第 35章 腔 微 扰
Perturbation of Cavity
在前面已经讨论了两部分：理想腔和耦合腔 。
现在将进一步讨论非理想腔 。 这里把非理想腔特指为腔内放物体,腔形状的改变等等 。
此类问题严格说来必须从 Maxwell方程组出发给出新模式 。 但是,对任意腔建立严格理论是十分困难的 。
微扰法是认为腔内模式 (Field)不变,而所变的只是谐振频率 —— 这是场论计算中常用的近似方法 。
一、腔内介质的微扰我们画出问题中未受微扰腔和微扰腔，如图 35-1所示，
并提出如下的微扰约定：
1,微扰改变 是一阶小量；V?
2,场改变量 是一阶小量；
0EE
3,是一阶小量；
0
4,改变不很大。和在处理中将略去二阶以上量 。
图 35-1 介质微扰腔
o? o
o r
V V
,o?,o?
,o r
o?
EHo,o EHo,o
S
S
V
(a)未受扰腔 (b)微扰腔一、腔内介质的微扰介质微扰可以表示成
(35-1)
(35-2)
写出相应的 Maxwell方程组
0
0
V
Vr
0
0
V
Vr
一、腔内介质的微扰
(35-3)
又有
E j H
H j E
0 0 0 0
0 0 0 0
E j H
H j E
(35-4)
E j H
H j E
0 0 0 0
0 0 0 0
* *
* *
一、腔内介质的微扰于是由矢量点积可得两组方程
(35-5)E H j E E
H E j H H
0 0 0 0
0 0 0 0
* *
* *
E H j E E
H E j H H
0 0 0 0
0 0 0 0
* *
* *
(35-6)
记住矢量公式
( ) ( ) ( )A B B A A B(35-7)
一、腔内介质的微扰可知
(35-8)
( )* * *
* *
E H H E E Hj H H j E E0 0 0
0 0 0 0
( )* * * * *
* *
E H H E E Hj H H j E E0 0 0 0 0
0 0 0 0
(35-9)
把上面结果合在一起考虑为
( ) ( ) ( ) ( )* * * *E H E H j H H j E E0 0 0 0 0 0 0 0
(35-10)
一、腔内介质的微扰再对两边作体积分
(35-11)
应用 Gauss定理
E H E H dv j H H E E dv
VV
0 0 0 0 0 0 0 0
* * * *
E H E H dv j E H E H d n dS
SV
0 0 0 0
* * * *?
(35-12)
一、腔内介质的微扰矢量循环公式
(35-13)
a b c b c a c a b( ) ( ) ( )
b
a
c
( ) (? )
( ) (? )
* *
* *
n E H H n E
n E H H n E
0 0
0 0
一、腔内介质的微扰
(35-15)
对于理想导体的 壁条件有S
*n E
n E
0
0
0
(35-14)
所以得到
0 0 0 0 0 0 0E E H H d V
V
* *
现在利用 在 内和 外不同的条件,V? V?
一、腔内介质的微扰
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
E E H H d V
E E H H d V E E H H d V
V V
V V
* *
* * * *
(35-16)
上式中已计及
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
( ) ( )
( ) ( )
(35-17)
一、腔内介质的微扰对于 (35-16)式左边 可移至右边V
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
E E H H d V
E E H H d V
E E H H d V
V
V
V
* *
* *
* *
(35-18)
如果令
W E E H H dv
W E E H H dv
V
V
1
4
1
4
0 0 0 0
0 0 0 0
( )
( ) ( )
* *
* *
(35-19)
一、腔内介质的微扰清楚得到
(35-20)
(35-21)
0
0
1
1
W
W W
W
只要 是一阶小量，即又有W?
0
0
W
W
满足?W是一阶小量的要求是 为一阶小量,不很大,或者说 为一阶小量 (这两者只要满足其中一个条件即可 )。
V,
,
一、腔内介质的微扰对于 积分的能量,总有,而在 内如果相应 表面 均处于切向,则也有 且得到
W V?
S?
VE E H H0 0,
E E与
0 00,HHEE
0
0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
E E H H dv
E E H H dv
V
V
* *
* *
( )
(35-22a)
如果在 内相应 表面 均处于法向，则E E与
0
V? S?
0 0 0r E E
一、腔内介质的微扰或 亦处于法向于是
(35-22b)
H H与
0
0 0 0r H H
0
0
0
0 0 0
0
0 0 0
0 0 0 0 0 0
1
1
1
1
E E H H dv
E E H H dv
V
V
* *
* *
一、腔内介质的微扰上面两种均属我们讨论的特殊情况，对于一般公式可写出
0
0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
C E E C H H dv
E E H H dv
e m
V
V
* *
* *
( )
(35-22c)
常见的 和 因子如图 35-2所示。
eC mC
一、腔内介质的微扰
E H0 0,? E H
0 0,
C Ce r m r1 1/,/ C Ce
r
m
r
21 21,
1 me CC C C
e
r
m
r
32 32,
图 35-2 介质样品的 和
eC mC
一、腔内介质的微扰其中
E C E
H C H
e
m
0
0
一、腔内介质的微扰在微波工程中,矩形 腔中间放介质样品柱
(其中,取奇数 )即构成介质样品腔,见图 35-3所示p
TE10
p
b
S?
图 35-3 介质样品腔二、介质样品腔这种方法已规定为国标,已经知道
(35-23)
对于实际应用的情况是：利用未放介质样品腔时的频率 和放介质样品对应 求出介质 。0 r?
利用未放介质样品时腔的品质因数 和放介质样品对应的 求出介质的 。
0Q
Q?tg
r j( t a n )1 0
二、介质样品腔若写出 则有' "j
'
"
0
0
r
r tg
(35-24)
实际上介质样品 很小，应用介质微扰结果S?
0
0
0 0 0
0 0 0 0 0 0
1r
V
V
E E dv
E E H H dv
*
* *
(35-25)
二、介质样品腔上面结果已认为介质是 电介质,也即,是常见的情况,考虑到谐振时有电能＝磁能
0
( )* * *0 0 0 0 0 0 0 02E E H H E E(35-26)
令
0
0 0
0
f
f f f f也即 于是| |,
2
1
0 0 0
0 0 0
f
f
E E dv
E E dv
r
V
V
( )
*
*
(35-27)
二、介质样品腔设
E E a x P l zms in s in
0 0 0 0
2 2
000
2 2
0 0
21
4
1
4
E E dv E
a
x
P
l
z d x d y d z a b lE E V
V
m
lba
m m
* s in
s in
(35-28)
0 0 0 0 2E E dv E V
V
m
*
(35-29)
二、介质样品腔注意在式 (35-29)中必须把样品放在电场最强处，
若在中间则必须,代式 (35-27)o d dP 奇数?
r V V ff1 4 2
0?
(35-30)
式 (35-30)是普通公式，具体问题有
r al V ff1 4 2
0?
(35-31)
二、介质样品腔式 (35-31)是利用谐振频率的变化求出介质样品的公式。
r?
对于一般有耗的复介质，可应用复频率,式
(35-25)变为
~?
2 0
0
0 0 0
0 0 0
~
~ *
*
E E dv
E E dv
V
V
(35-32)
令 代入有两部分~ ' " j
二、介质样品腔
2
1
2
0
0
0 0 0
0 0 0
0
0 0
0 0 0
~
"
"
*
*
*
*
r
V
V
V
V
E E dv
E E dv
E E dV
E E dV
(35-33)
计及
","0 02 Q r
介
tg
则有二、介质样品腔
1
1
4
40 2
0
2Q
tg E V
E V
V
V
r m
m
r
介
tg(35-34)
1 1 1
0Q Q Q
介
(35-35)
最后导出
tg14 1 1 1
0
V
V Q Qr?
(35-36)
式 (35-36)是利用品质因数的变化求出介质 。tg
二、介质样品腔这里我们来进一步讨论腔微扰，如图 35-4所示。
S
V
E H
00 E H
00
n
n
V
S
S'
V'
(a)未扰腔 (b)微扰腔图 35-4 腔壁微扰三、腔壁微扰三、腔壁微扰在问题中假定前后两种情况媒质均为 和,只是微扰后导体复盖,包围 。
SSS VVV
写出 Maxwell方程组
E j H E j HH j E H j H0 0 0
0 0 0
(35-37)
类似地得到
( )
( )
* * *
* * *
H E j E E j H H
H E j H H j E E
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
(35-38)
三、腔壁微扰也进行体积分，只是我们对 体积 作积分,考虑到在整个 上均有
V?
S?
n E 0 (35-39)
再应用 Gauss定理可知
H E n ds j E E H H dv
VS
0 0 0 0* * *
''
( ) ( )
(35-40)
但是我们可应用在整个 面上S
n E 0 0 (35-41)
三、腔壁微扰也即
H E n ds
S
0 0*? (35-42)
于是式 (35-40)又可改写成
H E n ds H E n ds H E n ds
SS SS
0 0 0
* * *
''
(35-43)
作为注记,为单位外法线方向。S?
三、腔壁微扰
0
0
0 0
j H E n ds
E E H H dv
S
V
*
* *
'
( )
(35-44)
微扰法
E E H H
0 0,
H E n ds H E n ds
j E H dV
SS
V
0 0 0
0 0
2
0
2
* *? ( )?
( | | | | )
(35-45)
三、腔壁微扰于是有
0
0
0
2
0
2
0
2
0
2
( | | | | )
( | | | | )
H E dV
H E dV
V
V
(35-46)
可以简单写为
0W W
W
m e (35-47)
三、腔壁微扰
(35-46)和 (35-47)两式即腔壁微扰公式,它的物理意义是：腔壁向内扰动是磁场 大的点 ( 占优势 )，
频率 升高；反之,如果是电场 大的点 ( 占优势 ),则频率 降低 。
H? mW
E eW
事实上,腔壁微扰和介质微扰可以是统一的,在腔壁微扰时 和 必定只有与 的法向,和必定只有与 的切向 。
E
0
E S?
S?
三、腔壁微扰
C Ce
r
m
1 1
,而只要令 和 即可用式 (35-22C)得到 (35-
46)式。
r? 0?r?
Perturbation of Cavity
在前面已经讨论了两部分：理想腔和耦合腔 。
现在将进一步讨论非理想腔 。 这里把非理想腔特指为腔内放物体,腔形状的改变等等 。
此类问题严格说来必须从 Maxwell方程组出发给出新模式 。 但是,对任意腔建立严格理论是十分困难的 。
微扰法是认为腔内模式 (Field)不变,而所变的只是谐振频率 —— 这是场论计算中常用的近似方法 。
一、腔内介质的微扰我们画出问题中未受微扰腔和微扰腔，如图 35-1所示，
并提出如下的微扰约定：
1,微扰改变 是一阶小量；V?
2,场改变量 是一阶小量；
0EE
3,是一阶小量；
0
4,改变不很大。和在处理中将略去二阶以上量 。
图 35-1 介质微扰腔
o? o
o r
V V
,o?,o?
,o r
o?
EHo,o EHo,o
S
S
V
(a)未受扰腔 (b)微扰腔一、腔内介质的微扰介质微扰可以表示成
(35-1)
(35-2)
写出相应的 Maxwell方程组
0
0
V
Vr
0
0
V
Vr
一、腔内介质的微扰
(35-3)
又有
E j H
H j E
0 0 0 0
0 0 0 0
E j H
H j E
(35-4)
E j H
H j E
0 0 0 0
0 0 0 0
* *
* *
一、腔内介质的微扰于是由矢量点积可得两组方程
(35-5)E H j E E
H E j H H
0 0 0 0
0 0 0 0
* *
* *
E H j E E
H E j H H
0 0 0 0
0 0 0 0
* *
* *
(35-6)
记住矢量公式
( ) ( ) ( )A B B A A B(35-7)
一、腔内介质的微扰可知
(35-8)
( )* * *
* *
E H H E E Hj H H j E E0 0 0
0 0 0 0
( )* * * * *
* *
E H H E E Hj H H j E E0 0 0 0 0
0 0 0 0
(35-9)
把上面结果合在一起考虑为
( ) ( ) ( ) ( )* * * *E H E H j H H j E E0 0 0 0 0 0 0 0
(35-10)
一、腔内介质的微扰再对两边作体积分
(35-11)
应用 Gauss定理
E H E H dv j H H E E dv
VV
0 0 0 0 0 0 0 0
* * * *
E H E H dv j E H E H d n dS
SV
0 0 0 0
* * * *?
(35-12)
一、腔内介质的微扰矢量循环公式
(35-13)
a b c b c a c a b( ) ( ) ( )
b
a
c
( ) (? )
( ) (? )
* *
* *
n E H H n E
n E H H n E
0 0
0 0
一、腔内介质的微扰
(35-15)
对于理想导体的 壁条件有S
*n E
n E
0
0
0
(35-14)
所以得到
0 0 0 0 0 0 0E E H H d V
V
* *
现在利用 在 内和 外不同的条件,V? V?
一、腔内介质的微扰
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
E E H H d V
E E H H d V E E H H d V
V V
V V
* *
* * * *
(35-16)
上式中已计及
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
( ) ( )
( ) ( )
(35-17)
一、腔内介质的微扰对于 (35-16)式左边 可移至右边V
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
E E H H d V
E E H H d V
E E H H d V
V
V
V
* *
* *
* *
(35-18)
如果令
W E E H H dv
W E E H H dv
V
V
1
4
1
4
0 0 0 0
0 0 0 0
( )
( ) ( )
* *
* *
(35-19)
一、腔内介质的微扰清楚得到
(35-20)
(35-21)
0
0
1
1
W
W W
W
只要 是一阶小量，即又有W?
0
0
W
W
满足?W是一阶小量的要求是 为一阶小量,不很大,或者说 为一阶小量 (这两者只要满足其中一个条件即可 )。
V,
,
一、腔内介质的微扰对于 积分的能量,总有,而在 内如果相应 表面 均处于切向,则也有 且得到
W V?
S?
VE E H H0 0,
E E与
0 00,HHEE
0
0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
E E H H dv
E E H H dv
V
V
* *
* *
( )
(35-22a)
如果在 内相应 表面 均处于法向，则E E与
0
V? S?
0 0 0r E E
一、腔内介质的微扰或 亦处于法向于是
(35-22b)
H H与
0
0 0 0r H H
0
0
0
0 0 0
0
0 0 0
0 0 0 0 0 0
1
1
1
1
E E H H dv
E E H H dv
V
V
* *
* *
一、腔内介质的微扰上面两种均属我们讨论的特殊情况，对于一般公式可写出
0
0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
C E E C H H dv
E E H H dv
e m
V
V
* *
* *
( )
(35-22c)
常见的 和 因子如图 35-2所示。
eC mC
一、腔内介质的微扰
E H0 0,? E H
0 0,
C Ce r m r1 1/,/ C Ce
r
m
r
21 21,
1 me CC C C
e
r
m
r
32 32,
图 35-2 介质样品的 和
eC mC
一、腔内介质的微扰其中
E C E
H C H
e
m
0
0
一、腔内介质的微扰在微波工程中,矩形 腔中间放介质样品柱
(其中,取奇数 )即构成介质样品腔,见图 35-3所示p
TE10
p
b
S?
图 35-3 介质样品腔二、介质样品腔这种方法已规定为国标,已经知道
(35-23)
对于实际应用的情况是：利用未放介质样品腔时的频率 和放介质样品对应 求出介质 。0 r?
利用未放介质样品时腔的品质因数 和放介质样品对应的 求出介质的 。
0Q
Q?tg
r j( t a n )1 0
二、介质样品腔若写出 则有' "j
'
"
0
0
r
r tg
(35-24)
实际上介质样品 很小，应用介质微扰结果S?
0
0
0 0 0
0 0 0 0 0 0
1r
V
V
E E dv
E E H H dv
*
* *
(35-25)
二、介质样品腔上面结果已认为介质是 电介质,也即,是常见的情况,考虑到谐振时有电能＝磁能
0
( )* * *0 0 0 0 0 0 0 02E E H H E E(35-26)
令
0
0 0
0
f
f f f f也即 于是| |,
2
1
0 0 0
0 0 0
f
f
E E dv
E E dv
r
V
V
( )
*
*
(35-27)
二、介质样品腔设
E E a x P l zms in s in
0 0 0 0
2 2
000
2 2
0 0
21
4
1
4
E E dv E
a
x
P
l
z d x d y d z a b lE E V
V
m
lba
m m
* s in
s in
(35-28)
0 0 0 0 2E E dv E V
V
m
*
(35-29)
二、介质样品腔注意在式 (35-29)中必须把样品放在电场最强处，
若在中间则必须,代式 (35-27)o d dP 奇数?
r V V ff1 4 2
0?
(35-30)
式 (35-30)是普通公式，具体问题有
r al V ff1 4 2
0?
(35-31)
二、介质样品腔式 (35-31)是利用谐振频率的变化求出介质样品的公式。
r?
对于一般有耗的复介质，可应用复频率,式
(35-25)变为
~?
2 0
0
0 0 0
0 0 0
~
~ *
*
E E dv
E E dv
V
V
(35-32)
令 代入有两部分~ ' " j
二、介质样品腔
2
1
2
0
0
0 0 0
0 0 0
0
0 0
0 0 0
~
"
"
*
*
*
*
r
V
V
V
V
E E dv
E E dv
E E dV
E E dV
(35-33)
计及
","0 02 Q r
介
tg
则有二、介质样品腔
1
1
4
40 2
0
2Q
tg E V
E V
V
V
r m
m
r
介
tg(35-34)
1 1 1
0Q Q Q
介
(35-35)
最后导出
tg14 1 1 1
0
V
V Q Qr?
(35-36)
式 (35-36)是利用品质因数的变化求出介质 。tg
二、介质样品腔这里我们来进一步讨论腔微扰，如图 35-4所示。
S
V
E H
00 E H
00
n
n
V
S
S'
V'
(a)未扰腔 (b)微扰腔图 35-4 腔壁微扰三、腔壁微扰三、腔壁微扰在问题中假定前后两种情况媒质均为 和,只是微扰后导体复盖,包围 。
SSS VVV
写出 Maxwell方程组
E j H E j HH j E H j H0 0 0
0 0 0
(35-37)
类似地得到
( )
( )
* * *
* * *
H E j E E j H H
H E j H H j E E
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
(35-38)
三、腔壁微扰也进行体积分，只是我们对 体积 作积分,考虑到在整个 上均有
V?
S?
n E 0 (35-39)
再应用 Gauss定理可知
H E n ds j E E H H dv
VS
0 0 0 0* * *
''
( ) ( )
(35-40)
但是我们可应用在整个 面上S
n E 0 0 (35-41)
三、腔壁微扰也即
H E n ds
S
0 0*? (35-42)
于是式 (35-40)又可改写成
H E n ds H E n ds H E n ds
SS SS
0 0 0
* * *
''
(35-43)
作为注记,为单位外法线方向。S?
三、腔壁微扰
0
0
0 0
j H E n ds
E E H H dv
S
V
*
* *
'
( )
(35-44)
微扰法
E E H H
0 0,
H E n ds H E n ds
j E H dV
SS
V
0 0 0
0 0
2
0
2
* *? ( )?
( | | | | )
(35-45)
三、腔壁微扰于是有
0
0
0
2
0
2
0
2
0
2
( | | | | )
( | | | | )
H E dV
H E dV
V
V
(35-46)
可以简单写为
0W W
W
m e (35-47)
三、腔壁微扰
(35-46)和 (35-47)两式即腔壁微扰公式,它的物理意义是：腔壁向内扰动是磁场 大的点 ( 占优势 )，
频率 升高；反之,如果是电场 大的点 ( 占优势 ),则频率 降低 。
H? mW
E eW
事实上,腔壁微扰和介质微扰可以是统一的,在腔壁微扰时 和 必定只有与 的法向,和必定只有与 的切向 。
E
0
E S?
S?
三、腔壁微扰
C Ce
r
m
1 1
,而只要令 和 即可用式 (35-22C)得到 (35-
46)式。
r? 0?r?
