) ( )
N
NN
n
y n x n m R n
*( ) ( ) ( )xyR k X k Y k证：先延拓成周期序列
( ) [ ( ) ]x y x yr m I D F S R k?则
1
*
0
1 ( ) ( )N mk
N
k
Y k X k WN
11
*
00
1 ( ) ( )NN nk mk
NN
kn
Y k x n W WN
11
* ( )
00
1( ) ( )NN n m k
N
nk
x n Y k WN
1
*
0
( ) ( )
N
n
x n y n m
1
*
0
( ) ( )
N
n
y n x n m
则取主值序列
1
*
0
( ) ( ( ) ) ( )
N
NN
n
x n y n m R n
1
*
0
( ) ( ) ( ( ) ) ( )
N
x y N N
n
r m y n x n m R n
当 时，
圆周相关可完全代表线性相关
12 1N N N
类似于线性卷积与圆周卷积之间的关系
