第 2章 传输线方程
Transmission Line Equation
上面讨论了微波基本概念,并且指出了工程中所关心的微波传输问题 。 微波传输的最明显特征是别树一帜的微波传输线,例如,双导线,同轴线,
带线和微带等等 。 我们很容易提出一个问题：微波传输线为什么不采用 50周市电明线呢?
一、低频传输线和微波传输线低频电路有很多课程,唯独没有传输线课程 。 理由很简单：只有两根线有什么理论可言？ 这里却要深入研究这个问题 。
1,低频传输线在低频中,我们中要研究一条线 (因为另一条线是作为回路出现的 )。 电流几乎均匀地分布在导线内 。 电流和电荷可等效地集中在轴线上,见图 (2-1)。
由分析可知,Poynting矢量集中在导体内部传播,
外部极少 。 事实上,对于低频,我们只须用 I,V和
Ohm定律解决即可,无须用电磁理论 。 不论导线怎样弯曲,能流都在导体内部和表面附近 。 (这是因为场的平方反比定律 )。
J
E
S
E H1
t
E=2
J
,?
￡＋
－
V
图 2-1 低频传输线一、低频传输线和微波传输线
［ 例 1］ 计算半径 r0=2mm=2× 10-3m的铜导线单位长度的直流线耗 R0
计及 J E
I JS E r
V E d l
02
R
V
I
E d l
E r
l
r0 0 2 0 2 7 3 2
3
1
5 8 10 2 10
1 37 10
,( )
,/? m
5 8 10 7.
一、低频传输线和微波传输线代入铜材料同时考虑 Ohm定律
J J e a r r0 0( )
J r r0 0是?
2,微波传输线当频率升高出现的第一个问题是导体的集肤效应
(Skin Effect)。 导体的电流,电荷和场都集中在导体表面
［ 例 2］ 研究 f=10GHz=1010Hz,l=3cm,r0=2mm导线的线耗 R
这种情况下,
其中,的表面电流密度,a是衰线常数 。 对于良导体,由电磁场理论可知
—— 称之为集肤深度 。
2 1?
一、低频传输线和微波传输线
I J d s J e ds E e rd rd
I E e re dr E e
a
rd e
E e
a
re e dr E
a
r
a a
e
a r r a r r
ar ar
r
ar ar
r
ar ar ar
r
ar
0 0
0
0
0
0
0
0
0 0 2 2
0 0
0
0
0
0
0
0
0
2 2
1
2
1
2
1 1 1
( ) ( )
计及在微波波段中,是一阶小量,对于 及以上量完全可以忽略 。 则
1/ a 1 2/a
I E r? 2 0 0
R E lI lr0
02
一、低频传输线和微波传输线而和直流的同样情况比较?
5 08 10
0 066 10 0 66 10
3 83 10
1
2 2 10 3 83 10
2 07
7
10 6
3
.
,/,,.
.
.
,/
f f= Hz
R
m
若
R
R
r
0
0 3
2 1 515 10,
从直流到 1010Hz,损耗要增加 1500倍。
一、低频传输线和微波传输线
r 0 r 0
图 2-2 直线电流均匀分布 图 2-3 微波集肤效应损耗是传输线的重要指标,如果要将,使损耗与直流保持相同,易算出
r r0?
r R12 3 03
0
,m
一、低频传输线和微波传输线也即直径是 d=6.06 m。 这种情况，已不能称为微波传输线，而应称之为微波传输,柱,比较合适，其粗度超过人民大会堂的主柱。 2米高的实心微波传输铜柱约 514吨重 (铜比重是 8.9T/m3),按我国古典名著《西游记》记载：孙悟空所得的金箍棒是东海龙王水晶宫的定海神针，重 10万 8千斤，即 54吨。而这里的微波柱是 514吨，约 9根金箍棒的重量，估计孙悟空是无法拿动的 !
集肤效应带来的第二个直接效果是：柱内部几乎物，并无能量传输无。
一、低频传输线和微波传输线看来,微波传输线必须走自己的路 。 每一种事物都有自己独特的本质,硬把不适合的情况强加给它,
必然会出现荒唐的结论 。 刚才讨论的例子正是因为我们硬设想把微波,关在,铜导线内传播,事实上也不可能 。,满圆春色关不住,一枝红杏出墙来,
微波功率应该 (绝大部分 )在导线之外的空间传输,
这便是结论 。
最简单而实用的微波传输线是双导线,它们与低频传输线有着本质的不同：功率是通过双导线之间的空间传输的 。
一、低频传输线和微波传输线这时，使我们更加明确了 Guide Line的含义，导线只是起到引导的作用，而实际上传输的是周围空间
(Space)(但是，没有 Guide Line又不行 )。 D和 d是特征尺寸，对于传输线性质十分重要。 D
d J
J
S
E
H
传输空间图 2-4 双导线一、低频传输线和微波传输线二、传输线方程传输线方程也称电报方程 。 在沟通大西洋电缆
(海底电缆 )时,开尔芬首先发现了 长线效应,电报信号的反射,传输都与低频有很大的不同 。 经过仔细研究,才知道当线长与波长可比拟或超过波长时,
我们必须计及其波动性,这时传输线也称长线 。
为了研究无限长传输线的支配方程,定义电压 u
和电流 i均是距离和时间的函数,即
(2-1)
u u z t
i i z t
(,)
(,)
i(z) i(z+
u(z) u(z+
z z+ z
z)
z)
L z R z
C z G z
图 2-5 长线效应二、传输线方程利用 Kirchhoff定律,有
(2-2)
当典型 Δz→ 0时,有
(2-3)
式 (2-3)是均匀传输线方程或电报方程。
u z z t u z t Ri z t L
i z t
t
z
i z z t i z t Gu z t C
u z t
t
z
(,) (,) (,)
(,)
(,) (,) (,)
(,)
u
z
Ri L
i
t
i
z
Gu C
u
t
二、传输线方程如果我们着重研究时谐 (正弦或余弦 )的变化情况，有
(2-4)
(2-4)式中,U(z),I(z)只与 z有关，表示在传输线 z处的电压或电流的有效复值。
u z t R U z e
i z t R I z e
e
j t
e
j t
(,) ( )
(,) ( )
du
dz
R j L I ZI
dI
dz
G j C U YU
( )
( )
二、传输线方程
(2-5)
三、无耗传输线方程无耗传输线是我们所研究的最重要条件之一,可表示为,R=0,G=0这时方程写出二次求导的结果
dU
dz
j LI
dI
dz
j CU
dE
dz
j H
dH
dz
j E
d U
dz
U
d I
dz
I
2
2
2
2
2
2
0
0
d E
dz
k E
d H
dz
k H
2
2
2
2
2
2
0
0
(2-7)
(2-6)
同样,和均匀平面波类比最后,求解的结果也作了类比,
k
LC k,
U z A e A e
I z
z
A e A e
j z j z
j z j z
( )
( ) ( )
1 2
0
1 2
1
E z A e A e
H z A e A e
j z j z
j z j z
( )
( ) ( )
1 2
1 2
1
dU z
dz
j A e A e
dU z
dz
j A e A e j LI z
j z j z
j z j z
( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 2
1 2
作为注记三、无耗传输线方程
(2-8)
I z
L
A e A e
C
L
A e A e
z
A e A e
j z j z j z j z
j z j z
( ) ( ) ( )
( )
1 2 1 2
0
1 2
1
其中,特性阻抗 均匀平面波中波阻抗
。 式 (2-8)称为传输线方程之通解 。 而的确定还需要边界条件 。
0
LZ
C
A A1 2、
很易得到三、无耗传输线方程四、无耗传输线的边界条件把通解转化为具体解,必须应用边界条件 。 所讨论的边界条件有：终端条件,源端条件和电源,阻抗条件 。
所建立的也是两套坐标,z从源出发,从负载出发 。
1,终端边界条件 (已知 )
代入解内,有
z'
U Il l,
U l U
I l I
l
l
( )
( )
U A e A e
I
Z
A e A e
l
j l j l
l
j l j l
1 2
0
1 2
1
( )
图 2-6 边界条件坐标系 ( )( ' )z z 1
四、无耗传输线的边界条件代入通解,为
(2-9)
0
1
0
2
2
2
jlll
jlll
U Z I
Ae
U Z I
Ae
U z U Z I e U Z I e
I z
Z
U Z I e
Z
U Z I e
l l
j l z
l l
j l z
l l
j l z
l l
j l z
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1
2
1
2
1
2
1
2
0 0
0
0
0
0
得到四、无耗传输线的边界条件对于终端边界条件场合,我们常喜欢采用 z’(终端出发 )坐标系 z’,计及 Euler公式
e z j z
e z j z
j z
j z
'
'
c o s ' s i n '
c o s ' s i n '
U z U l z jZ I l z
I z j U l
Z
z I l z
( ' ) ( ) c o s ' ( ) si n '
( ' ) ( ) si n ' ( ) c o s '
0
0
四、无耗传输线的边界条件
(2-10)
最后得到
U U
I I
( )
( )
0
0
0
0
A U Z I
A U Z I
1 0 0 0
2 0 0 0
1
2
1
2
( )
( )
2,源端边界条件 (已知 )U I0 0,
四、无耗传输线的边界条件在求解时,用 代入,形式与终端边界条件相同0l?
(2-11)
U z U Z I e U Z I e
I z
Z
U Z I e
Z
U Z I e
j z j z
j z j z
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1
2
1
2
1
2
1
2
0 0 0 0 0 0
0
0 0 0
0
0 0 0
U z U z jZ I z
I z j U
Z
z I z
( ) ( ) c o s ( ) si n
( ) ( ) si n ( ) c o s
0 0
0 0
0
0
最后得到四、无耗传输线的边界条件
(2-12)
3,电源阻抗条件 (已知 )
已知
E Z Zq q l,和
I I( )0 0?
U E I Z
I l I
U l I Z
q q
l
l l
( )
( )
( )
0 0
先考虑源条件
U A A E I Z
Z I A A I Z
A A W
A A
Z
Z
q g
q q
( )
( )
0
0
1 2 0
0 1 2 0 0
1 2
1 2
0
四、无耗传输线的边界条件
A A Z ZZ Z E ZZ Zq
q
q
q
1
0
0
0
0
( )
U l A e A e Z I
Z I l A e A e
j l j l
l l
j l j l
( )
( )
1 2
0 1 2
A e A e ZZ A e A ej l j l l j l j l1 2
0
1 2
( )
所以即再考虑终端条件四、无耗传输线的边界条件
A Z ZZ Z e Al
l
j l
1
0
0
2
2 0
构成线性方程组
A A
E Z
Z Z
A e A
g
g
g
j l
1 2
0
0
1 1
2
2 0
即四、无耗传输线的边界条件
D
e
D
E Z
Z Z
E Z
Z Z
D
E Z
Z Z
e
E Z e
Z Z
g
l
j l
g
g
g g
g
g
g
l
j l
q l
j l
g
1
1
0 1
1
0
2
1
0
0
0
0
2
0
0
2
0
2
0
其中 称为反射系数。?g g
g
l
l
l
Z Z
Z Z,
Z Z
Z Z?
0
0
0
0
四、无耗传输线的边界条件
A
D
D
E Z
Z Z e
A
D
D
E Z e
Z Z e
g
g g l
j l
g l
j l
g g l
j l
1
1 0
0
2
2
2 0
2
0
2
1
1
( )( )
( )( )
注记：传输线方程通解中有 两个常数,而源阻抗已知条件为 有三个常数,这之间是否有矛盾?
A A1 2和
E Z Zg g l、,
可得观察 可知 (见式 (2-14))，真正的独立参数为A A1 2,
四、无耗传输线的边界条件
(2-14)
E Z
Z Z e
e
g
g g
j l
l
j l
0
0
2
2
1( )( )
(2-15）
U z
E Z
Z Z
e e e
I z
E
Z Z
e e e
q
g
j z
l
j l j z
g l
e j l
q
g
j z
l
j l j z
g l
e j l
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
0
0
2
2
0
2
2
1
1
也是两个独立量。
最后得到四、无耗传输线的边界条件
(2-16）
PROBLEMS 2
一,研究 良导体情况下的平面波传播情况 。
其中 Maxwell方程是令时间因 z为,写出 解 。
波数 k和阻抗 。
＞＞
E a E H a H
x y
H E
E j H
ej tE H、
Transmission Line Equation
上面讨论了微波基本概念,并且指出了工程中所关心的微波传输问题 。 微波传输的最明显特征是别树一帜的微波传输线,例如,双导线,同轴线,
带线和微带等等 。 我们很容易提出一个问题：微波传输线为什么不采用 50周市电明线呢?
一、低频传输线和微波传输线低频电路有很多课程,唯独没有传输线课程 。 理由很简单：只有两根线有什么理论可言？ 这里却要深入研究这个问题 。
1,低频传输线在低频中,我们中要研究一条线 (因为另一条线是作为回路出现的 )。 电流几乎均匀地分布在导线内 。 电流和电荷可等效地集中在轴线上,见图 (2-1)。
由分析可知,Poynting矢量集中在导体内部传播,
外部极少 。 事实上,对于低频,我们只须用 I,V和
Ohm定律解决即可,无须用电磁理论 。 不论导线怎样弯曲,能流都在导体内部和表面附近 。 (这是因为场的平方反比定律 )。
J
E
S
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t
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图 2-1 低频传输线一、低频传输线和微波传输线
［ 例 1］ 计算半径 r0=2mm=2× 10-3m的铜导线单位长度的直流线耗 R0
计及 J E
I JS E r
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02
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5 8 10 7.
一、低频传输线和微波传输线代入铜材料同时考虑 Ohm定律
J J e a r r0 0( )
J r r0 0是?
2,微波传输线当频率升高出现的第一个问题是导体的集肤效应
(Skin Effect)。 导体的电流,电荷和场都集中在导体表面
［ 例 2］ 研究 f=10GHz=1010Hz,l=3cm,r0=2mm导线的线耗 R
这种情况下,
其中,的表面电流密度,a是衰线常数 。 对于良导体,由电磁场理论可知
—— 称之为集肤深度 。
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一、低频传输线和微波传输线
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0
0
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计及在微波波段中,是一阶小量,对于 及以上量完全可以忽略 。 则
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一、低频传输线和微波传输线而和直流的同样情况比较?
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从直流到 1010Hz,损耗要增加 1500倍。
一、低频传输线和微波传输线
r 0 r 0
图 2-2 直线电流均匀分布 图 2-3 微波集肤效应损耗是传输线的重要指标,如果要将,使损耗与直流保持相同,易算出
r r0?
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0
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一、低频传输线和微波传输线也即直径是 d=6.06 m。 这种情况，已不能称为微波传输线，而应称之为微波传输,柱,比较合适，其粗度超过人民大会堂的主柱。 2米高的实心微波传输铜柱约 514吨重 (铜比重是 8.9T/m3),按我国古典名著《西游记》记载：孙悟空所得的金箍棒是东海龙王水晶宫的定海神针，重 10万 8千斤，即 54吨。而这里的微波柱是 514吨，约 9根金箍棒的重量，估计孙悟空是无法拿动的 !
集肤效应带来的第二个直接效果是：柱内部几乎物，并无能量传输无。
一、低频传输线和微波传输线看来,微波传输线必须走自己的路 。 每一种事物都有自己独特的本质,硬把不适合的情况强加给它,
必然会出现荒唐的结论 。 刚才讨论的例子正是因为我们硬设想把微波,关在,铜导线内传播,事实上也不可能 。,满圆春色关不住,一枝红杏出墙来,
微波功率应该 (绝大部分 )在导线之外的空间传输,
这便是结论 。
最简单而实用的微波传输线是双导线,它们与低频传输线有着本质的不同：功率是通过双导线之间的空间传输的 。
一、低频传输线和微波传输线这时，使我们更加明确了 Guide Line的含义，导线只是起到引导的作用，而实际上传输的是周围空间
(Space)(但是，没有 Guide Line又不行 )。 D和 d是特征尺寸，对于传输线性质十分重要。 D
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S
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传输空间图 2-4 双导线一、低频传输线和微波传输线二、传输线方程传输线方程也称电报方程 。 在沟通大西洋电缆
(海底电缆 )时,开尔芬首先发现了 长线效应,电报信号的反射,传输都与低频有很大的不同 。 经过仔细研究,才知道当线长与波长可比拟或超过波长时,
我们必须计及其波动性,这时传输线也称长线 。
为了研究无限长传输线的支配方程,定义电压 u
和电流 i均是距离和时间的函数,即
(2-1)
u u z t
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(,)
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i(z) i(z+
u(z) u(z+
z z+ z
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L z R z
C z G z
图 2-5 长线效应二、传输线方程利用 Kirchhoff定律,有
(2-2)
当典型 Δz→ 0时,有
(2-3)
式 (2-3)是均匀传输线方程或电报方程。
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Gu C
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二、传输线方程如果我们着重研究时谐 (正弦或余弦 )的变化情况，有
(2-4)
(2-4)式中,U(z),I(z)只与 z有关，表示在传输线 z处的电压或电流的有效复值。
u z t R U z e
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二、传输线方程
(2-5)
三、无耗传输线方程无耗传输线是我们所研究的最重要条件之一,可表示为,R=0,G=0这时方程写出二次求导的结果
dU
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(2-7)
(2-6)
同样,和均匀平面波类比最后,求解的结果也作了类比,
k
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作为注记三、无耗传输线方程
(2-8)
I z
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j z j z j z j z
j z j z
( ) ( ) ( )
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1 2 1 2
0
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其中,特性阻抗 均匀平面波中波阻抗
。 式 (2-8)称为传输线方程之通解 。 而的确定还需要边界条件 。
0
LZ
C
A A1 2、
很易得到三、无耗传输线方程四、无耗传输线的边界条件把通解转化为具体解,必须应用边界条件 。 所讨论的边界条件有：终端条件,源端条件和电源,阻抗条件 。
所建立的也是两套坐标,z从源出发,从负载出发 。
1,终端边界条件 (已知 )
代入解内,有
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图 2-6 边界条件坐标系 ( )( ' )z z 1
四、无耗传输线的边界条件代入通解,为
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l l
j l z
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1
2
1
2
1
2
1
2
0 0
0
0
0
0
得到四、无耗传输线的边界条件对于终端边界条件场合,我们常喜欢采用 z’(终端出发 )坐标系 z’,计及 Euler公式
e z j z
e z j z
j z
j z
'
'
c o s ' s i n '
c o s ' s i n '
U z U l z jZ I l z
I z j U l
Z
z I l z
( ' ) ( ) c o s ' ( ) si n '
( ' ) ( ) si n ' ( ) c o s '
0
0
四、无耗传输线的边界条件
(2-10)
最后得到
U U
I I
( )
( )
0
0
0
0
A U Z I
A U Z I
1 0 0 0
2 0 0 0
1
2
1
2
( )
( )
2,源端边界条件 (已知 )U I0 0,
四、无耗传输线的边界条件在求解时,用 代入,形式与终端边界条件相同0l?
(2-11)
U z U Z I e U Z I e
I z
Z
U Z I e
Z
U Z I e
j z j z
j z j z
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1
2
1
2
1
2
1
2
0 0 0 0 0 0
0
0 0 0
0
0 0 0
U z U z jZ I z
I z j U
Z
z I z
( ) ( ) c o s ( ) si n
( ) ( ) si n ( ) c o s
0 0
0 0
0
0
最后得到四、无耗传输线的边界条件
(2-12)
3,电源阻抗条件 (已知 )
已知
E Z Zq q l,和
I I( )0 0?
U E I Z
I l I
U l I Z
q q
l
l l
( )
( )
( )
0 0
先考虑源条件
U A A E I Z
Z I A A I Z
A A W
A A
Z
Z
q g
q q
( )
( )
0
0
1 2 0
0 1 2 0 0
1 2
1 2
0
四、无耗传输线的边界条件
A A Z ZZ Z E ZZ Zq
q
q
q
1
0
0
0
0
( )
U l A e A e Z I
Z I l A e A e
j l j l
l l
j l j l
( )
( )
1 2
0 1 2
A e A e ZZ A e A ej l j l l j l j l1 2
0
1 2
( )
所以即再考虑终端条件四、无耗传输线的边界条件
A Z ZZ Z e Al
l
j l
1
0
0
2
2 0
构成线性方程组
A A
E Z
Z Z
A e A
g
g
g
j l
1 2
0
0
1 1
2
2 0
即四、无耗传输线的边界条件
D
e
D
E Z
Z Z
E Z
Z Z
D
E Z
Z Z
e
E Z e
Z Z
g
l
j l
g
g
g g
g
g
g
l
j l
q l
j l
g
1
1
0 1
1
0
2
1
0
0
0
0
2
0
0
2
0
2
0
其中 称为反射系数。?g g
g
l
l
l
Z Z
Z Z,
Z Z
Z Z?
0
0
0
0
四、无耗传输线的边界条件
A
D
D
E Z
Z Z e
A
D
D
E Z e
Z Z e
g
g g l
j l
g l
j l
g g l
j l
1
1 0
0
2
2
2 0
2
0
2
1
1
( )( )
( )( )
注记：传输线方程通解中有 两个常数,而源阻抗已知条件为 有三个常数,这之间是否有矛盾?
A A1 2和
E Z Zg g l、,
可得观察 可知 (见式 (2-14))，真正的独立参数为A A1 2,
四、无耗传输线的边界条件
(2-14)
E Z
Z Z e
e
g
g g
j l
l
j l
0
0
2
2
1( )( )
(2-15）
U z
E Z
Z Z
e e e
I z
E
Z Z
e e e
q
g
j z
l
j l j z
g l
e j l
q
g
j z
l
j l j z
g l
e j l
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
0
0
2
2
0
2
2
1
1
也是两个独立量。
最后得到四、无耗传输线的边界条件
(2-16）
PROBLEMS 2
一,研究 良导体情况下的平面波传播情况 。
其中 Maxwell方程是令时间因 z为,写出 解 。
波数 k和阻抗 。
＞＞
E a E H a H
x y
H E
E j H
ej tE H、
