第 3章 工程状态分析 (Ⅰ )
Working Process Analysis(Ⅰ )
先回顾一下传输线方程的求解
00
0
000
0
0
0
00
21
c osc os
1
)'(
s i nc os)(
2
1
'c os
1
'c os)'(
's i n'c os)'(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
zIzU
Z
jzI
zIjZzUzU
fC
L
Z
LC
LC
IzU
Z
zjzI
IzjZUzzU
C
L
ZZE
UI
UZ
AA
zCUj
dz
zdU
zLIj
dz
zdU
p
g
p
ll
ll
glg
ll
始端条件二次特征量终端条件电位长度电容—
单位长度电感—
一次特征量
，，已知电源阻抗条件
，已知始端条件
，已知终端条件的边界条件，确定传输线支配方程上面这张表反映了微分方程的典型解法：即支配方程加边界条件 。 支配方程求出通解 (或普遍解 )
,它已孕育着本征模 (Eigen Modes)的思想 。 凡是受这一支配方程统率的物理规律有这些解,而且这只有这些解 。 例如
(3-1) )()()( zUzUzU
zjzj
zjzj
eAeAZzI
eAeAzU
2
1
0
2
1
1
zj
lg
zjzj
l
zj
g
g
zj
lg
zjzj
l
zj
g
g
e
eer
ZZ
EzI
e
eee
ZZ
ZEzU
2
2
0
2
2
0
0
1
1
任何传输线上的电压函数只可能是入射波和反射波的迭加 (构成 Standing Wave)。 不同传输线的区别仅仅在于入射波和反射波的成分不同 。 换句话说,通解是完备的,我们不需要再去找,也不可能再找到其它解 。
边界条件确定 A1和 A2。 边界条件的求取过程中,
也孕育着一种思想,即网络思想 (Network Idea),已知输入求输出；或已知输出求输入 。
特别需要指出：本征模思想和网络思想是贯穿本课程最重要的两种方法。
一、传输线的反射系数 和阻抗? Z
反映传输线任以何一点特性的参量是反射系数 Γ
和阻抗 Z。
Z lU l
IlI`z
0z
U` z 图 3-1
)'()'()(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
)(
)'()'()(
2
1
)(
2
1
)(
'
101
0
'
101
0
21
'
101
'
101
21
zIzIeIZU
Z
eIZU
Z
eAeAzI
zUzUeIZUeIZU
eAeAzU
zjzj
zjzj
zjzj
zjzj
1,反射系数 Γ
传输线上的电压和电流可表示为一、传输线的反射系数 和阻抗? Z
（ 3-2）
)0'(
)0'()0'(
)0'(/)0'()0'(
)0'(/)0'()0'(
z
zz
zIzIz
zUzUz
l
l
l
一率采用电压反射系数负载电流反射系数负载电压反射系数
'
'
)0'(
)0'(
)'(/)'()'(
'
zj
zj
ezU
ezU
zUzUz
z
的电压反射系数任意出
'2)'( zjl ez系负载反射与输入反射关
)]'(1)['()'(
)]'(1)['()'(
zzIzI
zzUzU
一、传输线的反射系数 和阻抗? Z
［ 性质 ］ ·反射系数的模是无耗传输线系统的不变量
(3-3)
·反射系数呈周期性
(3-4)
这一性质的深层原因是传输线的波动性,也称为二分之一波长的重复性 。
(3-5)
入射波电压与入射波电流之比始终是不变量 Z0,反射波电压与反射波电流之比又是不变量 — Z0
|||)'(| lz
)'()2/'( zgmz
0
0
)'(/)'(
)'(/)'(
ZzIzU
ZzIzU
一、传输线的反射系数 和阻抗? Z
2,阻抗 Z
lll IUZ /?
负载阻抗
)'(/)'()'(
'
zIzUzZ
Z
出输入阻抗任意
ll
ll
IzUzj
IzjZUz
zI
zU
'c o s's i n21
's i n'c o s
)'(
)'( 0
'ta n
'ta n)'(
0
00 zjZZ zjZZZzZ
l
l输入阻抗与负载阻抗关系
［性质］ ·负载阻抗 Zl通过传输线段 变换成 ( )，因此传输线对于阻抗有变换器 (Transformer)的作用。
'z 'z
一、传输线的反射系数 和阻抗? Z
阻抗有周期特性,周期是
3,反射系数与阻抗的关系
'tan z
)'()2/'( zZmzZ g
0
0
0
0
0
0
1
1
'
)'(
)'(
)'(
)'(1
)'(1
)'(
'
ZZ
ZZ
ZZ
z
ZzZ
ZzZ
z
z
z
ZzZ
z
l
l
l
l
l
l
情况任意情况任意
(3-6)
一、传输线的反射系数 和阻抗? Z
如果负载 或无限长传输线,这时0ZZl?
0
0
0?
ZZ
ZZ
l
l
l
zjzj
zjzj
eIeZIU
Z
zI
eUeZIUzU
0000
0
0000
)(
2
1
)(
)(
2
1
)(
二、传输线的行波状态
(3-7)
无反射波，我们称之为行波状态或匹配 (Matching)。
根据源条件
(3-8)
)c o s (||),(
)c o s (||),(
00
00
ztItzi
ztUtzu
0)( ZzZ?
写成瞬态形式
0?),(),( tzitzu 和0?
0Z
表示为初相角,初相均为 是因为 是实数。
(3-9)
(3-10)
二、传输线的行波状态
1 2 3
0 z
u (z)
图 3-2 行波状态①,②,③0?t? 4/t 2/t
二、传输线的行波状态三、传输线的驻波状态我们把反射系数模等于 1的全反射情况称为驻波状态 。
【 定理 】 传输线全反射的条件是负载接纯电抗,即
ll jXZ?
0
0
ZZ
ZZ
l
l
l?
lll jXRZ
，则证得计及 004
22
1
)(
)(
||
00
22
00
222
00
2
22
0
22
02
ZZR
XZZRRXZZRR
XZR
XZR
l
llllll
ll
ll
l
因为设
lll jXZR 或0
(3-11)
1,短路状态 10 llZ,
lllll UUUU,此条件说明1/
'c o s2)'(
's i n2)'(
''''
''''
zIeIeIeIeIzI
zUjeUeUeUeUzU
l
zj
l
zj
l
zj
l
zj
l
l
zj
l
zj
l
zj
l
zj
l
't a n)'(/)'()'( 0 zjZzIzUzZ
2/'' gmzmz 4/)12('2/)12(' gmzmz
||2|)'(|
0|)'(|
lIzI
zU
电流腹点电压节点
0|)'(|
||2|)'(|
zI
UzU l
电流腹点电压节点
(3-12)
电压、电流呈驻波分布三、传输线的驻波状态
2.开路线 1
llZ,
)133('t a n)'(
's i n2)'(
'c o s2)'(
1/
0
zcjZzZ
zIjzI
zUzU
UUUU
l
l
lllll
2/'' gmzmz 4/)12('2/)12(' gmzmz
0|)'(|
||2|)'(|
zI
UzU l
电流腹点电压节点
||2|)'(|
0|)'(|
llzI
zU
电流腹点电压节点经过观察,可以把开路线看成是短路线移动而成4/g?
三、传输线的驻波状态
z 0
0
0
0
z
z
z
I
I
u,
x
3 2
x
u
E i
S i
H i
S r
E r
H r
U
U
Z
图 3-3
三、传输线的驻波状态
"s i n
~
2)"(
"s i n
~
2)"(
's i n2)'('c o s2)'(
'c o s2)'('s i n2)'(
zIzI
zUjzU
zIjzIzIzI
zUzUzUjzU
l
l
ll
ll
开路状态短路状态作变换,即可由开路线转化成短路线。
ll UjUgzz ~4/'",?
三、传输线的驻波状态不少教材疏忽了 的条件，严格地说，长度
( )移动条件只对 和阻抗有效，相位是不等价的。
ll UjU ~
"z ||?lU
"t an)"(
't an)'('t an)'(
0
00
zjZzZ
zcjZzZzjZzZ
三、传输线的驻波状态
3,任意电抗负载 lj
lll ejXZ,
't an1
't an
't an
't an
't an
't an
)'(
0
0
0
0
0
0
0
0
0
z
Z
X
z
Z
X
jZ
zXZ
zZX
Z
zjZZ
zjZZ
ZzZ
l
l
l
l
l
l
zZX l
0
1t an (3-14)
我们写出一般情况下的阻抗公式假设或者
zZX lt an
0
三、传输线的驻波状态
)'(t a n)'( 0 zzjZzZ
zzz '"
z?
可得 (3-15)
式 (3-13)是广义的阻抗等效长度公式,可以写出
(3-16)
对于,明显有 电抗等效长度可正可负 。 Xl为感性时,为正； Xl为容性时,为负,见图 (3-5)所示 。
考虑到传输线的波动性 —— 重复性。因此正、负并非绝对，严格地说，应该是 min | | 的正负性。
1x 4/gz
z?
2/g? z?
z?
三、传输线的驻波状态
z 0
z
z
U
U
I
I
E i
S i
H i
S r
E r
H r
0
z
Z
z
0
0
,
=0
图 3-4
三、传输线的驻波状态
［ 附注 ］ 对于等效长度问题,我们也可以采用反射系数相位 来加以研究以 短路状态为标准
l?
'2
'2
0 1
1)'(
zj
l
zj
l
e
eZzZ
'2
'2
0 1
1)'(
zj
zj
e
eZzZ
(3-17)
三、传输线的驻波状态
U
U UII
I
0 0
jx l
z 为 正
jx l
z 为 负图 3-5
三、传输线的驻波状态再考虑 的一般情况ljl e
)'2(
)'2(
0 1
1)'(
l
l
zj
zj
e
eZzZ
lggz 44'2
l
l
g
gz
gg
zz
44
1
44
'"
(3-18)
相位因子又重新整理成于是比较可知
(3-19)
(3-20)
三、传输线的驻波状态
0
0
0
0
1
1
)(
Z
X
j
Z
X
j
ZZ
ZZ
l
l
l
l
l
0
11t an2
Z
X
l
0
11t an
2 Z
Xg
l?
计及
(3-21)
(3-22)
(3-23)
与前面的结论完全相同。
三、传输线的驻波状态
PROBLEMS 3
一,均匀平面波入射到半无界 的介质平面,形成反射和透射,其中入射波
r r4 1,
E E a e
H H a e
i x
jk z
i y
jk z
0
0
0
0
试写出空气区域的合成场和介质区域的透射场表示式 。
x
y
z
H i
H t
H r
S i
S t
S r
E i
E t
E r
空气区介值区
Working Process Analysis(Ⅰ )
先回顾一下传输线方程的求解
00
0
000
0
0
0
00
21
c osc os
1
)'(
s i nc os)(
2
1
'c os
1
'c os)'(
's i n'c os)'(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
zIzU
Z
jzI
zIjZzUzU
fC
L
Z
LC
LC
IzU
Z
zjzI
IzjZUzzU
C
L
ZZE
UI
UZ
AA
zCUj
dz
zdU
zLIj
dz
zdU
p
g
p
ll
ll
glg
ll
始端条件二次特征量终端条件电位长度电容—
单位长度电感—
一次特征量
，，已知电源阻抗条件
，已知始端条件
，已知终端条件的边界条件，确定传输线支配方程上面这张表反映了微分方程的典型解法：即支配方程加边界条件 。 支配方程求出通解 (或普遍解 )
,它已孕育着本征模 (Eigen Modes)的思想 。 凡是受这一支配方程统率的物理规律有这些解,而且这只有这些解 。 例如
(3-1) )()()( zUzUzU
zjzj
zjzj
eAeAZzI
eAeAzU
2
1
0
2
1
1
zj
lg
zjzj
l
zj
g
g
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zjzj
l
zj
g
g
e
eer
ZZ
EzI
e
eee
ZZ
ZEzU
2
2
0
2
2
0
0
1
1
任何传输线上的电压函数只可能是入射波和反射波的迭加 (构成 Standing Wave)。 不同传输线的区别仅仅在于入射波和反射波的成分不同 。 换句话说,通解是完备的,我们不需要再去找,也不可能再找到其它解 。
边界条件确定 A1和 A2。 边界条件的求取过程中,
也孕育着一种思想,即网络思想 (Network Idea),已知输入求输出；或已知输出求输入 。
特别需要指出：本征模思想和网络思想是贯穿本课程最重要的两种方法。
一、传输线的反射系数 和阻抗? Z
反映传输线任以何一点特性的参量是反射系数 Γ
和阻抗 Z。
Z lU l
IlI`z
0z
U` z 图 3-1
)'()'()(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
)(
)'()'()(
2
1
)(
2
1
)(
'
101
0
'
101
0
21
'
101
'
101
21
zIzIeIZU
Z
eIZU
Z
eAeAzI
zUzUeIZUeIZU
eAeAzU
zjzj
zjzj
zjzj
zjzj
1,反射系数 Γ
传输线上的电压和电流可表示为一、传输线的反射系数 和阻抗? Z
（ 3-2）
)0'(
)0'()0'(
)0'(/)0'()0'(
)0'(/)0'()0'(
z
zz
zIzIz
zUzUz
l
l
l
一率采用电压反射系数负载电流反射系数负载电压反射系数
'
'
)0'(
)0'(
)'(/)'()'(
'
zj
zj
ezU
ezU
zUzUz
z
的电压反射系数任意出
'2)'( zjl ez系负载反射与输入反射关
)]'(1)['()'(
)]'(1)['()'(
zzIzI
zzUzU
一、传输线的反射系数 和阻抗? Z
［ 性质 ］ ·反射系数的模是无耗传输线系统的不变量
(3-3)
·反射系数呈周期性
(3-4)
这一性质的深层原因是传输线的波动性,也称为二分之一波长的重复性 。
(3-5)
入射波电压与入射波电流之比始终是不变量 Z0,反射波电压与反射波电流之比又是不变量 — Z0
|||)'(| lz
)'()2/'( zgmz
0
0
)'(/)'(
)'(/)'(
ZzIzU
ZzIzU
一、传输线的反射系数 和阻抗? Z
2,阻抗 Z
lll IUZ /?
负载阻抗
)'(/)'()'(
'
zIzUzZ
Z
出输入阻抗任意
ll
ll
IzUzj
IzjZUz
zI
zU
'c o s's i n21
's i n'c o s
)'(
)'( 0
'ta n
'ta n)'(
0
00 zjZZ zjZZZzZ
l
l输入阻抗与负载阻抗关系
［性质］ ·负载阻抗 Zl通过传输线段 变换成 ( )，因此传输线对于阻抗有变换器 (Transformer)的作用。
'z 'z
一、传输线的反射系数 和阻抗? Z
阻抗有周期特性,周期是
3,反射系数与阻抗的关系
'tan z
)'()2/'( zZmzZ g
0
0
0
0
0
0
1
1
'
)'(
)'(
)'(
)'(1
)'(1
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'
ZZ
ZZ
ZZ
z
ZzZ
ZzZ
z
z
z
ZzZ
z
l
l
l
l
l
l
情况任意情况任意
(3-6)
一、传输线的反射系数 和阻抗? Z
如果负载 或无限长传输线,这时0ZZl?
0
0
0?
ZZ
ZZ
l
l
l
zjzj
zjzj
eIeZIU
Z
zI
eUeZIUzU
0000
0
0000
)(
2
1
)(
)(
2
1
)(
二、传输线的行波状态
(3-7)
无反射波，我们称之为行波状态或匹配 (Matching)。
根据源条件
(3-8)
)c o s (||),(
)c o s (||),(
00
00
ztItzi
ztUtzu
0)( ZzZ?
写成瞬态形式
0?),(),( tzitzu 和0?
0Z
表示为初相角,初相均为 是因为 是实数。
(3-9)
(3-10)
二、传输线的行波状态
1 2 3
0 z
u (z)
图 3-2 行波状态①,②,③0?t? 4/t 2/t
二、传输线的行波状态三、传输线的驻波状态我们把反射系数模等于 1的全反射情况称为驻波状态 。
【 定理 】 传输线全反射的条件是负载接纯电抗,即
ll jXZ?
0
0
ZZ
ZZ
l
l
l?
lll jXRZ
，则证得计及 004
22
1
)(
)(
||
00
22
00
222
00
2
22
0
22
02
ZZR
XZZRRXZZRR
XZR
XZR
l
llllll
ll
ll
l
因为设
lll jXZR 或0
(3-11)
1,短路状态 10 llZ,
lllll UUUU,此条件说明1/
'c o s2)'(
's i n2)'(
''''
''''
zIeIeIeIeIzI
zUjeUeUeUeUzU
l
zj
l
zj
l
zj
l
zj
l
l
zj
l
zj
l
zj
l
zj
l
't a n)'(/)'()'( 0 zjZzIzUzZ
2/'' gmzmz 4/)12('2/)12(' gmzmz
||2|)'(|
0|)'(|
lIzI
zU
电流腹点电压节点
0|)'(|
||2|)'(|
zI
UzU l
电流腹点电压节点
(3-12)
电压、电流呈驻波分布三、传输线的驻波状态
2.开路线 1
llZ,
)133('t a n)'(
's i n2)'(
'c o s2)'(
1/
0
zcjZzZ
zIjzI
zUzU
UUUU
l
l
lllll
2/'' gmzmz 4/)12('2/)12(' gmzmz
0|)'(|
||2|)'(|
zI
UzU l
电流腹点电压节点
||2|)'(|
0|)'(|
llzI
zU
电流腹点电压节点经过观察,可以把开路线看成是短路线移动而成4/g?
三、传输线的驻波状态
z 0
0
0
0
z
z
z
I
I
u,
x
3 2
x
u
E i
S i
H i
S r
E r
H r
U
U
Z
图 3-3
三、传输线的驻波状态
"s i n
~
2)"(
"s i n
~
2)"(
's i n2)'('c o s2)'(
'c o s2)'('s i n2)'(
zIzI
zUjzU
zIjzIzIzI
zUzUzUjzU
l
l
ll
ll
开路状态短路状态作变换,即可由开路线转化成短路线。
ll UjUgzz ~4/'",?
三、传输线的驻波状态不少教材疏忽了 的条件，严格地说，长度
( )移动条件只对 和阻抗有效，相位是不等价的。
ll UjU ~
"z ||?lU
"t an)"(
't an)'('t an)'(
0
00
zjZzZ
zcjZzZzjZzZ
三、传输线的驻波状态
3,任意电抗负载 lj
lll ejXZ,
't an1
't an
't an
't an
't an
't an
)'(
0
0
0
0
0
0
0
0
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z
Z
X
z
Z
X
jZ
zXZ
zZX
Z
zjZZ
zjZZ
ZzZ
l
l
l
l
l
l
zZX l
0
1t an (3-14)
我们写出一般情况下的阻抗公式假设或者
zZX lt an
0
三、传输线的驻波状态
)'(t a n)'( 0 zzjZzZ
zzz '"
z?
可得 (3-15)
式 (3-13)是广义的阻抗等效长度公式,可以写出
(3-16)
对于,明显有 电抗等效长度可正可负 。 Xl为感性时,为正； Xl为容性时,为负,见图 (3-5)所示 。
考虑到传输线的波动性 —— 重复性。因此正、负并非绝对，严格地说，应该是 min | | 的正负性。
1x 4/gz
z?
2/g? z?
z?
三、传输线的驻波状态
z 0
z
z
U
U
I
I
E i
S i
H i
S r
E r
H r
0
z
Z
z
0
0
,
=0
图 3-4
三、传输线的驻波状态
［ 附注 ］ 对于等效长度问题,我们也可以采用反射系数相位 来加以研究以 短路状态为标准
l?
'2
'2
0 1
1)'(
zj
l
zj
l
e
eZzZ
'2
'2
0 1
1)'(
zj
zj
e
eZzZ
(3-17)
三、传输线的驻波状态
U
U UII
I
0 0
jx l
z 为 正
jx l
z 为 负图 3-5
三、传输线的驻波状态再考虑 的一般情况ljl e
)'2(
)'2(
0 1
1)'(
l
l
zj
zj
e
eZzZ
lggz 44'2
l
l
g
gz
gg
zz
44
1
44
'"
(3-18)
相位因子又重新整理成于是比较可知
(3-19)
(3-20)
三、传输线的驻波状态
0
0
0
0
1
1
)(
Z
X
j
Z
X
j
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ZZ
l
l
l
l
l
0
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Z
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l
0
11t an
2 Z
Xg
l?
计及
(3-21)
(3-22)
(3-23)
与前面的结论完全相同。
三、传输线的驻波状态
PROBLEMS 3
一,均匀平面波入射到半无界 的介质平面,形成反射和透射,其中入射波
r r4 1,
E E a e
H H a e
i x
jk z
i y
jk z
0
0
0
0
试写出空气区域的合成场和介质区域的透射场表示式 。
x
y
z
H i
H t
H r
S i
S t
S r
E i
E t
E r
空气区介值区
