二,周期序列的 DFS及其性质
( ) ( )
x n x n r N
rN
周期序列：
为任意整数 为周期
0
00
( ) ( )
( ) ( )
aa
jk t
a
k
x t x t k T T
x t A k e



连续周期函数：
为周期
0
002/
jk t
T
ke
基频：
次谐波分量：
0 ( ) ( ) jk n
k
N
x n A k e?


为周期的周期序列：
0
0 2/
jk n
N
ke?
基频：
次谐波分量：
周期序列的 DFS正变换和反变换：
211
00
( ) [ ( )] ( ) ( )
NN j n k
nkN
N
nn
X k D F S x n x n e x n W



211
00
11( ) [ ( )] ( ) ( )NN j n k nkN
N
kk
x n ID F S X k X k e X k WNN



2j
NNWe
其中：
( ) 6xn
DFS
例：已知序列 是周期为 的周期序列，
如图所示，试求其 的系数。
1
0
( ) ( )
N
nk
N
n
X k x n W

解：根据定义求解
5
6
0
() nk
n
x n W
22 2
66
2 2 2
3 4 5
6 6 6
1 4 1 2 1 0
8 6 1 0
j k j k
j k j k j k
ee
e e e






( 0) 6 0 ( 1 ) 9 3 3 ( 2 ) 3 3
( 3 ) 0 ( 4 ) 3 3 ( 5 ) 9 3 3
X X j X j
X X j X j


4( ) ( ),( ) 8
( ) ( )
x n R n x n N
x n x n DF S
例：已知序列 将 以 为周期进行周期延拓成,求 的 。
解法一：数值解
1
0
( ) ( )
N
nk
N
n
X k x n W

7
8
0
() nk
n
x n W

2 2 223
8 8 81 j k j k j ke e e

3
0
nk
n
W



( 0) 4 ( 1 ) 1 2 1 ( 2 ) 0 ( 3 ) 1 2 1
( 4 ) 0 ( 5 ) 1 2 1 ( 6) 0 ( 7 ) 1 2 1
X X j X X j
X X j X X j



21
0
()
N j kn
N
n
X k D F S x n x n e


解法二：公式解

27
8
0
j kn
n
x n e


3
4
0
j kn
n
e


2 2 2
8 8 8
j k j k j k
j k j k j k
e e e
e e e










4
4
4
1
1
jk
jk
e
e

3
8
sin
2
sin
8
jk
k
e
k
X k z与 变换的关系：
0 10 x n n Nxn n
令 其 它
x n z对 作 变换,
1
0
N
nn
nn
X z x n z x n z




21
0
jkk N
N
N nk
N z W e
n
X k x n W X z

可看作是对 的一个周期 做 变换然后将 变换在 平面单位圆上按等间隔角抽样得到
Xkxn
xn zz
2
N
z
DFS的性质
1、线性：
其中,为任意常数,ab
11( ) [ ( )]X k D F S x n?
22( ) [ ( )]X k D F S x n?
若
1 2 1 2[ ( ) ( )] ( ) ( )D F S a x n b x n a X k b X k
则
2、序列的移位
2[ ( ) ] ( ) ( )j mk
mk N
NDFS x n m W X k e X k

1
0
[ ( ) ] ( )
N
nk
N
n
DFS x n m x n m W
证：
1
()()
Nm
k i m
N
im
x i W

i n m令
1
0
( ) ( )
N
mk k i mk
N N N
i
W x i W W X k


3、调制特性
[ ( ) ] ( )nlND F S W x n X k l
1
0
[ ( ) ] ( )
N
ln ln nk
N N N
n
DFS W x n W x n W
证：
1
()
0
()
N
l k n
N
n
x n W

()X k l
4、周期卷积和
1
21
0
( ) ( )
N
m
x m x n m

12( ) ( ) ( )Y k X k X k若
1
12
0
( ) [ ( ) ] ( ) ( )
N
m
y n I DF S Y k x m x n m
则
12( ) [ ( ) ( )]y n ID F S X k X k证,
1
12
0
1 ( ) ( )N kn
N
k
X k X k WN

11
12
00
1 [ ( ) ] ( )NN mk k n
NN
km
x m W X k WN



11
()
12
00
1( ) [ ( ) ]NN n m k
N
mk
x m X k WN




1
12
0
( ) ( )
N
m
x m x n m

1 4 2 5
12
( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( )
6
( ) ( )
x n R n x n n R n
x n x n
例：已知序列,
分别将序列以周期为 周期延拓成周期序列和,求两个周期序列的周期卷积和。
1
12
0
( ) ( ) ( )
N
m
y n x m x n m
解,
5
12
0
( ) ( )
m
x m x n m

0
5 …
0 5 4 3 2 1… 4 3 2 1
5
4 …
5 4 3 2 1 0… 3 2 1 0
4
3 …
4 3 2 1 0 5… 2 1 0 5
3
2 …
3 2 1 0 5 4… 1 0 5 4
2
1 …
2 1 0 5 4 3… 0 5 4 3
1
0 …
1 0 5 4 3 2… 5 4 3 2
1
2 …
1 2 3 4 5 0… 3 4 5 0
1
1 …
1 1 1 1 0 0… 1 1 0 0
6
7 …
0 1 2 3 4 5 … -4 -3 -2 -1nm
1 /x n m
2xm?
2 1xm?
2 2xm?
2 3xm?
2 4xm?
2 5xm?
2 /x n m
10
8
6
10
14
12
()yn
同样，利用对称性
1
12
0
1 ( ) ( )N
l
X l X k lN

1
21
0
1 ( ) ( )N
l
X l X k lN

12( ) ( ) ( )y n x n x n?若
1
0
( ) [ ( ) ] ( )
N
nk
N
n
Y k D FS y n y n W
则