第 22 章 带状线 (Ⅱ)
Stripline
上面一课的重点是带线的特性阻抗 Z0。
W
b
e r
0
r
r
v
C
V
O
U
Z vC0 1?
保角变换法求 C 特性 阻抗
S
Z
K k
K k
k
W
b
k k
K k
K k
k
k
k
k
k
k
r
0
2
1
30
2
1
1
2
1
1
0 0 7
1
2
1
1
0 7 1
( ' )
( )
,'
( )
( ' )
ln
'
'
.
ln,
th
≤ ≤
≤ ≤
零厚度带线微波技术的发展,出现了各种各样的传输线,
给计算带来很大的困难,针对这种情况,从 80年代开始国外做了大量的闭式 (closed form)工作,即仔细算出各种情况,然后用简单的闭式给以拟合,
逼近,用计算机程序代替图表曲线 。
闭式的工作包括分析和综合两个部分 。
一,特性阻抗 Z0的闭式工作
2/1)(,/
rbw?
已知分 析综 合已知
Z0
一,特性阻抗 Z0的闭式工作
1,带线分析零厚度带线主要是 S,B,Cohn的工作
Z K kK kr0 30 ' ( )( )
(22-1)
K k
K k
k
k
k
k
k
k
( )
' ( )
ln
'
'
.
ln,
1
2
1
1
0 0 7
1
2
1
1
0 7 1
1
≤ ≤
≤ ≤
(22-2)
一,特性阻抗 Z0的闭式工作厚带的工作则由 Wheeler完成
Z b t
W
b t
W
b t
Wr0
2
30 1 4 8 8 6 27?
ln
' ' '
.(22-3)
其中
W
b t
W
b t
W
b t
W
b t
x
x
x
x
x
W
b
x
m
'
( )
ln
.
.
1
1
1
2 2
0 0796
1 1
2
(22-4)
一,特性阻抗 Z0的闭式工作
m x x2 1 23 1
x tb? (22-6)
(22-5)
上述公式对于范围，精度可达 0.5%。
一,特性阻抗 Z0的闭式工作
2,带线综合零厚度带线
W
b k
k
k
2 1 1
1
1
th ( ) ln
k
e
e
A
e
e
A
A
A
A
A
1
2
2
2
2
0
4
2
2
≥
≤ ≤
其中
(22-7)
(22-8)
一,特性阻抗 Z0的闭式工作
A Z r? 030?
W
b
W
b
W
b
0?
W
b
x e
e
A
A
0 8 1 0 568
1?
( ),
(22-10)
(22-11)
(22-9)
有限厚度带线其中具体程序见《计算微波,3.5节。
一,特性阻抗 Z0的闭式工作带状线的衰减包括两部分：介质衰线和导体衰线 。
1,介质衰减常数 ad
对于介质衰线,任何传输线都有同一形式的公式,
所以这里采取平面波传输的办法导出 。
有介质衰减的无源区 Maxwell方程二,带线的衰线
E j H
H j E
0
~
(22-12)
引入复介电常数
~ ' "
( )
j
jr0 1 tg
(22-13)
X
Y
Z
图 22-1 介质衰减 ad
二,带线的衰线
tg "'
E j Er02 0 0 1( )tg
2
0
2
2 2
1 0
0
E k j E
E E
r
( )tg
(22-14)
(22-15)
其中称之为介质损耗角正切，则可得设则介质内波 传播的 Helmholtz方程是二,带线的衰线
E E e z
0?
j j jtgr0 0 121
( )1 1 12
1
2j jtg tg
设 z方向的波是其中
—— 衰减常数,?—— 传输常数 。
对于常见的低耗情况
(22-17)
(22-16)
二,带线的衰线
1
2 0 0
0 0
r
r
tg
12 tg
2 2
0
0
r
r
,其中
0
r tg
于是很明显看出 。 另一方面可知
(22-18)
二,带线的衰线
d r r8 686 27 3
0 0
.,tg tg
考虑到统一介质衰减常数?d用 dB/m表示
(22-19)
［例 1］ 99%的 Al2O3(氧化铝陶瓷 )，俗称 99瓷。
r9 0 10 4.,tg
d27 33 10 9 10 2 73 102 4 1.,d B / m
在 λ=3 cm 的 ad
二,带线的衰线
2,导体衰减常数 ad
由传输线理论已知,导体衰减相当于分布的串联电感中有损耗电阻成分,如图所示 。
LzD
Rz1 D
CzD
图 22-2 导体衰减二,带线的衰线传输线的二次特征参数
ZY R j L j C
j LC j
R
L
j LC j
R
L
j LC
R
Z
( )( )
1
1
1
2
1
1
0
1
1
2
因此，在小衰减的情况下
C
R
Z
j LC
1
02 (22-20)
二,带线的衰线对于一般传输线,场分布很难求出,因此采用电流分布求出几乎不可能 。 这里重点介绍增量电感法 。
增量电感法受到这样一个重要启示，即在导体上表面电阻或方块电阻
Z R jX js s s2 1( )
也即，表面电阻等于表面电抗，这就构成方法框图。
(22-21)
二,带线的衰线应用电感增量表示损耗电阻良导体表面电阻 表面感抗=
表面电抗可表示为 外电感增量增量电感法二,带线的衰线
P
l
d
R RPs
l
1?
［定理 1］
(22-22)
Rs2其中 是分块电阻,Pl — 传输线围线周长。
二,带线的衰线
［证明］ 其中传输线长度 l=1 R l
S1
S P
R
P
R
P
l
l
s
l
,
1
1
1
2 2,R s
因为二,带线的衰线此外，从损耗功率 P的角度
P I R J R dpdz
dz
P
I
P
R dp I
R
P
s
l
s
s
l
1
2
1
2
1
1
2
1
2
2
1
2
2
2
2
是单位长度亦可知
R RPs
l
1?
二,带线的衰线
［定理 2］
Z j R j Ls s s2 1( )
L Rs s2
L L
P Pi
s
l l
2
［证明］
(22-24)
(22-23)
(22-25)
R L R Lns1 1
导体表面阻抗可见 Rs=?Ls,或者写成而单位长度的内电感二,带线的衰线
L h h dt t
s
L h h ds h h ds h h ds L LT t t t
SS
t t t
S
s
'?
L L L Lns T2
重新回忆起广义传输线理论中外电感如果把外电感和内电感合在一起称 LＴ
于是
R L Ln R Lns1 1 2
二,带线的衰线
Z vL L Zv0 0,或者
L
n v
Z
n C
Z
n
R
R Z
n
r
s r
1
120
0 0
1
0
RZ R Z Zns r1
0 0
0
2 240
1
(22-26)
前面已经导出于是最后导出二,带线的衰线
Z ba
r
0
60
ln
C
r
a b
b
a
2
1 1
240 ln
［例 2］ 圆同轴线采用增量电感法重新回到带状线问题
(22-27)
二,带线的衰线
Z
n
Z
b
Z
W
Z
t
R
Z
Z
b
Z
W
Z
t
C
s r
0 0 0 0
0
0 0 0
2 2 2
0 0231
.
dB / m
(22-28)
W
b t
d
d
d n
图 22-3 带线衰减常数 —— 注意增量方向二,带线的衰线三,带线 Q值一般情况下,Q值是谐振腔 (或谐振电路 )的重要指标 。
把它推广到传输线上来：用单位长度储能比单位长度每周耗能
Q WPT WP2 2单位长度储能每周单位长度耗能
(22-29)
b
w
l= 1
其中,QＣ 为导体 Q值，而 Qd为介质损耗 Q值。
三,带线 Q值
［定理 3］
［证明］ 有耗时能量以场的平方规律随时间耗散而消耗功率于是有
Q d? 1 / tg?
W W e
dW
dt
W
t?
0
2
2
P dWdt Wl 2?
PW W PW Ql l2 2 2 1
(22-30)
三,带线 Q值另一方面，能量又可随距离衰减或者写成计及 dz
dt v p
W W e
dW
dz
W
z?
0
2
2
dW
dt dz
dt
W
dz
dt
1
2?
三,带线 Q值可知
Q2
d
dQ
1
2
1
tg
tg
Q QQ
C
1 tg?
具体对于介质衰减常数总的带线 Q值是
(22-31)
三,带线 Q值四,功率容量和尺寸选择
1,功率容量倒圆角的空气带线功率容量
P
b P Z
t
b
t
b
m a x
( )2 2
2
2
3
0
24
1
602 10 1
2
(22-32)
上式中,Pmax—— 最大入射峰值击穿功率,单位 KW；
—— 驻波比 VSWR；
P—— 大气压 (atm)；
b—— 单位 cm。
(22-33)
2,尺寸选择
( )
( )
C r
C r
W
b
TE
TM 01
10
2
2
所以尺寸的原则是
W
b
r
r
＜
＜
m in
m in
2
2
(22-34)
四,功率容量和尺寸选择附 录 原带保角变换
APPENDIX
应用 Schwarz变换
z W dWk W k W BW ( )( ) ( s i n )
/
/
1
1 1
2 1 2
2 2 1 2 2 2 20?
y
w
b
x
A
B
C D
E t/2
F
o
z-plane
Y
A B C D E F
+1v
-1 1 1/k-1/k-1/ksin a 1/ksin aO
0v 0v
X
W-plane
附 录 原带保角变换可以给出
z
k d
d B
dn Z a
k
dna
k a a
( )
ln
( )
( )
1
1
1
2
2
2 2 20
2 2
sn
sn sn
sn cn sn cn
B
再应用变换
W=sn?
附 录 原带保角变换研究对应点情况
(1) z=jt/2～ W=0,?=0
且考虑到
( )
( )
a
a 1
于是有
B jt? 2
附 录 原带保角变换
（ 2）
z W j t W k K jk2 2 1,/ ~ '?
( ' )
( ' )
K jK a
K JK a e
j aK
W K
aZ a
k a a
t
a
k a a
a
k
K
aZ a
k a a
2 1
2 1
2
2 2
dn
sn cn
dn
sn cn
dn
sn cn
( )
'
( )?
并计及所以附 录 原带保角变换
(3)在 W面的 F点应考虑为奇点，则在该点的积分留数为
dn
sn cn
a
k a a2 2
b a
k a a2 2 2
dn
sn cn
W
b
K k a a
a
Z a
t
b
a
K
K k a a
a
Z a
2
2
2
2
sn cn
dn
sn cn
dn
( )
'
( )
由上式又可求出?和 k。
于是可导出最后得到附 录 原带保角变换再用变换 t kW2 1sn (,)?
把 W平面变到 t平面
ti
B C D E
F
O
tr
k'( )?
k( )?-k( )?
A
t-plane?=sn(?,k)
附 录 原带保角变换总电容是
C e KK? 2 2 ( )' ( )
Z vC
K
Kr0
1 30
'
附 录 原带保角变换
PROBLEMS22
一 已知半长轴 a=2,半短轴 b=1求椭圆周长
y
x
o
b
a
w
b?1
二 已知 0厚度带线,求特性阻抗 Z0。
Stripline
上面一课的重点是带线的特性阻抗 Z0。
W
b
e r
0
r
r
v
C
V
O
U
Z vC0 1?
保角变换法求 C 特性 阻抗
S
Z
K k
K k
k
W
b
k k
K k
K k
k
k
k
k
k
k
r
0
2
1
30
2
1
1
2
1
1
0 0 7
1
2
1
1
0 7 1
( ' )
( )
,'
( )
( ' )
ln
'
'
.
ln,
th
≤ ≤
≤ ≤
零厚度带线微波技术的发展,出现了各种各样的传输线,
给计算带来很大的困难,针对这种情况,从 80年代开始国外做了大量的闭式 (closed form)工作,即仔细算出各种情况,然后用简单的闭式给以拟合,
逼近,用计算机程序代替图表曲线 。
闭式的工作包括分析和综合两个部分 。
一,特性阻抗 Z0的闭式工作
2/1)(,/
rbw?
已知分 析综 合已知
Z0
一,特性阻抗 Z0的闭式工作
1,带线分析零厚度带线主要是 S,B,Cohn的工作
Z K kK kr0 30 ' ( )( )
(22-1)
K k
K k
k
k
k
k
k
k
( )
' ( )
ln
'
'
.
ln,
1
2
1
1
0 0 7
1
2
1
1
0 7 1
1
≤ ≤
≤ ≤
(22-2)
一,特性阻抗 Z0的闭式工作厚带的工作则由 Wheeler完成
Z b t
W
b t
W
b t
Wr0
2
30 1 4 8 8 6 27?
ln
' ' '
.(22-3)
其中
W
b t
W
b t
W
b t
W
b t
x
x
x
x
x
W
b
x
m
'
( )
ln
.
.
1
1
1
2 2
0 0796
1 1
2
(22-4)
一,特性阻抗 Z0的闭式工作
m x x2 1 23 1
x tb? (22-6)
(22-5)
上述公式对于范围，精度可达 0.5%。
一,特性阻抗 Z0的闭式工作
2,带线综合零厚度带线
W
b k
k
k
2 1 1
1
1
th ( ) ln
k
e
e
A
e
e
A
A
A
A
A
1
2
2
2
2
0
4
2
2
≥
≤ ≤
其中
(22-7)
(22-8)
一,特性阻抗 Z0的闭式工作
A Z r? 030?
W
b
W
b
W
b
0?
W
b
x e
e
A
A
0 8 1 0 568
1?
( ),
(22-10)
(22-11)
(22-9)
有限厚度带线其中具体程序见《计算微波,3.5节。
一,特性阻抗 Z0的闭式工作带状线的衰减包括两部分：介质衰线和导体衰线 。
1,介质衰减常数 ad
对于介质衰线,任何传输线都有同一形式的公式,
所以这里采取平面波传输的办法导出 。
有介质衰减的无源区 Maxwell方程二,带线的衰线
E j H
H j E
0
~
(22-12)
引入复介电常数
~ ' "
( )
j
jr0 1 tg
(22-13)
X
Y
Z
图 22-1 介质衰减 ad
二,带线的衰线
tg "'
E j Er02 0 0 1( )tg
2
0
2
2 2
1 0
0
E k j E
E E
r
( )tg
(22-14)
(22-15)
其中称之为介质损耗角正切，则可得设则介质内波 传播的 Helmholtz方程是二,带线的衰线
E E e z
0?
j j jtgr0 0 121
( )1 1 12
1
2j jtg tg
设 z方向的波是其中
—— 衰减常数,?—— 传输常数 。
对于常见的低耗情况
(22-17)
(22-16)
二,带线的衰线
1
2 0 0
0 0
r
r
tg
12 tg
2 2
0
0
r
r
,其中
0
r tg
于是很明显看出 。 另一方面可知
(22-18)
二,带线的衰线
d r r8 686 27 3
0 0
.,tg tg
考虑到统一介质衰减常数?d用 dB/m表示
(22-19)
［例 1］ 99%的 Al2O3(氧化铝陶瓷 )，俗称 99瓷。
r9 0 10 4.,tg
d27 33 10 9 10 2 73 102 4 1.,d B / m
在 λ=3 cm 的 ad
二,带线的衰线
2,导体衰减常数 ad
由传输线理论已知,导体衰减相当于分布的串联电感中有损耗电阻成分,如图所示 。
LzD
Rz1 D
CzD
图 22-2 导体衰减二,带线的衰线传输线的二次特征参数
ZY R j L j C
j LC j
R
L
j LC j
R
L
j LC
R
Z
( )( )
1
1
1
2
1
1
0
1
1
2
因此，在小衰减的情况下
C
R
Z
j LC
1
02 (22-20)
二,带线的衰线对于一般传输线,场分布很难求出,因此采用电流分布求出几乎不可能 。 这里重点介绍增量电感法 。
增量电感法受到这样一个重要启示，即在导体上表面电阻或方块电阻
Z R jX js s s2 1( )
也即，表面电阻等于表面电抗，这就构成方法框图。
(22-21)
二,带线的衰线应用电感增量表示损耗电阻良导体表面电阻 表面感抗=
表面电抗可表示为 外电感增量增量电感法二,带线的衰线
P
l
d
R RPs
l
1?
［定理 1］
(22-22)
Rs2其中 是分块电阻,Pl — 传输线围线周长。
二,带线的衰线
［证明］ 其中传输线长度 l=1 R l
S1
S P
R
P
R
P
l
l
s
l
,
1
1
1
2 2,R s
因为二,带线的衰线此外，从损耗功率 P的角度
P I R J R dpdz
dz
P
I
P
R dp I
R
P
s
l
s
s
l
1
2
1
2
1
1
2
1
2
2
1
2
2
2
2
是单位长度亦可知
R RPs
l
1?
二,带线的衰线
［定理 2］
Z j R j Ls s s2 1( )
L Rs s2
L L
P Pi
s
l l
2
［证明］
(22-24)
(22-23)
(22-25)
R L R Lns1 1
导体表面阻抗可见 Rs=?Ls,或者写成而单位长度的内电感二,带线的衰线
L h h dt t
s
L h h ds h h ds h h ds L LT t t t
SS
t t t
S
s
'?
L L L Lns T2
重新回忆起广义传输线理论中外电感如果把外电感和内电感合在一起称 LＴ
于是
R L Ln R Lns1 1 2
二,带线的衰线
Z vL L Zv0 0,或者
L
n v
Z
n C
Z
n
R
R Z
n
r
s r
1
120
0 0
1
0
RZ R Z Zns r1
0 0
0
2 240
1
(22-26)
前面已经导出于是最后导出二,带线的衰线
Z ba
r
0
60
ln
C
r
a b
b
a
2
1 1
240 ln
［例 2］ 圆同轴线采用增量电感法重新回到带状线问题
(22-27)
二,带线的衰线
Z
n
Z
b
Z
W
Z
t
R
Z
Z
b
Z
W
Z
t
C
s r
0 0 0 0
0
0 0 0
2 2 2
0 0231
.
dB / m
(22-28)
W
b t
d
d
d n
图 22-3 带线衰减常数 —— 注意增量方向二,带线的衰线三,带线 Q值一般情况下,Q值是谐振腔 (或谐振电路 )的重要指标 。
把它推广到传输线上来：用单位长度储能比单位长度每周耗能
Q WPT WP2 2单位长度储能每周单位长度耗能
(22-29)
b
w
l= 1
其中,QＣ 为导体 Q值，而 Qd为介质损耗 Q值。
三,带线 Q值
［定理 3］
［证明］ 有耗时能量以场的平方规律随时间耗散而消耗功率于是有
Q d? 1 / tg?
W W e
dW
dt
W
t?
0
2
2
P dWdt Wl 2?
PW W PW Ql l2 2 2 1
(22-30)
三,带线 Q值另一方面，能量又可随距离衰减或者写成计及 dz
dt v p
W W e
dW
dz
W
z?
0
2
2
dW
dt dz
dt
W
dz
dt
1
2?
三,带线 Q值可知
Q2
d
dQ
1
2
1
tg
tg
Q QQ
C
1 tg?
具体对于介质衰减常数总的带线 Q值是
(22-31)
三,带线 Q值四,功率容量和尺寸选择
1,功率容量倒圆角的空气带线功率容量
P
b P Z
t
b
t
b
m a x
( )2 2
2
2
3
0
24
1
602 10 1
2
(22-32)
上式中,Pmax—— 最大入射峰值击穿功率,单位 KW；
—— 驻波比 VSWR；
P—— 大气压 (atm)；
b—— 单位 cm。
(22-33)
2,尺寸选择
( )
( )
C r
C r
W
b
TE
TM 01
10
2
2
所以尺寸的原则是
W
b
r
r
＜
＜
m in
m in
2
2
(22-34)
四,功率容量和尺寸选择附 录 原带保角变换
APPENDIX
应用 Schwarz变换
z W dWk W k W BW ( )( ) ( s i n )
/
/
1
1 1
2 1 2
2 2 1 2 2 2 20?
y
w
b
x
A
B
C D
E t/2
F
o
z-plane
Y
A B C D E F
+1v
-1 1 1/k-1/k-1/ksin a 1/ksin aO
0v 0v
X
W-plane
附 录 原带保角变换可以给出
z
k d
d B
dn Z a
k
dna
k a a
( )
ln
( )
( )
1
1
1
2
2
2 2 20
2 2
sn
sn sn
sn cn sn cn
B
再应用变换
W=sn?
附 录 原带保角变换研究对应点情况
(1) z=jt/2～ W=0,?=0
且考虑到
( )
( )
a
a 1
于是有
B jt? 2
附 录 原带保角变换
（ 2）
z W j t W k K jk2 2 1,/ ~ '?
( ' )
( ' )
K jK a
K JK a e
j aK
W K
aZ a
k a a
t
a
k a a
a
k
K
aZ a
k a a
2 1
2 1
2
2 2
dn
sn cn
dn
sn cn
dn
sn cn
( )
'
( )?
并计及所以附 录 原带保角变换
(3)在 W面的 F点应考虑为奇点，则在该点的积分留数为
dn
sn cn
a
k a a2 2
b a
k a a2 2 2
dn
sn cn
W
b
K k a a
a
Z a
t
b
a
K
K k a a
a
Z a
2
2
2
2
sn cn
dn
sn cn
dn
( )
'
( )
由上式又可求出?和 k。
于是可导出最后得到附 录 原带保角变换再用变换 t kW2 1sn (,)?
把 W平面变到 t平面
ti
B C D E
F
O
tr
k'( )?
k( )?-k( )?
A
t-plane?=sn(?,k)
附 录 原带保角变换总电容是
C e KK? 2 2 ( )' ( )
Z vC
K
Kr0
1 30
'
附 录 原带保角变换
PROBLEMS22
一 已知半长轴 a=2,半短轴 b=1求椭圆周长
y
x
o
b
a
w
b?1
二 已知 0厚度带线,求特性阻抗 Z0。
