第 12章 矩形波导 TE10波 (Ⅰ)
TE10 Mode in Rectangular Waveguide (Ⅰ )
这次课主要讲述矩形波导中 TE10波 。 我们将先从波导一般解开始讲起 。
一,矩形波导的一般解写出无源 区域的 Maxwell方程组
(12-1)
0
0
H
E
HjE
EjH
J?0
一、矩形波导的一般解作为例子,对 (12-1)中第 2式两边再取旋度可以得到支配方程
E E E j H
E k E
( ) 2
2 2
2 2
2 2
0
0
E k E
H k H
(12-2)
波导的一般解采用纵向分量法，其流图如下所示，
上式也称 Helmholtz方程一、矩形波导的一般解支配方程
2 2
2 2
0
0
E k E
H k H
纵向分量方程
2 2
2 2
0
0
E k E
H k H
z z
z z
其它分量用表示E H
E f E H
E f E H
H f E H
H f E H
z
x z
y z
x z
y z
,,
,
,
,
,
1
2
3
4
方程无源区中出发点
M a x w e ll
图 12-1 波导一般解流图
1,纵向分量方程
(12-3)
假定 Ez(或 Hz)可分离变量，也即
(12-4)
且一、矩形波导的一般解
(12-5)
2 2
2 2
0
0
E k E
H k H
z z
z z
E E x y Z z
H H x y W z
z
z
(,) ( )
(,) ( )
2 2
2
2t Z
代入可知
(12-6)
由于其独立性，上式各项均为常数
(12-7)
一、矩形波导的一般解
t E x y
E x y Z z
Z z
z k
2 2
2
21 0(,)
(,) ( )
( )?
1
0
2
2
2
2
2
Z z
Z z
z
E x y
E x y
kt
t
( )
( )
(,)
(,)
其中
(12-8)
称为截止波数，则式 (12-7)中第一方程的解是一、矩形波导的一般解
k kt2 2 2
Z z C e C ez z( )1 2
(12-9)
十分有趣的是：波导解的 z函数与传输线解有惊人的相似，又是入射波和反射波的组合，因为我们只研究一个波 (不论是 TE或 TM波 )，所以在形式上只写入射波，有且
(12-10)
2,横向分量用纵向分量表示一、矩形波导的一般解
E E x y e
H H x y e
z
z
z
z
(,)
(,)
z
H j E
一、矩形波导的一般解
( )
i j k
x y
H H H
j E i E j E k
x y z
x y z
H
y
H j E
H
H
x
j E
H
x
H
y
j E
z
y x
x
z
y
y x
z
(12-11)
一、矩形波导的一般解
E j H
( )
i j k
x y
E E E
j H i H j H k
x y z
x y z
(12-12)
一、矩形波导的一般解
E
y
E j H
E
E
x
j H
E
x
E
y
j H
z
y x
x
z
y
y x
z
先整理 Ex,Hy方程组一、矩形波导的一般解
222
c
z
yx
z
yx
kk
j
j
D
x
E
HjE
y
H
HEj
y
H
x
E
j
x
E
y
H
j
D
y
H
j
x
E
j
x
E
y
H
D
zz
x
z
zz
z
z
一、矩形波导的一般解
(12-13)
E
k
E
x
j
H
y
H
k
j
E
x
H
y
x
c
z z
y
c
z z
1
1
2
2
一、矩形波导的一般解再整理 Ey,Hx方程组 j E H
H
x
E j H
E
y
D
j
j
k
y z
z
y z
y
c
2
一、矩形波导的一般解
(12-14)
D
H
x
E
y
j
E
y
j
H
x
D
j
H
z
E
y
j
E
y
H
x
z
z
z z
z
x
z z
E
k
E
y
j
H
x
H
k
j
E
y
H
x
x
c
z z
y
c
z z
1
1
2
2
一、矩形波导的一般解
E
E
H
H
k
j
j
j
j
E
x
E
y
H
x
H
y
x
y
x
y
c
x
x
x
x
1
0 0
0 0
0 0
0 0
2
进一步归纳成矩阵形式注意到 Ez和 Hz的横向函数要依赖具体的边界条件。
一、矩形波导的一般解二、矩形波导的横向解在矩形波导中存在 TE和 TM两类波,请注意矩形波导中不可能存在 TEM波 (推而广之,任何空心管中都不可能存在 TEM波 )。
这里以 TE波为例作出讨论,即 Ez=0,对于纵向分量只须讨论 Hz,计及
t x y
2 2
2
2
2
0),( ),( 2
2
ct kyxH yxH
二、矩形波导的横向解则矩形波导的横向解是
2
2
2
2
2H x y
x
H x y
y k H x yc
(,) (,) (,)(12-17)
图 12-2 矩形波导坐标系
x
z
y
a
0
b
e m
二、矩形波导的横向解再令 H(x,y)可分离变量，即 H(x,y)=X(x)Y(y)
1 12
2
2
2
2
X
X
x Y
Y
y k c
还令每项都是常数 (Constant),可得
1
1
2
2
2
2
2
2
2 2 2
X
X
x
k
Y
Y
y
k
k k k
x
y
x y c
(12-18)
二、矩形波导的横向解
X A k xx xc o s ( )?
Y k y yB yc o s ( )?
H H k x k y ez x x y y z0 c o s ( ) c o s ( )
一般可写出：
总的可写出下面的主要任务是利用边界条件确定 kx,ky,和 。
请注意,H0在问题中认为是未知数，与激励强度有关。
(12-19)
二、矩形波导的横向解根据横向分量可以用纵向分量表示,有
( )k k c2 2
E
j
k
H
y
H
j
k
k k x k y e
E
j
k
H
x
H
j
k
k k x k y e
x
c
z
c
y x x y y
z
y
c
z
c
x x x y y
z
2 0 2
2 0 2
c o s ( ) s i n ( )
s i n ( ) c o s ( )
问题：为什么不要求二、矩形波导的横向解边界条件
x=0,x=a,Ey=0
y=0,y=b,Ex=0
x E
x a E k a m
y x
y x
0 0 0
0
,,
,,
可得可得
k
m
a mx?
,整数
y E
y a E k a n
x y
x y
0 0 0
0
,,
,,
可得可得
k
n
a ny?
,整数二、矩形波导的横向解
H H
m
a
n
b
e
E j
k
n
b
H
m
a
x
n
b
y e
E j
k
m
a
H
m
a
x
n
b
y e
E
H
k
m
a
H
m
a
x
z
z
x
c
z
y
c
z
z
x
c
0
2 0
2 0
2 0
0
c os c os
c os sin
sin c os
sin
c os
c os sin
n
b
y e
H
k
n
b
H
m
a
x
n
b
y e
z
y
c
z
2 0
最后得到
(12-20)
二、矩形波导的横向解
k k k m a n bc x y2 2 2
2 2
其中，
上面称为 TEmn波
m—— 表示 x方向变化的半周期数
(即小 → 大 → 小 )
n—— 表示 y方向变化的半周期数 。
(12-21)
二、矩形波导的横向解关于简正波的讨论：
以矩形波导为例,尽管在 z方向它们只可能是入射波加反射波 (即还是广义传输线 ),但是由于横向边界条件它们由 TEmn和 TMmn波组成并且它们只能由
TEmn和 TMmn波组成 (后者,我们称之为完备性 ),矩形波导中这些波的完备集合 —— 即简正波 。
任何情况的可能解,只能在简正波中去找,具体场合所不同的仅仅是比例和组合系数,事实上,
这样就把求复杂场 函数 的问题变换成求各个模式的系数 。
二、矩形波导的横向解
r x i y j zk
这种思想,最早起源于矢量分析,任何空间矢量
x
y
z
0
r
(x,y,z)
图 12-3 Vector Analysis
方向与大小均不相同，但是建立 x,y,z
坐标系之后，
任一 (三维 )矢量即归结为三个系数三,TE10波矩形波导中频率最低模式，也即我们要工作的传输主模式即 TE10波,m=1,n=0,若传播常数无耗 γ=jβ 。
H H
a
x e
E j
k a
H
a
x e
H
j
k a
H
a
x e
z
j z
y
c
j z
x
c
j z
0
2 0
2 0
c os
si n
si n
H H
a
x t z
E
k a
H
a
x t z
H
k a
H
a
x t z
z
y
x
c
0
2 0
2 0
c o s c o s ( )
s in s in ( )
s in s in ( )
三,TE10波场结构的画法上要注意：
场存在方向和大小两个不同概念,场的大小是以力线密度表示的
同一点不能有两根以上力线
磁力线永远闭合,电力线与导体边界垂直
电力线和磁力线相互正交
(1) TE10波的截止特性要传播 TE10波必须满足
λ＜ 2a (12-22)
三,TE10波
x
x
y
z
z
y
z
z
0
0
0
0
0
0
x
a
a
b
0
x
H
z
H
x
E y
H
图 12-4 TE10波场结构三,TE10波由于,而传播的相位因子,
是实数,所以必满足也即为此我们定义 (12-23)
其中,λc=2a称为截止波长,kc是对应的截止波数 。
因此,波导是一只高通滤波器,低频信号无法通过 。
k k k ac2 2 2 2 2
2
ej z?
2 2 2 0k k k kc c＞ 或 ＞
2 2?
＞ ＜
a a
kc? 2
三,TE10波
(2)波导波长 λ g
g
a
1
2
2
＞ (12-24)
2
g
设传播常数
2 2 2
2 2 2
c g
三,TE10波
g
a
1
2
2
即可导得
(3)相速 υ p
p
C
a
C?
1
2
2
＞ (12-25)
三,TE10波
t z
dz
dt
C
c
C
a
p
g
g
Co n s ta n t
2
2
1
2
2
/
/
已知相位因子构成的等相面显然相速 υ p>C。 但相速并不是能量传播速度。
三,TE10波
g
c c
c c
p
d
d
k k k
d
d k k
k
k k c
2 2 2 2
2 2
2
2 2
2
1
2
2 /
群速 υ p定义三,TE10波于是
g
p
c c
a
2 2
1
2
＜ C
(12-26)
且
g p C? 2
(12-27)
三,TE10波
E
H
E
H
a
t
t
y
x
g
0
2
1
1
2
(4)波型阻抗注记：在 TE10波各参数中唯独波型阻抗要特别讨论 。
(12-29)
三,TE10波我们已经讲过在空间影响波传输和反射的是波阻抗,在同轴线中影响反射的是特性阻抗 Z0。
而 TE,TM波的传输线,由于 Z0缺乏唯一性所以增加其复杂性,矩形波导的特性阻抗
Z
b
a
a
0
2
1
2
它与波型阻抗差 因子,先提出来容后讨论 。b
a
(12-30)
TE10 Mode in Rectangular Waveguide (Ⅰ )
这次课主要讲述矩形波导中 TE10波 。 我们将先从波导一般解开始讲起 。
一,矩形波导的一般解写出无源 区域的 Maxwell方程组
(12-1)
0
0
H
E
HjE
EjH
J?0
一、矩形波导的一般解作为例子,对 (12-1)中第 2式两边再取旋度可以得到支配方程
E E E j H
E k E
( ) 2
2 2
2 2
2 2
0
0
E k E
H k H
(12-2)
波导的一般解采用纵向分量法，其流图如下所示，
上式也称 Helmholtz方程一、矩形波导的一般解支配方程
2 2
2 2
0
0
E k E
H k H
纵向分量方程
2 2
2 2
0
0
E k E
H k H
z z
z z
其它分量用表示E H
E f E H
E f E H
H f E H
H f E H
z
x z
y z
x z
y z
,,
,
,
,
,
1
2
3
4
方程无源区中出发点
M a x w e ll
图 12-1 波导一般解流图
1,纵向分量方程
(12-3)
假定 Ez(或 Hz)可分离变量，也即
(12-4)
且一、矩形波导的一般解
(12-5)
2 2
2 2
0
0
E k E
H k H
z z
z z
E E x y Z z
H H x y W z
z
z
(,) ( )
(,) ( )
2 2
2
2t Z
代入可知
(12-6)
由于其独立性，上式各项均为常数
(12-7)
一、矩形波导的一般解
t E x y
E x y Z z
Z z
z k
2 2
2
21 0(,)
(,) ( )
( )?
1
0
2
2
2
2
2
Z z
Z z
z
E x y
E x y
kt
t
( )
( )
(,)
(,)
其中
(12-8)
称为截止波数，则式 (12-7)中第一方程的解是一、矩形波导的一般解
k kt2 2 2
Z z C e C ez z( )1 2
(12-9)
十分有趣的是：波导解的 z函数与传输线解有惊人的相似，又是入射波和反射波的组合，因为我们只研究一个波 (不论是 TE或 TM波 )，所以在形式上只写入射波，有且
(12-10)
2,横向分量用纵向分量表示一、矩形波导的一般解
E E x y e
H H x y e
z
z
z
z
(,)
(,)
z
H j E
一、矩形波导的一般解
( )
i j k
x y
H H H
j E i E j E k
x y z
x y z
H
y
H j E
H
H
x
j E
H
x
H
y
j E
z
y x
x
z
y
y x
z
(12-11)
一、矩形波导的一般解
E j H
( )
i j k
x y
E E E
j H i H j H k
x y z
x y z
(12-12)
一、矩形波导的一般解
E
y
E j H
E
E
x
j H
E
x
E
y
j H
z
y x
x
z
y
y x
z
先整理 Ex,Hy方程组一、矩形波导的一般解
222
c
z
yx
z
yx
kk
j
j
D
x
E
HjE
y
H
HEj
y
H
x
E
j
x
E
y
H
j
D
y
H
j
x
E
j
x
E
y
H
D
zz
x
z
zz
z
z
一、矩形波导的一般解
(12-13)
E
k
E
x
j
H
y
H
k
j
E
x
H
y
x
c
z z
y
c
z z
1
1
2
2
一、矩形波导的一般解再整理 Ey,Hx方程组 j E H
H
x
E j H
E
y
D
j
j
k
y z
z
y z
y
c
2
一、矩形波导的一般解
(12-14)
D
H
x
E
y
j
E
y
j
H
x
D
j
H
z
E
y
j
E
y
H
x
z
z
z z
z
x
z z
E
k
E
y
j
H
x
H
k
j
E
y
H
x
x
c
z z
y
c
z z
1
1
2
2
一、矩形波导的一般解
E
E
H
H
k
j
j
j
j
E
x
E
y
H
x
H
y
x
y
x
y
c
x
x
x
x
1
0 0
0 0
0 0
0 0
2
进一步归纳成矩阵形式注意到 Ez和 Hz的横向函数要依赖具体的边界条件。
一、矩形波导的一般解二、矩形波导的横向解在矩形波导中存在 TE和 TM两类波,请注意矩形波导中不可能存在 TEM波 (推而广之,任何空心管中都不可能存在 TEM波 )。
这里以 TE波为例作出讨论,即 Ez=0,对于纵向分量只须讨论 Hz,计及
t x y
2 2
2
2
2
0),( ),( 2
2
ct kyxH yxH
二、矩形波导的横向解则矩形波导的横向解是
2
2
2
2
2H x y
x
H x y
y k H x yc
(,) (,) (,)(12-17)
图 12-2 矩形波导坐标系
x
z
y
a
0
b
e m
二、矩形波导的横向解再令 H(x,y)可分离变量，即 H(x,y)=X(x)Y(y)
1 12
2
2
2
2
X
X
x Y
Y
y k c
还令每项都是常数 (Constant),可得
1
1
2
2
2
2
2
2
2 2 2
X
X
x
k
Y
Y
y
k
k k k
x
y
x y c
(12-18)
二、矩形波导的横向解
X A k xx xc o s ( )?
Y k y yB yc o s ( )?
H H k x k y ez x x y y z0 c o s ( ) c o s ( )
一般可写出：
总的可写出下面的主要任务是利用边界条件确定 kx,ky,和 。
请注意,H0在问题中认为是未知数，与激励强度有关。
(12-19)
二、矩形波导的横向解根据横向分量可以用纵向分量表示,有
( )k k c2 2
E
j
k
H
y
H
j
k
k k x k y e
E
j
k
H
x
H
j
k
k k x k y e
x
c
z
c
y x x y y
z
y
c
z
c
x x x y y
z
2 0 2
2 0 2
c o s ( ) s i n ( )
s i n ( ) c o s ( )
问题：为什么不要求二、矩形波导的横向解边界条件
x=0,x=a,Ey=0
y=0,y=b,Ex=0
x E
x a E k a m
y x
y x
0 0 0
0
,,
,,
可得可得
k
m
a mx?
,整数
y E
y a E k a n
x y
x y
0 0 0
0
,,
,,
可得可得
k
n
a ny?
,整数二、矩形波导的横向解
H H
m
a
n
b
e
E j
k
n
b
H
m
a
x
n
b
y e
E j
k
m
a
H
m
a
x
n
b
y e
E
H
k
m
a
H
m
a
x
z
z
x
c
z
y
c
z
z
x
c
0
2 0
2 0
2 0
0
c os c os
c os sin
sin c os
sin
c os
c os sin
n
b
y e
H
k
n
b
H
m
a
x
n
b
y e
z
y
c
z
2 0
最后得到
(12-20)
二、矩形波导的横向解
k k k m a n bc x y2 2 2
2 2
其中，
上面称为 TEmn波
m—— 表示 x方向变化的半周期数
(即小 → 大 → 小 )
n—— 表示 y方向变化的半周期数 。
(12-21)
二、矩形波导的横向解关于简正波的讨论：
以矩形波导为例,尽管在 z方向它们只可能是入射波加反射波 (即还是广义传输线 ),但是由于横向边界条件它们由 TEmn和 TMmn波组成并且它们只能由
TEmn和 TMmn波组成 (后者,我们称之为完备性 ),矩形波导中这些波的完备集合 —— 即简正波 。
任何情况的可能解,只能在简正波中去找,具体场合所不同的仅仅是比例和组合系数,事实上,
这样就把求复杂场 函数 的问题变换成求各个模式的系数 。
二、矩形波导的横向解
r x i y j zk
这种思想,最早起源于矢量分析,任何空间矢量
x
y
z
0
r
(x,y,z)
图 12-3 Vector Analysis
方向与大小均不相同，但是建立 x,y,z
坐标系之后，
任一 (三维 )矢量即归结为三个系数三,TE10波矩形波导中频率最低模式，也即我们要工作的传输主模式即 TE10波,m=1,n=0,若传播常数无耗 γ=jβ 。
H H
a
x e
E j
k a
H
a
x e
H
j
k a
H
a
x e
z
j z
y
c
j z
x
c
j z
0
2 0
2 0
c os
si n
si n
H H
a
x t z
E
k a
H
a
x t z
H
k a
H
a
x t z
z
y
x
c
0
2 0
2 0
c o s c o s ( )
s in s in ( )
s in s in ( )
三,TE10波场结构的画法上要注意：
场存在方向和大小两个不同概念,场的大小是以力线密度表示的
同一点不能有两根以上力线
磁力线永远闭合,电力线与导体边界垂直
电力线和磁力线相互正交
(1) TE10波的截止特性要传播 TE10波必须满足
λ＜ 2a (12-22)
三,TE10波
x
x
y
z
z
y
z
z
0
0
0
0
0
0
x
a
a
b
0
x
H
z
H
x
E y
H
图 12-4 TE10波场结构三,TE10波由于,而传播的相位因子,
是实数,所以必满足也即为此我们定义 (12-23)
其中,λc=2a称为截止波长,kc是对应的截止波数 。
因此,波导是一只高通滤波器,低频信号无法通过 。
k k k ac2 2 2 2 2
2
ej z?
2 2 2 0k k k kc c＞ 或 ＞
2 2?
＞ ＜
a a
kc? 2
三,TE10波
(2)波导波长 λ g
g
a
1
2
2
＞ (12-24)
2
g
设传播常数
2 2 2
2 2 2
c g
三,TE10波
g
a
1
2
2
即可导得
(3)相速 υ p
p
C
a
C?
1
2
2
＞ (12-25)
三,TE10波
t z
dz
dt
C
c
C
a
p
g
g
Co n s ta n t
2
2
1
2
2
/
/
已知相位因子构成的等相面显然相速 υ p>C。 但相速并不是能量传播速度。
三,TE10波
g
c c
c c
p
d
d
k k k
d
d k k
k
k k c
2 2 2 2
2 2
2
2 2
2
1
2
2 /
群速 υ p定义三,TE10波于是
g
p
c c
a
2 2
1
2
＜ C
(12-26)
且
g p C? 2
(12-27)
三,TE10波
E
H
E
H
a
t
t
y
x
g
0
2
1
1
2
(4)波型阻抗注记：在 TE10波各参数中唯独波型阻抗要特别讨论 。
(12-29)
三,TE10波我们已经讲过在空间影响波传输和反射的是波阻抗,在同轴线中影响反射的是特性阻抗 Z0。
而 TE,TM波的传输线,由于 Z0缺乏唯一性所以增加其复杂性,矩形波导的特性阻抗
Z
b
a
a
0
2
1
2
它与波型阻抗差 因子,先提出来容后讨论 。b
a
(12-30)
