第 21章 带状线
Stripline
六十年代以来,在微波工程和微波技术上,出现了一次不小的革命,即所谓 MIC(Microwave
Integrated Circuit)微波集成电路 。 其特色是体积小,
功能多,频带宽,但承受功率小 。 因此被广泛用于接收机和小功率元件中,并都传输 TEM波 。
作为这一革命的,过渡人物,是带状线
(Stripline)。它可以看作是同轴线的变形。
同轴线 扁带同轴线 带状线一,带状线的特性阻抗带线传输 TEM波,特性阻抗是研究的主要问题,其求解框图如下,
特性阻抗
Z L
C0
Z LCC0? Z vCvL0
1
其中 v是传输线中的光速,一般有是所填充的介质,于是一般的特性阻抗问题可转化为求电容 C的问题 。
,
r
cv
smc /100.3
8
r0
C' f
C' f
C p
C p
W
C' f
C' f
图 21-2 带线电容带线电容分成板间电容 Cp和边缘电容 Cf′ 。
W／ b愈大,C愈大,特性阻抗 Z0愈小 。
W／ b愈大,Cf′ 影响愈小 。
带线研究的主要内容如下框图一,带状线的特性阻抗带线研究的主要问题一,带状线的特性阻抗特性阻抗 衰减 功率容量 尺寸设计二,保角变换和 Schwarz变换
A
1,变换 (Transform)和不变性变换已经为大家所熟悉 。 但是,对于不变性可能不被人们重视 。 事实上,变换中的不变性是非常重要的科学思想,20世纪的数学王子 Hilbert(希尔伯特 )其早期的主要业绩之一是对不变量的研究 。
坐标旋转时,任一矢量 的长度不变,更一般的表述,内积不变,相对论中 Lorentz变换进一步推广成
x2＋ y2＋ z2－ c2t2 = constant
四维空间的长度不变,也是光速不变的体现 。
P A B
x
y
O
q
x'
y'
图 21-3 坐标旋转坐标旋转时,任一矢量 的长度不变,更一般的表述,内积不变,相对论中 Lorentz变换进一步推广成
A
P A B
二,保角变换和 Schwarz变换
x2＋ y2＋ z2－ c2t2 = constant
四维空间的长度不变，也是光速不变的体现
2,保角变换概念保角变换是复变 (解析 )函数变换
w = f(z) = u＋ jv
Z-plane W-plane
二,保角变换和 Schwarz变换它的物理概念表示由某一图形从 z平面变到 w平面,
其中 w=f(z)是解析函数 。 在电磁保角变换中,w称为复位 w = u＋ jv
其中，若 u表示等位线，则 v表示力线；反之,u表示力线，则 v表示等位线。
［ 性质 1］ 解析函数 w=u+jv满足
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
0
0
u
u
x
u
y
v
v
x
v
y
(21-1)
二,保角变换和 Schwarz变换
［ 证明 ］ 解析函数满足 Cauchy-Rieman条件
u
x
v
y
u
x
v
y x
u
y
v
x
u
y
v
x y
u
2
2
2
2 2
2 0
［ 性质 2］ W=u+jv是解析函数,则等位线
u(x,y)=c1和力线 v(x,y)=c2在 z平面必须相互正交。
［ 证明 ］ 正交条件是
tg tg1 2 1 (21-2)
二,保角变换和 Schwarz变换由图 21-5可见：
u
u=c1
c1
x
v
O
v=c2 c2
2? 1
y
图 21-5
Z-plane W-plane
二,保角变换和 Schwarz变换
1 2
2 1
2 1
2
( )
2
tg c tg 21 - 2即为（ ）式现在
dy
dx c
1
1? tg?
而根据 u(x,y)=c1,有
u
x
x
x
u
y
y
x
dy
dx
u
x
v
y
u c
0
1
1
tg
二,保角变换和 Schwarz变换同理可得
dy
dx
v
x
u
y
u c?
2
2
tg
于是
tg tg
1 2 1
u
x
v
x
u
y
v
y
上述两个性质说明解析函数可以表征电磁复位，
变换时 u,v正交即 保角 。
二,保角变换和 Schwarz变换
[性质 3］ 保角变换把 z平面上一个由力线和等位线构成的一个区域变换到 w平面的一个力线和等位线构成的对应区域,两者之间电容相等 。
O O
y vv 2
v'
2v
1
v'
1g
1
g'
1
g
2
g'
2
x u
图 21-6
二,保角变换和 Schwarz变换
［ 证明 ］ 因为电容定义
C q qV V2 1
2 1
(21-3)
而变换时等位线和力线一一对应,即
q q q q V V V V' ',' '2 1 2 1 2 1 2 1
于是 C
z=Cw
所以,保角变换的实质是希望利用变换中电容的不变性,把难于计算的复杂区域电容变成便于计算的简单区域电容 。
二,保角变换和 Schwarz变换从上面论述可以总结出保角变换计算电容的条件
·保角变换必须是二维问题符合 Laplace方程
(TEM波传输线 )
·必须在等位问题 (注意到导体是等位的 )和一定的力线区域内计算
·通过某种变换,有可能变成简单区域
3,Schwarz多角形变换这是在实际工程中应用最为广泛的一种变换。
二,保角变换和 Schwarz变换
dw
dz
A z a z a z a
A z a
a a
n
a
i
a
i
n
n
i
( ) ( ) ( )
( )
1
1
2
1 1
1
1
1 2
(21-4)
上面所及即标准的 Schwarz-Chrictoffel变换。
O O
y v
x
a
1
a 1
b
1
a
2
a
2
b
2
a
3
a
3
b 3
u
Z-plane W-plane
二,保角变换和 Schwarz变换三,零厚度带线的特性阻抗 Z0
问题的提法：根据,把求特性阻抗的问题转化为求电容的问题，而且考虑到对称性，只需要求解
Z vC0 1?
，见图，再按两倍电容计算。1
2C
0 v
+1v
0 v
图 21-8
由 z平面变换到 t平面
z— t平面保角变换
j b2jb2 j
b
2?jb2 jb2
1k 1k
2
2
2
2
对应点复平面 A B C D E F A＇
z 0 0
t － ∞ － 1 0 1 ∞
a 2?
三,零厚度带线的特性阻抗 Z0
其中 k＜ 1。
y
w/ 2
t
i
x
A
A A
B
B
C
C
D
D
E
E
F
F
+1v
+1v
- 1 1 1 /k- /k1
o
o
0 v
0 v
0 v 0 v
t
r
图 21-9 z-t平面的保角变换根据 Schwarz多角形变换,有
z A
t
t t
k
dt B
t
1
2
2 2
2
0
1
2
1
1
1
( )
(21-5)
三,零厚度带线的特性阻抗 Z0
2,t平面向 w平面变换
t-w平面保角变换
1k 1k
2?2?2
2
对应点复平面 A B C D E F A＇
t － ∞ － 1 0 1 ∞
w jK＇ K+jK＇ － K 0 K K+jK＇ jK＇
a?
三,零厚度带线的特性阻抗 Z0
又根据 Schwarz变换
w A dt
t k t
Bl?
2
2 2 2 20 1 1( )( )
(21-6)
其中 K是第一类完全椭圆积分 。 定义是
K k F k dt
t k t
( ),
( )( )
2 1 12 2 20
1(21-7)
对于 (21-6)式,根据 D点的边界条件
B2=0
三,零厚度带线的特性阻抗 Z0
又根据 E点的边界条件
K k A dt
t k t
( )
( )( )
2 2 2 20
1
1 1
则可知 A2＝１ 。
再根据 F点的边界条件
y
v
A A'B
B
C C DE
E
F
F
+1v +1v
o o
0v 0v
x u
A'A
三,零厚度带线的特性阻抗 Z0
K k dt
t k t
k' ( )
( )( )
1 12 2 20
1
我们设,称 k′ 为 k的余模数 。1 12 2 2 2 2 2k t k t k k' ','且1 1 0 1
1
1
1
1
2
2
2
2 2
2
2 2
2
≤ ≤ 对应 ≤ ≤t
k
t
dt
k t
k t
dt
t
k t
k
k t
k
'
' '
'
' ' ' ( )
三,零厚度带线的特性阻抗 Z0
于是
K k
k t
k t
dt
k
k
t k t
dt
kt t
dt
t k t
' ( )
' '
'
'
( ' ) ' '
'
( ' )
'
( ' )( ' ' )
2
2
2
2
2 2 2
0
1
20
1
2 2 20
1
1
1
1 1 1
可见,K(k)也是第一类完全椭圆积分,只是模数换成 k的余模数 k。
3,电容 C计算根据保角变换关于电容 C的不变性,可以直接由
w平面算出三,零厚度带线的特性阻抗 Z0
C sd K kK kw 2 ( )' ( ' )
(21-8)
复原到带线全平面
C=2CW
最后特性阻抗
Z
vC K k
K k
K k
K k0
1
4 4
( )
' ( )
' ( )
( )
Z K kK k
r
0
30
' ( ' )
( )
(21-9)
三,零厚度带线的特性阻抗 Z0
k W b? th ( / )? 2
(21-10)
在微波工程实际上,有一个精度很高的近似式
K k
K k
k
k
k
k
( )
' ( )
ln
'
'
ln
'
'
1
2
1
1
1
2
1
1
1
(21-11)
采用上述公式可避免计算椭圆积分,近似度高于
8/10000。
三,零厚度带线的特性阻抗 Z0
附 录
APPENDIX
k th Wb2
的证明从 z-t变换可知
z A
tdt
t t
k
B
A
dt
t
k
t
k
B
1
2 2
2
1
0
1
1
2
4
2
2
2
1
0
1
1
1
1
2
1
1 1
( )
见数学手册 P263
dxax bx c a ax b a ax bx c C2 21 2 2 ln
可以知道
z A t k t t k t k k B
12 2 1 1 2 1 1 1 1 1 11 2 2 2 2 2 2 2
2
1ln ( ) ln
z-t变换的对应点关系附 录
t z
W
z B
W
0
2
21
,
B W1 2?
t z
z A k k W
1 0
2 1
1 1 1
2 0
1
2
,
ln ln
A W
k k
1 2
21
1 1 1
ln ln
22
1
1
ln
2
1
1
ln
2
2
,
1
1
2
2
2
1?AjW
k
A
k
A
z
b
jz
k
t
b
A
b
j
A
jz
1
1
22
1
2
3
附 录在这个变换中,共有三个待定常数 A1,B1和 k,正好上面有三个独立的对应点条件 。 求出 A1,B1和 k。
根据 2,3条件
W
k
k
b
A
ln
1
1
1?
于是得到
ln 11kk Wb?
附 录也即
k Wbth?2
如果考虑中间步骤有
1
1
1
1
2
2
2 2
2 2
k
k
e
k
e
e
e e
e e
W
b
W
b
W
b
W
b
W
b
W
b
W
b
W
b
W
b
sh
ch
附 录
PROBLEMS21
若理想三端环行器的特性是 1→3→2→1 试写出其 S散射矩阵。
一已知魔 T特性如图二
0011
0011
1100
1100
2
1
][ S
求,(1) 3端口输入时的输出情况 。
(2) 4端口输入时的输出情况。
Stripline
六十年代以来,在微波工程和微波技术上,出现了一次不小的革命,即所谓 MIC(Microwave
Integrated Circuit)微波集成电路 。 其特色是体积小,
功能多,频带宽,但承受功率小 。 因此被广泛用于接收机和小功率元件中,并都传输 TEM波 。
作为这一革命的,过渡人物,是带状线
(Stripline)。它可以看作是同轴线的变形。
同轴线 扁带同轴线 带状线一,带状线的特性阻抗带线传输 TEM波,特性阻抗是研究的主要问题,其求解框图如下,
特性阻抗
Z L
C0
Z LCC0? Z vCvL0
1
其中 v是传输线中的光速,一般有是所填充的介质,于是一般的特性阻抗问题可转化为求电容 C的问题 。
,
r
cv
smc /100.3
8
r0
C' f
C' f
C p
C p
W
C' f
C' f
图 21-2 带线电容带线电容分成板间电容 Cp和边缘电容 Cf′ 。
W／ b愈大,C愈大,特性阻抗 Z0愈小 。
W／ b愈大,Cf′ 影响愈小 。
带线研究的主要内容如下框图一,带状线的特性阻抗带线研究的主要问题一,带状线的特性阻抗特性阻抗 衰减 功率容量 尺寸设计二,保角变换和 Schwarz变换
A
1,变换 (Transform)和不变性变换已经为大家所熟悉 。 但是,对于不变性可能不被人们重视 。 事实上,变换中的不变性是非常重要的科学思想,20世纪的数学王子 Hilbert(希尔伯特 )其早期的主要业绩之一是对不变量的研究 。
坐标旋转时,任一矢量 的长度不变,更一般的表述,内积不变,相对论中 Lorentz变换进一步推广成
x2＋ y2＋ z2－ c2t2 = constant
四维空间的长度不变,也是光速不变的体现 。
P A B
x
y
O
q
x'
y'
图 21-3 坐标旋转坐标旋转时,任一矢量 的长度不变,更一般的表述,内积不变,相对论中 Lorentz变换进一步推广成
A
P A B
二,保角变换和 Schwarz变换
x2＋ y2＋ z2－ c2t2 = constant
四维空间的长度不变，也是光速不变的体现
2,保角变换概念保角变换是复变 (解析 )函数变换
w = f(z) = u＋ jv
Z-plane W-plane
二,保角变换和 Schwarz变换它的物理概念表示由某一图形从 z平面变到 w平面,
其中 w=f(z)是解析函数 。 在电磁保角变换中,w称为复位 w = u＋ jv
其中，若 u表示等位线，则 v表示力线；反之,u表示力线，则 v表示等位线。
［ 性质 1］ 解析函数 w=u+jv满足
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
0
0
u
u
x
u
y
v
v
x
v
y
(21-1)
二,保角变换和 Schwarz变换
［ 证明 ］ 解析函数满足 Cauchy-Rieman条件
u
x
v
y
u
x
v
y x
u
y
v
x
u
y
v
x y
u
2
2
2
2 2
2 0
［ 性质 2］ W=u+jv是解析函数,则等位线
u(x,y)=c1和力线 v(x,y)=c2在 z平面必须相互正交。
［ 证明 ］ 正交条件是
tg tg1 2 1 (21-2)
二,保角变换和 Schwarz变换由图 21-5可见：
u
u=c1
c1
x
v
O
v=c2 c2
2? 1
y
图 21-5
Z-plane W-plane
二,保角变换和 Schwarz变换
1 2
2 1
2 1
2
( )
2
tg c tg 21 - 2即为（ ）式现在
dy
dx c
1
1? tg?
而根据 u(x,y)=c1,有
u
x
x
x
u
y
y
x
dy
dx
u
x
v
y
u c
0
1
1
tg
二,保角变换和 Schwarz变换同理可得
dy
dx
v
x
u
y
u c?
2
2
tg
于是
tg tg
1 2 1
u
x
v
x
u
y
v
y
上述两个性质说明解析函数可以表征电磁复位，
变换时 u,v正交即 保角 。
二,保角变换和 Schwarz变换
[性质 3］ 保角变换把 z平面上一个由力线和等位线构成的一个区域变换到 w平面的一个力线和等位线构成的对应区域,两者之间电容相等 。
O O
y vv 2
v'
2v
1
v'
1g
1
g'
1
g
2
g'
2
x u
图 21-6
二,保角变换和 Schwarz变换
［ 证明 ］ 因为电容定义
C q qV V2 1
2 1
(21-3)
而变换时等位线和力线一一对应,即
q q q q V V V V' ',' '2 1 2 1 2 1 2 1
于是 C
z=Cw
所以,保角变换的实质是希望利用变换中电容的不变性,把难于计算的复杂区域电容变成便于计算的简单区域电容 。
二,保角变换和 Schwarz变换从上面论述可以总结出保角变换计算电容的条件
·保角变换必须是二维问题符合 Laplace方程
(TEM波传输线 )
·必须在等位问题 (注意到导体是等位的 )和一定的力线区域内计算
·通过某种变换,有可能变成简单区域
3,Schwarz多角形变换这是在实际工程中应用最为广泛的一种变换。
二,保角变换和 Schwarz变换
dw
dz
A z a z a z a
A z a
a a
n
a
i
a
i
n
n
i
( ) ( ) ( )
( )
1
1
2
1 1
1
1
1 2
(21-4)
上面所及即标准的 Schwarz-Chrictoffel变换。
O O
y v
x
a
1
a 1
b
1
a
2
a
2
b
2
a
3
a
3
b 3
u
Z-plane W-plane
二,保角变换和 Schwarz变换三,零厚度带线的特性阻抗 Z0
问题的提法：根据,把求特性阻抗的问题转化为求电容的问题，而且考虑到对称性，只需要求解
Z vC0 1?
，见图，再按两倍电容计算。1
2C
0 v
+1v
0 v
图 21-8
由 z平面变换到 t平面
z— t平面保角变换
j b2jb2 j
b
2?jb2 jb2
1k 1k
2
2
2
2
对应点复平面 A B C D E F A＇
z 0 0
t － ∞ － 1 0 1 ∞
a 2?
三,零厚度带线的特性阻抗 Z0
其中 k＜ 1。
y
w/ 2
t
i
x
A
A A
B
B
C
C
D
D
E
E
F
F
+1v
+1v
- 1 1 1 /k- /k1
o
o
0 v
0 v
0 v 0 v
t
r
图 21-9 z-t平面的保角变换根据 Schwarz多角形变换,有
z A
t
t t
k
dt B
t
1
2
2 2
2
0
1
2
1
1
1
( )
(21-5)
三,零厚度带线的特性阻抗 Z0
2,t平面向 w平面变换
t-w平面保角变换
1k 1k
2?2?2
2
对应点复平面 A B C D E F A＇
t － ∞ － 1 0 1 ∞
w jK＇ K+jK＇ － K 0 K K+jK＇ jK＇
a?
三,零厚度带线的特性阻抗 Z0
又根据 Schwarz变换
w A dt
t k t
Bl?
2
2 2 2 20 1 1( )( )
(21-6)
其中 K是第一类完全椭圆积分 。 定义是
K k F k dt
t k t
( ),
( )( )
2 1 12 2 20
1(21-7)
对于 (21-6)式,根据 D点的边界条件
B2=0
三,零厚度带线的特性阻抗 Z0
又根据 E点的边界条件
K k A dt
t k t
( )
( )( )
2 2 2 20
1
1 1
则可知 A2＝１ 。
再根据 F点的边界条件
y
v
A A'B
B
C C DE
E
F
F
+1v +1v
o o
0v 0v
x u
A'A
三,零厚度带线的特性阻抗 Z0
K k dt
t k t
k' ( )
( )( )
1 12 2 20
1
我们设,称 k′ 为 k的余模数 。1 12 2 2 2 2 2k t k t k k' ','且1 1 0 1
1
1
1
1
2
2
2
2 2
2
2 2
2
≤ ≤ 对应 ≤ ≤t
k
t
dt
k t
k t
dt
t
k t
k
k t
k
'
' '
'
' ' ' ( )
三,零厚度带线的特性阻抗 Z0
于是
K k
k t
k t
dt
k
k
t k t
dt
kt t
dt
t k t
' ( )
' '
'
'
( ' ) ' '
'
( ' )
'
( ' )( ' ' )
2
2
2
2
2 2 2
0
1
20
1
2 2 20
1
1
1
1 1 1
可见,K(k)也是第一类完全椭圆积分,只是模数换成 k的余模数 k。
3,电容 C计算根据保角变换关于电容 C的不变性,可以直接由
w平面算出三,零厚度带线的特性阻抗 Z0
C sd K kK kw 2 ( )' ( ' )
(21-8)
复原到带线全平面
C=2CW
最后特性阻抗
Z
vC K k
K k
K k
K k0
1
4 4
( )
' ( )
' ( )
( )
Z K kK k
r
0
30
' ( ' )
( )
(21-9)
三,零厚度带线的特性阻抗 Z0
k W b? th ( / )? 2
(21-10)
在微波工程实际上,有一个精度很高的近似式
K k
K k
k
k
k
k
( )
' ( )
ln
'
'
ln
'
'
1
2
1
1
1
2
1
1
1
(21-11)
采用上述公式可避免计算椭圆积分,近似度高于
8/10000。
三,零厚度带线的特性阻抗 Z0
附 录
APPENDIX
k th Wb2
的证明从 z-t变换可知
z A
tdt
t t
k
B
A
dt
t
k
t
k
B
1
2 2
2
1
0
1
1
2
4
2
2
2
1
0
1
1
1
1
2
1
1 1
( )
见数学手册 P263
dxax bx c a ax b a ax bx c C2 21 2 2 ln
可以知道
z A t k t t k t k k B
12 2 1 1 2 1 1 1 1 1 11 2 2 2 2 2 2 2
2
1ln ( ) ln
z-t变换的对应点关系附 录
t z
W
z B
W
0
2
21
,
B W1 2?
t z
z A k k W
1 0
2 1
1 1 1
2 0
1
2
,
ln ln
A W
k k
1 2
21
1 1 1
ln ln
22
1
1
ln
2
1
1
ln
2
2
,
1
1
2
2
2
1?AjW
k
A
k
A
z
b
jz
k
t
b
A
b
j
A
jz
1
1
22
1
2
3
附 录在这个变换中,共有三个待定常数 A1,B1和 k,正好上面有三个独立的对应点条件 。 求出 A1,B1和 k。
根据 2,3条件
W
k
k
b
A
ln
1
1
1?
于是得到
ln 11kk Wb?
附 录也即
k Wbth?2
如果考虑中间步骤有
1
1
1
1
2
2
2 2
2 2
k
k
e
k
e
e
e e
e e
W
b
W
b
W
b
W
b
W
b
W
b
W
b
W
b
W
b
sh
ch
附 录
PROBLEMS21
若理想三端环行器的特性是 1→3→2→1 试写出其 S散射矩阵。
一已知魔 T特性如图二
0011
0011
1100
1100
2
1
][ S
求,(1) 3端口输入时的输出情况 。
(2) 4端口输入时的输出情况。
