介质波导
Dielectric Waveguide
第 29章从这次课开始,将介绍几种毫米波传输线 。
频率的升高对于微带的主要问题是：高次模的出现,
色散的影响和衰减的加大 。
毫米波,亚毫米波传输线基本要求
·频带宽
·低损耗 (传输损耗和辐射损耗 )
·便于集成
·制造简便主要是悬置带线，鳍线，介质波导，这里将重点讨论 —— 圆柱介质波导。 z
y
x
o
ε,μ
10
ε,μ
20
a
r
φ
图 29-1 圆柱介质波导介 质 波 导 从 理 论 方 面 着 手 将 首 推 Hondros 和
Debye(1910)1966年作为光纤使用,1970年低耗光纤获得发展 。
一、圆柱介质波导的场方程圆柱介质波导属于开波导系统 (Open Waveguide
System),因而求解区域自然是全空间 (full space)
半径为 a,介质的介电常数为?1,?0,周围空间是?1，
0,所给出的 Z轴与圆柱轴重合,见图 29-1所示 。
我们采用
i?
1
2 代表介质波导外场
(29-1)






2 2 0EH k EHzi
zi
i
zi
zi
(29-2)
按照一般习惯，也可写成
2 2 02 0EH n k EHzi
zi
i
zi
zi
(29-3)
一、圆柱介质波导的场方程其中
n
k k n
k
i i
i i i
2
2
0
2 2 2
0
0
2 2
0 0



(29-4)
ni也称为折射率，考虑到波导系统
(我们只考虑入射波 )。有
/ z j
2 2 2 2 2l lZ
(29-5)
一、圆柱介质波导的场方程于是进一步写出
l zi
zi
i
zi
zi
E
H k n
E
H
2
0
2 2 2 0?(29-6)
应用分离变量法求解,在圆柱坐标系中具体为

2
2 2
2
2
2
0
2 21 1
0
r
E
H r r
E
H r
E
H
n k
E
H
zi
zi
zi
zi
zi
zi
i
zi
zi




( )
(29-7)
一、圆柱介质波导的场方程省略 e-j?z因子，令
E
H
A
B R r
zi
zi
i
i





( ) ( )
上述假定常称之为分离变量法,于是又导出两个常微分方程

d
d
m
r
d R r
dr
r
dR r
dr
n k r m R ri
2
2
2
2
2
2
2
0
2 2 2 2
0
0
( )
( )
( ) ( )
( )


(29-8)
(29-9)
一、圆柱介质波导的场方程因为介质波导的开波导特点,对于介质波导内部,有
2 12 02＜ n k
必定是驻波型解,只能是第一类 Bessel函数 。 而在介质波导外部,有
2 22 02＞ n k
它又必须是衰减场，只能取第二类修正 Bessel函数。
(29-10)
(29-11)
一、圆柱介质波导的场方程也就是根据 r=0和 r=∞的边界条件,我们自然省去了 Nm(r)(Neumann)函数和 Im(r)函数
Bessel函数 修正 Bessel函数图 29-2 Bessel函数和修正 Bessel函数一、圆柱介质波导的场方程
( ) c o ss in


C mm Ce jm(29-12)
R r D J k r r a
R r D K k r r a
m c
m c
1 1 1
2 2 2
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
＜
＞
(29-13)
其中
k k n
k k n
c r
c r
1
2
0
2
0 1
2 2 2
0 0 1 0
2
1
2 2
2
2 2 2
0 2
2 2
0 0 2
2
0
2
2
2






(29-14)
一、圆柱介质波导的场方程根据边界 r=a的条件 (注意开波导系统是连续条件 )
R a D J k a D J u
R a D K k a D K w
m c m
m c m
1 1 1 1
2 2 2 2
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )


(29-15)
于是可以得到
D
R a
J u
D
R a
K w
m
m
1
1
2
2
( )
( )
( )
( )
(29-16)
一、圆柱介质波导的场方程其中
u k a k n ac1 02 12 2 1 2? /
w k a k n ac2 2 02 22 1 2? /
R r
R a
J u
J uR R
r
a
R r
R a
K w
K wR R
r
a
m
m
m
m
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )


1
2
1
1
＜
＞
(29-17)
(29-18)
一、圆柱介质波导的场方程这样 (29-13)式变为
E z
A
J u
J uR e e R
A
K w
K wR e e R
m
m
m
jm j z
m
m
m
jm j z
( )
( )
( )
( )
( )
1
2
1
1


＜
＜
H z
B
J u
J uR e e R
B
K w
K wR e e R
m
m
m
jm j z
m
m
m
jm j z
( )
( )
( )
( )
( )
1
2
1
1


＜
＞
(29-19)
(29-20)
一、圆柱介质波导的场方程回忆起横向分量采用纵向分量表示的不变量矩阵
E
E
H
H
k
j
j
j
j
E
r
r
E
H
r
r
H
r
r c
z
z
z
z










1
0 0
0 0
0 0
0 0
1
1
2
(29-21)
一、圆柱介质波导的场方程
E
j
k
E
r
j
m
r
H
E
j
k
jm
r
E
H
r
H
j
k
H
r
j
m
r
E
H
j
k
jm
r
H
E
r
r
ci
z
z
ci
z
z
r
ci
z
i z
ci
z i
z




2 0
2 0
2
2




(29-22)
一、圆柱介质波导的场方程边界条件是 r=a时 E E
H H
E E
H H
z z
z z
e
e
1 2
1 2
1
1


很容易导出
( )( )1 2 1 2 1 22 2 2 2 2 21 1k k m u w
(29-23)
(29-24)
一、圆柱介质波导的场方程
1 2
1
2
0
2
1
2
2
2
0
2
2
2


J u
uJ u
K w
wJ w
k k n k k n
m
m
m
m
' ( )
( )
,
' ( )
( )
,
其中方程 (29-25)称为求模数的色散方程或特征方程，
由此导出传播因子?。
一、圆柱介质波导的场方程已知知道
2 12
2
2
2
2
k ua k wa
因此有
2 2
1
2 2
2
2
2 2
2
2 2
2
2
w k w
u
a
w
u k u
w
a
u


(29-25)
(29-26)
二、介质波导模式
( ) ( )w u k w k u k w u2 2 1 2 2 22 2 02 1 2 2 2
2
2 2
2 2 0
2 1
2
2
2
2 2
w u
w u k
w u
w u

2 2 2 02 12 221 1u w k u w
( )( )1 2 1 1 2 2 2 2 2 12 2 21 1m u w u w
也即于是，特征方程 (29-24)又可改写成
(29-27)
(29-28)
(29-29)
二、介质波导模式我们引入归一化频率
v u w k a n n( ) ( )/ /2 2 1 2 0 12 22 1 2
case 1 m=0的情况，由特征方程 (20-29)知道


模或者模
on
on
TEwu
TEwu
)()(
)()(
2
1
2
1
21

(29-30)
(29-31)
(29-32)
二、介质波导模式其中,n表示场沿半径方向分布的最大值个数 。
它可以分成两套独立分量：
H E H TE
E E H TM
z r n
z r n
,
和 —— 模
—— 模
0
0,,

case 2 m≠0情况
1 1 2 2 22 1 2 1 2 2 2 2 12 2 21 1( ) m u w u w
二、介质波导模式
1 2 2
2
1
2 2
2 2
2
1
2 1 2
2
2 2 2
2
2
1
2 21
1 1 1 1






n
n
n
n m u w u
n
n w
1 2 2
2
1
2 1 2
2
2
1
2 2
2 2
2 2 2
2
2
1
2 21
1 1 1 1 0






nn nn m u w u nn w


1
2
2
1
2
2
2
2
1
2 2
2 2
2
1
2 2
2 2
2 2 2
2
2
1
2 2
1
2
2
1
2 2
2
2
1
2
1
2
1
2
1 4
1 1 1 1
1
2
1
1
2
1






n
n n
n
n
n
m
u w u
n
n w
n
n
n
n


2
2 2
2 2 2
2
2
1
2 2
4
1 1 1 1
m
u w u
n
n w
也可写出式 (29-33)是以?1为未知数的二次方程，解出归结起来
(29-33)
(29-34)
二、介质波导模式如果 n1≈n2时
1 2 2 21 1m u w
介质波导的最大特点是 —— Ez和 Hz会同时存在,从概念上只有这样才会满足阻抗条件,这时,式 (29-35)
取 号—— 模取 号—— 模
EH
HE
mn
mn
P
B
A
m
u wm
m






0
2 2
1 2
1 1
［定义］
(29-35)
(29-36)
二、介质波导模式则介质波导内的纵向场分量可表示为
E J uR F
H PJ uR F
z m c
z m s

( )
( )
0
F
A
J u
m e
F
A
J u
m e
c
m
m
j z
s
m
m
j z
1
1
( )
c os
( )
sin
其中
(29-37)
(29-38)
二、介质波导模式
E j
k
J k r P
mJ k r
k r
F
E j
k
PJ k r
mJ k r
k r
F
H j
k
k
P
k
r
c
m c
m c
c
c
c
m c
m c
c
s
r
c






1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
0 1
2
1
2
' ( )
( )
' ( )
( )



J k r
mJ k r
k r
F
H j
k
k
J k r P
k
mJ k r
k r
F
m c
m c
c
s
c
m c
m c
c
c
' ( )
( )
' ( )
( )
1
1
1
1
2
0 1
1
2
1
2
1
1

对应的横向分量
(29-39)
二、介质波导模式观察 (29-36)定义式和 (29-35)的近似关系，得到
P EH
P HE
mn
mn


1
1
模模
(29-40)
二、介质波导模式从上面分析已经知道,介质波导存在
TE0n,TM0n,EHmn,HEmn模式
K K n
K K n
K
c
c
1
2
0
2
1
2 2
2
2 2
0
2
2
2
0
2 2
0 0



要满足上述方程
K2≤?≤ K1
(29-41)
(29-42)
三、截止条件金属波导中截止条件 k
c 1 2 2 20,即
介质波导中截止条件
kc2=0
金属波导截止时,波沿 Z方向无传播只是振幅衰减,同时因为是封闭的,外部无电磁场 。 介质波导截止时 kc2＜ 0,波沿 r方向有辐射,且沿 z方向仍有传播 —— 称为辐射模 。
所以 kc2≥ ０ 是波导外无辐射场的条件 。
(29-43)
(29-44)
三、截止条件
case 1 m=0时
1 1
2 2


J u
uJ u
u k a
K w
wK w
w k a
m
m
c
m
m
c
' ( )
( )
' ( )
( )
TEon模?1(u)=－?2(w)可写成
uJ u
J u
K w
K w
m
m
m
m
( )
' ( )
( )
' ( )
0
(29-45)
(29-46)
三、截止条件原因是 kc2≡0,w=0,TM0n模
uJ u
J u
wK w
K w
m
m
m
m
( )
' ( )
( )
' ( )
2
1
0
∴ TE0n,TM0n模截止条件都可写为
J0(u0n)=0
case 2 m≠0且 m=1,特征方程变为
( )( )1 2 1 1 2 2 2 2 12 221 1u w u w
(29-47)
(29-48)
(29-49)
三、截止条件十分明显，有?
1 2
2 2
1
1

u
w
计及?1和?2定义式
J u u J u' ( ) ( )1 11?
可知 HE1n模条件是
J1(u1n)=0
(29-50)
(29-51)
(29-52)
根据 Bessel函数递推公式，又有
J u J u u J u' ( ) ( ) ( )1 0 11
(29-53)
三、截止条件当 n=1即 HE11模
u11=0
HE11模无截止波长
( )? c HE 11
HE11模是圆柱介质波长的基模，若?2=?0则在截止条件 1：
( )K 0 0 0
传播速度是光速。
(29-54)
(29-55)
(29-56)
三、截止条件

k
ar
mn
0 1
2
2可得到相速
v
C
a
p
r
mn


1
2
2
其中,?mn是 Jm(kc1a)的根值。介质波导中波速在之间。金属波导和介质波导之比较
(29-57)
(29-58)
四、相速金属圆柱波导 介质圆柱波导
2 2 0EH k EHi
i i
i
i
封闭内区域求解 全空间分区域求解四、相速边界条件旋转周期条件点有限条件场连续条件
0
0
0
1
1
r a
E
E
z
边界条件旋转周期条件点有限条件点有限条件正常传输条件
≥
≥
场连续条件






0
0
0
1
2
1
2 2
2
2 2
2
2
1 2 1 2
1 2 1 2
k k
k k
r a
E E H H
E E H H
c
c
z z z z

,
,
TE
TM
TE 11
模式是主模
TE,TM
EH HE
01 0n
mn mn,
混合模式是主模HE11
四、相速
v
c
p
r
c

1
2
v
c
a
c
v c
p
r
mn
r
p


1
2
1
2
＜ ＜

g
c
1
2 v
a
p
r
mn


1
2
2
截止条件

c
cf f
截止条件
k
k n
c2
0 2
0
0

四、相速