第 32章 圆柱谐振腔
Cylindrical Resonator
与矩形腔的情况类似，我们以 TEmn波为例，先研究 z方向行波场 —— 也即传输线情况。
H A J k r mm ez mn m c j z( ) c o ss in
在 z=0处放一金属板,Hz=0的全反射条件
H A J k r
m
m
e e
H J k r
m
m
z
z mn m c
j z j z
m n p mn c

( )
c o s
s in
( )
( )
c o s
s in
s in

(32-1)
一、圆柱腔中的场和 l0
R
r
x
Z
y
0
图 32-1 圆柱谐振腔其中,kc=mmn/R,mmn是 m阶 Bessel函数导数的根 。 再在 z=l处放一金属板,又一次构成 Hz=0的全反射条件 。
由 sinbl=0可得到 b=pp/l,且
H H J k r mm p l zz m n p m c( ) c o ss in s in p
我们再次看到尽管圆柱腔和矩形腔横向截面完全不同,但是纵向因子 是一样的,这正是传输线型谐振腔的共同特点 。sin
p
l z
p?


一、圆柱腔中的场和 l0
(32-2)
E
E
H
H
k
j
j
j
j
E
r
r
E
H
r
r
H
r
r c
z
z
z
z








1
0 0
0 0
0 0
0 0
1
1
2
一、圆柱腔中的场和 l0
(32-3)
在波导中,横向分量用纵向分量表示得到不变量矩阵于是有
E
j
k r
H
E
j
k
H
r
H
k r
H
r
H
k
H
r
c
z
c
z
r
c
z
c
z









2
2
2
2
一、圆柱腔中的场和 l0
(32-4)
注意到谐振腔与波导的不同，重新作变换,即z
E
j
k r
H
E
j
k
H
r
H
k
H
r z
H
k r
H
z
r
c
z
c
z
r
c
z
c
z






2
2
2
2
2
2
1
1
一、圆柱腔中的场和 l0
(32-5)
可以得到 TEmnp模场表达式
E
j m
k r
H J k r
m
m
p
l
z
E
j
k
H J k r
m
m
p
l
z
E
H
p
k l
H J k r
m
m
p
l
z
H
mp
k rl
H J k r
r
c
mnp m c
c
mnp m c
z
r
c
mnp m c
c
mnp m c


p

p
p?
p
p
2
2
2
0
( )
sin
c os
sin
' ( )
c os
sin
sin
' ( )
c os
sin
c os
( )
sin
c os
c os
( )
c os
sin
sin
m
m
p
l
z
H H J k r
m
m
p
l
z
z mnp m c
p
p
一、圆柱腔中的场和 l0
(32-6)
谐振波长 l0
l
p
l
p
0
2 2
0
2 2
1
2 2
1
2 2


mn
mnp
mn
mnp
R
p
l
TE
R
p
l
T M
模模其中最主要的

( )
.
.
l
l
0
2 2
0
111
1
1
3 412
1
2
2 62
TE
TM 0 1 0

R l
R
比较可知 l＜ 21R时,(l0) TM010是最低模式。
一、圆柱腔中的场和 l0
(32-7)
(32-8)
二、圆柱腔的波形因数定义 为波形因数,p Q?
0
0
l
Q
m p D
l
p D
l
p D
l
m D
l
m np
mn
mn
mn
mn
0
0
2
2
2 2
3 2
2 2 2
2
1
2
1
2
2 2
1
l p
p
p p



TE
/
( 3 2 - 9)
( 3 2 - 1 0 )
TM
Q
v
p D
l
D
l
m np
mn
0
0
2
2 2
1 2
2
2 1
l
p
p

/
分别表示 TEmnp和 TMmnp的波形因数。
圆柱腔三种主要工作模式
H j
E
J k r
E E J k r
k
v
R R
R
Q
R
R
l
c
z c
c
l

010
1
010 0
01
0
0
2 405
2 62
1
1
( )
( )
.
.
TM 010
lP = Q 0 0
D /L
TM101 无法简单调谐二、圆柱腔的波形因数
TE111
E
j
k r
H J k r
l
z
E
j
k
H J k r
l
z
E
H
k l
H J k r
l
z
H
k rl
H J k r
l
z
r
c
c
c
c
z
r
c
c
c
c



p

p
p?
p
p?
p
2
111 1
111 1
111 1
2
111 1
0
( )
sin
c os
sin
' ( )
c os
sin
sin
' ( )
c os
sin
sin
( )
sin
c os
c os



H H J k r
l
z
k
R R
R l
Q
D
l
z c
c
mn
mn
111 1
11
0
2 2
0
2
2
2
1 841
1
1
3 412
1
2
1
2
1
1
2
( )
c os
sin
sin
.
.
p
l
l p
p?


2
3 2
2 2 2
2
2 2
1
1
/
p p
mn
mn
D
l
D
l
D
l
D /L
P= Q 0l
1.25
TE 11
二、圆柱腔的波形因数
TE011 无纵向电流品质因数 Q高体积大
E
j
k
H J k r
z
l
H
k r
H J k r
z
l
H H J k r
z
l
k
R R
R l
Q
c
c
r
c
c
z c
c
p
p p
p
l
l


011 0
011 0
011 0
01
0
2 2
0
0
3 832
1
1
1 64
1
2
0
' ( ) sin
' ( ) c os
( ) sin
.
.
.610 1 0 168
1 0 168
2
3 2
3
.
.
/
D
l
D
l
lP = Q 0 0
D / L
TE 011
二、圆柱腔的波形因数三、工作模式图工作模式图的目的在于选择频率范围,在此内单模工作 。
已知谐振波长
l
p
0 2 2
1
2 2

mn
R
p
l
其中
mn mn
mnv

T E
T M
模模
(32-11)
(32-12)
利用 l0=c/f0和 D=2R可知
f
c D
p
l
mn0
2
2
2 2
2?




p
适当变换即得工作模式方程
( )f D c cp Dlmn0 2
2 2 2
2?






p
三、工作模式图
(32-13)
( f D )0
2
( D / L )
2
图 32-2 工作模式图三、工作模式图明显看出,与 (f0D)2成线性关系D
l


2
F f f? m a x
m i n
为频宽比自干扰型 —— 横向场与工作模式相同,必须划出方框外 。
干扰型 —— 不相交,同一频率,不同尺寸时谐振 。
交叉型 —— 不相交同于干扰型,而相交很严重 。
简并型 —— TE011和 TM111,Q值迅速降 。
三、工作模式图
(32-14)
( f D )0
2
( D / L )
2
f m a x
f m i n
L m a x L
m i n
TE 自干扰干扰型工作模式 简并型交叉型
TE 011 TM 111
图 32-3 干扰类型三、工作模式图可以研究 F=fmax／ fmin与 的关系Dl
min
( D / L )
F = f / fm a x m i n
m i n
图 32-4 频宽关系图三、工作模式图矩形腔和圆柱腔比较
TEmnp模

H H
m
a
x
n
b
y
p
l
z
H H J k r
m
m
p
l
z
z m n p
z m n p m c
c o s c o s s i n
c o s
s i n
s i n
p p p
p
三、工作模式图它们的 z方向函数相同,传输线型谐振腔均满足广义传输线理论谐振腔场谐振腔场 Helmholtz方程2 2 0E k E
k k k k k k kx y z c z2 2 2 2 2 2 2
谐振波长
0l
l l
p
0 2 2 2 0 2 2
2 1
2 2













m
a
n
b
p
l R
p
l
mn
三、工作模式图品质因数 Q0
Q
W
P
H dv
H dsL
V
S
0
2
2
2

圆柱腔中 TEmnp和 TMmnp推导比较
TEmnp模 TMmnp模领矢矢量 Hz Ez
三、工作模式图
HE A J k r mm zzz
z
mn m c

c o s
s i n
c o s
s i n
k R k Rc mn c mn
－ Bessel函数导数根 － Bessel函数根
E E
H H
f H
E E
H H
g E
p p
r
r
z
r
r
z
,
)
,
,
(
,
( )
,,,,,

1 2 0 1 2
mn?mn
三、工作模式图
Hz不允许 z不变 Ez允许 z不变三、工作模式图附录 APPENDIX
Q0值概念前面已经讨论过，从概念上说,这一方面圆柱腔有较大优点。我们比较立方体和 h=2r的圆柱体。
Q VS0 1
a
a
a
r
h = 2 r
令可达到比较体积
S a
S r a r S S
V a r r
V r r
1
2
2
2
1 2
1
3 3 2 3 3
2
3 3
6
6
5 568
2 6 28



p p
p
p
/,
/
V
S
V
S Q Q
2
2
1
1
02 01＞ ＞,
即知附 录
APPENDIX
一,今有一矩形腔截面传输 TE10模,尺寸为
。 见图内部填充空气求出腔内可能发生的谐振波长 l0 。
PROBLEM32
22 86 10 16 220 3., mm