第 31章 矩形谐振腔
Rectangular Resonator
如果说微波传输线充当低频的 R,L,C部件，那么微波谐振腔相当于低频振荡电路。这是振荡器、
滤波器和耦合器应用中所必须涉及的。
介质抽量波长计灵敏测量波滤谐振腔频选图 31-1 谐振腔应用讨论谐振腔的主要指标是谐振频率?0,品质因数 Q
和电导 G。 谐振腔的讨论思路是,理想腔 — 耦合腔 —
非理想腔,如图 (31-2)所示 。
在研究谐振频率 f0时,采用不计及腔损耗,即腔壁由理想导体构成 。 但是,当研究 Q时,则必须考虑损耗的因素 。
耦合腔和实际腔反映了谐振腔的具体应用 。
第 31章 矩形谐振腔
Rectangular Resonator
一、谐振频率?0
谐振腔中谐振频率?0(或 f0)和谐振波长?0是最基本参数,但是要注意?0是不变量,而?0则与媒质?r?0
有关 。
在一个封闭系统中,电能与磁能相等称之为谐振 。 谐振腔的规律同样服从 Maxwell方程组,可导出
Helmholtz方程 。
2 2 0E k E (31-1)
C Go L
C
G
Go
L
C
Go
L
理想腔耦合腔非理想腔
G-介 质
Q G
0
图 31-2 谐振腔研究的思路框图一、谐振频率?0
但是在求解中,它与传输线不同。在传输线中 z是优势方向,即。从概念上讲,x,y方向是驻波，而 z方向假定是行波。
x
y
0
-z
x
0
-z
y
d E
dx
k E
d E
dy
k E
d E
dz
E
k k k
k k
x
y
x y z
z
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 2 2
2 2 2
0
0
0
d E
dx
k E
d E
dy
k E
d E
dz
k E
k k k k
x
y
x
x y z
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 2 2 2
0
0
0
传 输 线 谐 振 腔一、谐振频率?0
可见,谐振腔在三个方向都是纯驻波，而传输线 kc
是二维谐振。
传输线 — 二维
kc
传输腔 — 三维
k
图 31-3 二维谐振和三维谐振一、谐振频率?0
从这个意义上看谐振频率?0是问题的本征值，
而对应的场分布则是本征矢 。E
l c
l l
E k E
E E
E k E
E E
2 2 2 20 0
L L
所以我们可以进一步深入地用本征值问题加以讨论。
在填充空气的条件下
k c2
0
0?
一、谐振频率?0
(31-2)
(31-3)
进一步,如果讨论的是传输型谐振腔，即
l p p (,,,)1 2 3?
则有
0
0
2 2 2 2
1
1 1
1
1
2
g c
p
l
一、谐振频率?0
(31-4)
(31-5)
二、品质因数 Q0
品质因数又称 Q值，它反映谐振腔储能与损耗之间的关系。
Q WW WP
r L
0
02
W表示谐振腔的 平均 储能,WT表示一个周期 T内谐振腔的能量损耗 。 WT=TPL,PL表示一个周期内 平均 损耗功率 。 式 (31-6)对于低频和高频均适用的 。
平均储能在谐振时有一特点，即腔内所储的电能等于所储的磁能。
(31-6)
W W W H dve m
v
12 2? | |?
而导体壁损耗
P J R ds R H dsL s s
S s S
12 122 2| | | |?
式中 Rs是表面电阻率,为切向磁场。
因此，有限电导率?所对应的谐振腔 Q值
Q
R
H dv
H ds
H dv
H dss
V
S
V
S
0
0
2
2
2
2
2
| |
| |
| |
| |
R Hs02,
二、品质因数 Q0
(31-7)
(31-8)
(31-9)
其中集肤深度 。作估值公式，令 0
2 | | ~ | |H H2 2
1
2?
Q VS0 1
可以知道,?小,V/S大,是 Q0大的先决条件 。 理想腔的品质因数也称为固有品质因数 Q0(或无载 Q值 )。
Q无量纲,只与媒质,腔体几何形状和波型有关 。
事实上可以有很多损耗源,例如
P PL Li
i
n
1
二、品质因数 Q0
(31-10)
(31-11)
于是也可以定义各种损耗因素所对应的 Q
1 1
0 11Q
P
W Q
Li
ii
n
i
n
其中,Qi=?0W/PLi对应第 i个损耗源的 Q值 。 除了导电壁?的 Q值以外,最普遍的是介质 对应的
Qd。 这时储能和损耗功率分别是
W E dV
P E dV
V
L
V
1
2
1
2
2
0
2
二、品质因数 Q0
(31-12)
(31-13)
~ ' " j
Q WP tgd
L
0 1
于是可见,均匀分布的介质 Q值 (31-14)是一个普适的公式,它与波型无关 。 现在,我们进一步引进复频率,令
~0 1 j
~?
于是内部场可写成
E E e E e e
m j t m j t t
~0 0 0
二、品质因数 Q0
(31-14)
(31-15)
(31-16)
复频率 相当于场衰减。于是能量可写成~?
W W em t 2 0
损耗功率,于是P dW dtL
dW P dt WQ dtL 0
另外，根据式 (31-17)，导出
dW W d t 2 0
比较 (31-18)和 (31-19)很清楚二、品质因数 Q0
(31-17)
(31-18)
(31-19)
12Q
这样,引入复频率,可以把谐振频率和值包含在一个公式之中
~
0 1
1
2j Q
由于复频率的引入,使我们可以采用复变函数的理论工具研究谐振腔。
二、品质因数 Q0
(31-20)
(31-21)
三、等效电导 G0
等效电导 G0 用来统一表征谐振系统的损耗
P G UL m? 12 0 2
或者写出,若选定G P UL
m0 2
2?
图 31-4 谐振腔等效电导 G0
(31-22)
U E dlm mab
则有
G R
H d
E dl
S
a
b
0
2
2
由于在微波谐振腔中,电压 Um定义的不唯一性,
所以现代微波理论中对于 G0这个参量已经比较淡化
(只有在 TEM波，例如同轴腔才使用 )，而强调 ω0和
Q这两个参量。
三、等效电导 G0
(31-23)
(31-24)
四、矩形腔 TE101模的场和 λ0
矩形腔 TE101模是最基本而重要的模式，它是由传输线 TE10模在 z方向加两块短路板而构成的金属封闭盒。
图 31-5 矩形 TE101模已经知道,TE10模中
E E xa ey m j zs in
首先在 z=0处放一块金属板 (全反射 ),则有
E E xa e e jE xay m j z j z ms in s in s in z 2
令 E0=2jEm?而且在 处放一块金属板 (全反射 )，
即 。这时有
2 1 2
g
p p,,
(31-25)
(31-26)
四、矩形腔 TE101模的场和 λ0
z l?
sin? l? 0
mi n l g? 12?
2
g l
，其中,这时对应 。则l p
g?
1
2?
p?1
所以,TE101模 Ey最终写成
E E a x l zy0 s in s in
现在采用 Maxwell方程组解出
(31-27)
四、矩形腔 TE101模的场和 λ0
E j H
H j
i j k
x y z
E
H j
E
z
j
E
l
x
a
z
l
j
E
l
x
a
z
l
H j
y
x
y
z
0
0
0
0
0
0 0
1
0 0
1
2
1
s in c os s in c os
=
E
x
j
E
a
x
a
z
l
j
E
a
x
a
z
l
y
0 0 0
2
c os s in c os s in
四、矩形腔 TE101模的场和 λ0
归纳起来 TE101模的场 E E
a
x
l
z
H j
E
a
x
a
z
l
H j
E
a
x
a
z
l
y
x
z
0
0 0
0 0
2
2
s in s in
s in c os
c os s in
(31-28)
四、矩形腔 TE101模的场和 λ0
从概念上来考察矩形波导,Ey和 Hz在 z方向行波同时出现最大值；而 TE101模中,,
最大值对应最小值 。 在相位方面,Ey和只差一负号,
使 有行波传输的实功率；而 TE101模中相位差 90°,因此 Sz只有虚功率 。 如果研究 Ey和 Hz也有类似情况 。
zlE y?s in~
z
aH z
c os~
S E Hz y z12
四、矩形腔 TE101模的场和 λ0
由于
k k k k
a lx y z
2
0
2
2 2 2
2 22
可知
0
2 2
2?
al
a l
其场结构如图 31-6所示。值得提出：如果是 TE10p模，
只要作代换 即可，这时有l lp l
0
2 2
2?
al
pa l
(31-29)
(31-30)
四、矩形腔 TE101模的场和 λ0
图 31-6 TE101模的场结构四、矩形腔 TE101模的场和 λ0
五,TE101模的 Q值
W W E dv E a x l z d x d y d z abl Ee ablVmax s in s in12 12 182 02 2 2 02000
计算导体 Q值时有六个面需要考虑
P R H dx dy H dy dz H H dx dz
H dx dy
E
l
x
a
dx dy
E ab
l
L e x
z
z
x
x z
alblab
x
z
abab
1
2
2 2 2
1 2 2
2 4
2
0
2
0
2 2 2
000000
0
2
0
2
2
0
2
2 0
2
0
2
2 2
0000
( ) sin
( )
2 2
2 4
3 2 2
2
0 0
2
0
2
2
0
2
2
000
0
2
0
2
2 2
2 2
0
2
0
2
2 2
H dy dz
E
l
x
a
dy dz
E bl
a
H H dx dz
E
l
x
a
z
l
dx dz
z
b
x
bll
x z
sin
( ) sin c os
0000
0
2
0
2
2 2 0
2
0
2
2
00
2
2 8
alal
al E
a
x
a
z
l
dx dz
E a
l
l
a
+
c os sin
(31-31)
结合上面三种情况可知
P R E abl bla al laL s
0
2
2 0
2
2 28
1
2
代入 Q值公式
Q
abl
E
R
E
ab
l
bl
a
a
l
l
a
k
Q
abl
R
ab
l
bl
a
l
a
a
l
al
a l
Q
a l b
R
s
s
s
0
0 0
2
0
2
2 0
2
2 2
0 0
0
0
0
3
2 2
0
2 2
0
2 2
3 2
8
8
1
2
2
2
1
2
2
4
/
a l
ab
l
bl
a
a
l
l
a
2 2
2 2
1
2
五,TE101模的 Q值最后得到
Q R b a lal a l b a l
s
0
2 2 3 2
2 2 3 34
2
2?
[ ]
( ) ( )
/
［ 例 ］ 铜制矩形腔尺寸 a=l=2cm,b=1cm,TE101模,
空气填充,求 Q0值
［ 解 ］
f c a l0
2 2
2
1 1 10 62
,GHz
R
Q
s
0 2
0
2
2 69 10
7780
,?
(31-32)
五,TE101模的 Q值一,阶跃光纤纤芯的折射率 n1=1.55,包层折射率 n2=1.5,工作波长为 1.5mm,纤芯半径 40 mm，
试求传输的模数 。
PROBLEM 31
Rectangular Resonator
如果说微波传输线充当低频的 R,L,C部件，那么微波谐振腔相当于低频振荡电路。这是振荡器、
滤波器和耦合器应用中所必须涉及的。
介质抽量波长计灵敏测量波滤谐振腔频选图 31-1 谐振腔应用讨论谐振腔的主要指标是谐振频率?0,品质因数 Q
和电导 G。 谐振腔的讨论思路是,理想腔 — 耦合腔 —
非理想腔,如图 (31-2)所示 。
在研究谐振频率 f0时,采用不计及腔损耗,即腔壁由理想导体构成 。 但是,当研究 Q时,则必须考虑损耗的因素 。
耦合腔和实际腔反映了谐振腔的具体应用 。
第 31章 矩形谐振腔
Rectangular Resonator
一、谐振频率?0
谐振腔中谐振频率?0(或 f0)和谐振波长?0是最基本参数,但是要注意?0是不变量,而?0则与媒质?r?0
有关 。
在一个封闭系统中,电能与磁能相等称之为谐振 。 谐振腔的规律同样服从 Maxwell方程组,可导出
Helmholtz方程 。
2 2 0E k E (31-1)
C Go L
C
G
Go
L
C
Go
L
理想腔耦合腔非理想腔
G-介 质
Q G
0
图 31-2 谐振腔研究的思路框图一、谐振频率?0
但是在求解中,它与传输线不同。在传输线中 z是优势方向,即。从概念上讲,x,y方向是驻波，而 z方向假定是行波。
x
y
0
-z
x
0
-z
y
d E
dx
k E
d E
dy
k E
d E
dz
E
k k k
k k
x
y
x y z
z
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 2 2
2 2 2
0
0
0
d E
dx
k E
d E
dy
k E
d E
dz
k E
k k k k
x
y
x
x y z
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 2 2 2
0
0
0
传 输 线 谐 振 腔一、谐振频率?0
可见,谐振腔在三个方向都是纯驻波，而传输线 kc
是二维谐振。
传输线 — 二维
kc
传输腔 — 三维
k
图 31-3 二维谐振和三维谐振一、谐振频率?0
从这个意义上看谐振频率?0是问题的本征值，
而对应的场分布则是本征矢 。E
l c
l l
E k E
E E
E k E
E E
2 2 2 20 0
L L
所以我们可以进一步深入地用本征值问题加以讨论。
在填充空气的条件下
k c2
0
0?
一、谐振频率?0
(31-2)
(31-3)
进一步,如果讨论的是传输型谐振腔，即
l p p (,,,)1 2 3?
则有
0
0
2 2 2 2
1
1 1
1
1
2
g c
p
l
一、谐振频率?0
(31-4)
(31-5)
二、品质因数 Q0
品质因数又称 Q值，它反映谐振腔储能与损耗之间的关系。
Q WW WP
r L
0
02
W表示谐振腔的 平均 储能,WT表示一个周期 T内谐振腔的能量损耗 。 WT=TPL,PL表示一个周期内 平均 损耗功率 。 式 (31-6)对于低频和高频均适用的 。
平均储能在谐振时有一特点，即腔内所储的电能等于所储的磁能。
(31-6)
W W W H dve m
v
12 2? | |?
而导体壁损耗
P J R ds R H dsL s s
S s S
12 122 2| | | |?
式中 Rs是表面电阻率,为切向磁场。
因此，有限电导率?所对应的谐振腔 Q值
Q
R
H dv
H ds
H dv
H dss
V
S
V
S
0
0
2
2
2
2
2
| |
| |
| |
| |
R Hs02,
二、品质因数 Q0
(31-7)
(31-8)
(31-9)
其中集肤深度 。作估值公式，令 0
2 | | ~ | |H H2 2
1
2?
Q VS0 1
可以知道,?小,V/S大,是 Q0大的先决条件 。 理想腔的品质因数也称为固有品质因数 Q0(或无载 Q值 )。
Q无量纲,只与媒质,腔体几何形状和波型有关 。
事实上可以有很多损耗源,例如
P PL Li
i
n
1
二、品质因数 Q0
(31-10)
(31-11)
于是也可以定义各种损耗因素所对应的 Q
1 1
0 11Q
P
W Q
Li
ii
n
i
n
其中,Qi=?0W/PLi对应第 i个损耗源的 Q值 。 除了导电壁?的 Q值以外,最普遍的是介质 对应的
Qd。 这时储能和损耗功率分别是
W E dV
P E dV
V
L
V
1
2
1
2
2
0
2
二、品质因数 Q0
(31-12)
(31-13)
~ ' " j
Q WP tgd
L
0 1
于是可见,均匀分布的介质 Q值 (31-14)是一个普适的公式,它与波型无关 。 现在,我们进一步引进复频率,令
~0 1 j
~?
于是内部场可写成
E E e E e e
m j t m j t t
~0 0 0
二、品质因数 Q0
(31-14)
(31-15)
(31-16)
复频率 相当于场衰减。于是能量可写成~?
W W em t 2 0
损耗功率,于是P dW dtL
dW P dt WQ dtL 0
另外，根据式 (31-17)，导出
dW W d t 2 0
比较 (31-18)和 (31-19)很清楚二、品质因数 Q0
(31-17)
(31-18)
(31-19)
12Q
这样,引入复频率,可以把谐振频率和值包含在一个公式之中
~
0 1
1
2j Q
由于复频率的引入,使我们可以采用复变函数的理论工具研究谐振腔。
二、品质因数 Q0
(31-20)
(31-21)
三、等效电导 G0
等效电导 G0 用来统一表征谐振系统的损耗
P G UL m? 12 0 2
或者写出,若选定G P UL
m0 2
2?
图 31-4 谐振腔等效电导 G0
(31-22)
U E dlm mab
则有
G R
H d
E dl
S
a
b
0
2
2
由于在微波谐振腔中,电压 Um定义的不唯一性,
所以现代微波理论中对于 G0这个参量已经比较淡化
(只有在 TEM波，例如同轴腔才使用 )，而强调 ω0和
Q这两个参量。
三、等效电导 G0
(31-23)
(31-24)
四、矩形腔 TE101模的场和 λ0
矩形腔 TE101模是最基本而重要的模式，它是由传输线 TE10模在 z方向加两块短路板而构成的金属封闭盒。
图 31-5 矩形 TE101模已经知道,TE10模中
E E xa ey m j zs in
首先在 z=0处放一块金属板 (全反射 ),则有
E E xa e e jE xay m j z j z ms in s in s in z 2
令 E0=2jEm?而且在 处放一块金属板 (全反射 )，
即 。这时有
2 1 2
g
p p,,
(31-25)
(31-26)
四、矩形腔 TE101模的场和 λ0
z l?
sin? l? 0
mi n l g? 12?
2
g l
，其中,这时对应 。则l p
g?
1
2?
p?1
所以,TE101模 Ey最终写成
E E a x l zy0 s in s in
现在采用 Maxwell方程组解出
(31-27)
四、矩形腔 TE101模的场和 λ0
E j H
H j
i j k
x y z
E
H j
E
z
j
E
l
x
a
z
l
j
E
l
x
a
z
l
H j
y
x
y
z
0
0
0
0
0
0 0
1
0 0
1
2
1
s in c os s in c os
=
E
x
j
E
a
x
a
z
l
j
E
a
x
a
z
l
y
0 0 0
2
c os s in c os s in
四、矩形腔 TE101模的场和 λ0
归纳起来 TE101模的场 E E
a
x
l
z
H j
E
a
x
a
z
l
H j
E
a
x
a
z
l
y
x
z
0
0 0
0 0
2
2
s in s in
s in c os
c os s in
(31-28)
四、矩形腔 TE101模的场和 λ0
从概念上来考察矩形波导,Ey和 Hz在 z方向行波同时出现最大值；而 TE101模中,,
最大值对应最小值 。 在相位方面,Ey和只差一负号,
使 有行波传输的实功率；而 TE101模中相位差 90°,因此 Sz只有虚功率 。 如果研究 Ey和 Hz也有类似情况 。
zlE y?s in~
z
aH z
c os~
S E Hz y z12
四、矩形腔 TE101模的场和 λ0
由于
k k k k
a lx y z
2
0
2
2 2 2
2 22
可知
0
2 2
2?
al
a l
其场结构如图 31-6所示。值得提出：如果是 TE10p模，
只要作代换 即可，这时有l lp l
0
2 2
2?
al
pa l
(31-29)
(31-30)
四、矩形腔 TE101模的场和 λ0
图 31-6 TE101模的场结构四、矩形腔 TE101模的场和 λ0
五,TE101模的 Q值
W W E dv E a x l z d x d y d z abl Ee ablVmax s in s in12 12 182 02 2 2 02000
计算导体 Q值时有六个面需要考虑
P R H dx dy H dy dz H H dx dz
H dx dy
E
l
x
a
dx dy
E ab
l
L e x
z
z
x
x z
alblab
x
z
abab
1
2
2 2 2
1 2 2
2 4
2
0
2
0
2 2 2
000000
0
2
0
2
2
0
2
2 0
2
0
2
2 2
0000
( ) sin
( )
2 2
2 4
3 2 2
2
0 0
2
0
2
2
0
2
2
000
0
2
0
2
2 2
2 2
0
2
0
2
2 2
H dy dz
E
l
x
a
dy dz
E bl
a
H H dx dz
E
l
x
a
z
l
dx dz
z
b
x
bll
x z
sin
( ) sin c os
0000
0
2
0
2
2 2 0
2
0
2
2
00
2
2 8
alal
al E
a
x
a
z
l
dx dz
E a
l
l
a
+
c os sin
(31-31)
结合上面三种情况可知
P R E abl bla al laL s
0
2
2 0
2
2 28
1
2
代入 Q值公式
Q
abl
E
R
E
ab
l
bl
a
a
l
l
a
k
Q
abl
R
ab
l
bl
a
l
a
a
l
al
a l
Q
a l b
R
s
s
s
0
0 0
2
0
2
2 0
2
2 2
0 0
0
0
0
3
2 2
0
2 2
0
2 2
3 2
8
8
1
2
2
2
1
2
2
4
/
a l
ab
l
bl
a
a
l
l
a
2 2
2 2
1
2
五,TE101模的 Q值最后得到
Q R b a lal a l b a l
s
0
2 2 3 2
2 2 3 34
2
2?
[ ]
( ) ( )
/
［ 例 ］ 铜制矩形腔尺寸 a=l=2cm,b=1cm,TE101模,
空气填充,求 Q0值
［ 解 ］
f c a l0
2 2
2
1 1 10 62
,GHz
R
Q
s
0 2
0
2
2 69 10
7780
,?
(31-32)
五,TE101模的 Q值一,阶跃光纤纤芯的折射率 n1=1.55,包层折射率 n2=1.5,工作波长为 1.5mm,纤芯半径 40 mm，
试求传输的模数 。
PROBLEM 31
