七,用 DFT对模拟信号作频谱分析信号的频谱分析：计算信号的傅里叶变换
0
0
s
h
T
f
T
F
N
f
时 域 采 样 间 隔时 域 采 样 频 率信 号 记 录 长 度
（ 频 率 分 辨 率 ） 频 域 采 样 间 隔采 样 点 数信 号 最 高 频 率
0
0
sTfN
TF
1/sfT?2shff? 001/TF?
0sf NF? 0T NT?
对连续时间非周期信号的 DFT逼近
( ) ( ) jtX j x t e dt
1() 2 jtx t X j e d
( ) ( ) ( )j t j nT
n
X j x t e dt x nT e T
n
t nT dt T dt T
1）将 在 轴上等间隔（ T）分段()xt t
2）将 截短成有限长序列()xn 00~t T N?,个时域抽样点
N- 1
0
( ) ( ) j nT
n
X j T x nT e
002 F
0k
21
0
()
N j nk
N
n
T x n e
3）频域抽样：一个周期分 N段，采样间隔,时域周期延拓，
周期为
0F
001/TF?
0
N - 1
0
0
( ) ( ) jk nT
n
X jk T x nT e
002 / 2 /sT F f N
[ ( )]T D F T x n
0
1( ) ( )
2
s j nTx nT X j e d
0
1
00
0
1 ()
2
N
jk nT
k
X jk e?
0
1
0
0
N
k
d
d
21
00
0
()
N j nk
N
k
F X jk e
21
0
0
1 ()N j nkN
s
k
f X jk eN
1N N
01 / [ ( ) ]T I D F T X jk
对连续时间非周期信号的 DFT逼近过程
1）时域抽样
2）时域截断
3）频域抽样
0( ) [ ( ) ]X j k T D F T x n
0
1( ) [ ( ) ]x n I D F T X jk
T
近似逼近：
对连续时间周期信号的 DFS逼近
0 0
0 0
0
1( ) ( )T jk tX jk x t e d t
T
00() jk t
k
x t X jk e
0
1
0
00
1( ) ( )N jk nT
n
X jk x nT e TT
0
1
0 0
NT
n
t nT dt T dt T
1）将 在 轴上等间隔（ T）分段()xt t
1 [ ( ) ]DFS x n
N
0 2/TN
0T NT?
21
0
1 ()N j nkN
n
x n eN
2）频域截断：长度正好等于一个周期
0
1
0
0
( ) ( )
N
jk nT
k
x nT X jk e
21
0
0
()
N j nk
N
k
X jk e
21
0
0
1 ()N j nkN
k
N X jk eN
0[ ( ) ]N I D F S X jk
0
1( ) [ ( ) ]X jk DFS x n
N
0( ) [ ( ) ]x n N I D F S X j k
近似逼近：
频率响应的混叠失真及参数的选择
0
0
sTfN
TF
2shff?时域抽样：
001/FT?频域抽样：
同时提高信号最高频率和频率分辨率，需增加采样点数 N。
0
0
sTfN
TF
hsff要 增 加 信 号 最 高 频 率 则
0NF当 给定 必,即分辨率
00
0
1FT
F要提高频率分辨率，即 则
shN T f f当 给定 则 要不产生混叠,必信号最高频率与频率分辨率之间的矛盾
hf信号最高频率 的确定
0 /2htT?
0
11
2h hf Tt
FFT例：有一频谱分析用的 处理器，其抽样点数必须是2的 整数幂，假设没有采用任何的数据处理措施，已给条件为：
1 1 0
24
Hz
k Hz
）频率分辨率
）信号最高频率 0 1
2 T
N
T
试确定以下参量：
）最小记录长度
）抽样点间的最大时间间隔 （即最小抽样频率）
3 ）在一个记录中最少点数
1解,）最小记录长度：
0
0
11 0,1
10TsF
2 2 1 /s h sf f f T）最大抽样间隔 （ ）
3
11 0 1 2 5
2 2 4 1 0hT m sf,
3）最小记录点数
3
0
2 2 4 1 0 800
10
hfN
F
102 2 1 0 2 4 8 0 0mN取
1-14 有一调幅信号用 DFT做频谱分析，要求能分辨 的所有频率分量，问
(1)抽样频率应为多少赫兹（ Hz）?
(2)抽样时间间隔应为多少秒（ Sec）?
(3)抽样点数应为多少点？
(4)若用 频率抽样，抽样数据为 512
点，做频谱分析，求,
512点，并粗略画出 的幅频特性,标出主要点的坐标值。
1 c o s 2 1 0 0 c o s 2 6 0 0ax t t t
axt
3 k H zsf?
( ) [ ( )]X k D F T x n?
()Xk
()Xk
（ 1）抽样频率应为 2 7 0 0 1 4 0 0sf H z
解：
（ 2）抽样时间间隔应为
11 0,0 0 0 7 2 0,7 2
1400sT S e c m sf
1 c o s 2 1 0 0 c o s 2 6 0 0ax t t t
co s 2 60 0
11
co s 2 70 0 co s 2 50 0
22
t
tt
6 1 7 1 5co s 2 co s 2 co s 2
1 4 2 1 4 2 1 4nnn
3 ( ) ( )a t n Tx n x t（）
( ) 1 4x n N?为周期序列，周期
14? 抽样点数至少为 点
5 0 0 6 0 0 7 0 0 H z或者因为频率分量分别为,,
0 1 0 0 H zF?得
0/ 1 4 0 0 / 1 0 0 1 4sN f F
14N最小记录点数
2/ sT f f
2/kN */sf f k N?
频谱泄漏改善方法：
对时域截短，使频谱变宽拖尾，称为泄漏
1）增加 x(n)长度 2）缓慢截短栅栏效应改善方法：
增加频域抽样点数 N（时域补零），使谱线更密
DFT只计算离散点（基频 F0的整数倍处）的频谱，
而不是连续函数频率分辨率提高频率分辨率方法：
增加信号实际记录长度补零并不能提高频率分辨率
001/FT?
0
0
s
h
T
f
T
F
N
f
时 域 采 样 间 隔时 域 采 样 频 率信 号 记 录 长 度
（ 频 率 分 辨 率 ） 频 域 采 样 间 隔采 样 点 数信 号 最 高 频 率
0
0
sTfN
TF
1/sfT?2shff? 001/TF?
0sf NF? 0T NT?
对连续时间非周期信号的 DFT逼近
( ) ( ) jtX j x t e dt
1() 2 jtx t X j e d
( ) ( ) ( )j t j nT
n
X j x t e dt x nT e T
n
t nT dt T dt T
1）将 在 轴上等间隔（ T）分段()xt t
2）将 截短成有限长序列()xn 00~t T N?,个时域抽样点
N- 1
0
( ) ( ) j nT
n
X j T x nT e
002 F
0k
21
0
()
N j nk
N
n
T x n e
3）频域抽样：一个周期分 N段，采样间隔,时域周期延拓，
周期为
0F
001/TF?
0
N - 1
0
0
( ) ( ) jk nT
n
X jk T x nT e
002 / 2 /sT F f N
[ ( )]T D F T x n
0
1( ) ( )
2
s j nTx nT X j e d
0
1
00
0
1 ()
2
N
jk nT
k
X jk e?
0
1
0
0
N
k
d
d
21
00
0
()
N j nk
N
k
F X jk e
21
0
0
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s
k
f X jk eN
1N N
01 / [ ( ) ]T I D F T X jk
对连续时间非周期信号的 DFT逼近过程
1）时域抽样
2）时域截断
3）频域抽样
0( ) [ ( ) ]X j k T D F T x n
0
1( ) [ ( ) ]x n I D F T X jk
T
近似逼近：
对连续时间周期信号的 DFS逼近
0 0
0 0
0
1( ) ( )T jk tX jk x t e d t
T
00() jk t
k
x t X jk e
0
1
0
00
1( ) ( )N jk nT
n
X jk x nT e TT
0
1
0 0
NT
n
t nT dt T dt T
1）将 在 轴上等间隔（ T）分段()xt t
1 [ ( ) ]DFS x n
N
0 2/TN
0T NT?
21
0
1 ()N j nkN
n
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2）频域截断：长度正好等于一个周期
0
1
0
0
( ) ( )
N
jk nT
k
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21
0
0
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N
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21
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0
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0[ ( ) ]N I D F S X jk
0
1( ) [ ( ) ]X jk DFS x n
N
0( ) [ ( ) ]x n N I D F S X j k
近似逼近：
频率响应的混叠失真及参数的选择
0
0
sTfN
TF
2shff?时域抽样：
001/FT?频域抽样：
同时提高信号最高频率和频率分辨率，需增加采样点数 N。
0
0
sTfN
TF
hsff要 增 加 信 号 最 高 频 率 则
0NF当 给定 必,即分辨率
00
0
1FT
F要提高频率分辨率，即 则
shN T f f当 给定 则 要不产生混叠,必信号最高频率与频率分辨率之间的矛盾
hf信号最高频率 的确定
0 /2htT?
0
11
2h hf Tt
FFT例：有一频谱分析用的 处理器，其抽样点数必须是2的 整数幂，假设没有采用任何的数据处理措施，已给条件为：
1 1 0
24
Hz
k Hz
）频率分辨率
）信号最高频率 0 1
2 T
N
T
试确定以下参量：
）最小记录长度
）抽样点间的最大时间间隔 （即最小抽样频率）
3 ）在一个记录中最少点数
1解,）最小记录长度：
0
0
11 0,1
10TsF
2 2 1 /s h sf f f T）最大抽样间隔 （ ）
3
11 0 1 2 5
2 2 4 1 0hT m sf,
3）最小记录点数
3
0
2 2 4 1 0 800
10
hfN
F
102 2 1 0 2 4 8 0 0mN取
1-14 有一调幅信号用 DFT做频谱分析，要求能分辨 的所有频率分量，问
(1)抽样频率应为多少赫兹（ Hz）?
(2)抽样时间间隔应为多少秒（ Sec）?
(3)抽样点数应为多少点？
(4)若用 频率抽样，抽样数据为 512
点，做频谱分析，求,
512点，并粗略画出 的幅频特性,标出主要点的坐标值。
1 c o s 2 1 0 0 c o s 2 6 0 0ax t t t
axt
3 k H zsf?
( ) [ ( )]X k D F T x n?
()Xk
()Xk
（ 1）抽样频率应为 2 7 0 0 1 4 0 0sf H z
解：
（ 2）抽样时间间隔应为
11 0,0 0 0 7 2 0,7 2
1400sT S e c m sf
1 c o s 2 1 0 0 c o s 2 6 0 0ax t t t
co s 2 60 0
11
co s 2 70 0 co s 2 50 0
22
t
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6 1 7 1 5co s 2 co s 2 co s 2
1 4 2 1 4 2 1 4nnn
3 ( ) ( )a t n Tx n x t（）
( ) 1 4x n N?为周期序列，周期
14? 抽样点数至少为 点
5 0 0 6 0 0 7 0 0 H z或者因为频率分量分别为,,
0 1 0 0 H zF?得
0/ 1 4 0 0 / 1 0 0 1 4sN f F
14N最小记录点数
2/ sT f f
2/kN */sf f k N?
频谱泄漏改善方法：
对时域截短，使频谱变宽拖尾，称为泄漏
1）增加 x(n)长度 2）缓慢截短栅栏效应改善方法：
增加频域抽样点数 N（时域补零），使谱线更密
DFT只计算离散点（基频 F0的整数倍处）的频谱，
而不是连续函数频率分辨率提高频率分辨率方法：
增加信号实际记录长度补零并不能提高频率分辨率
001/FT?
