第 33章 传输线腔理论
Transmission Line Cavity Theory
Z /Zm0Z /Zm0
g l
图 33-1 传输线腔矩形腔和圆柱腔都属于一类传输线腔。我们可以把它作为一类模型总结出来。
其中,Zm／ Z0=Rm／ Z0+jXm／ Z0表示两端的端壁损耗 。
=?+j?是有耗传输线的复传播常数不同的腔仅仅是截面和波型不同,我们采用复频率法和推广 Cullen网络法进行分析 。
一、工作模式图二、复频率法已经知道,复频率且在无损耗情况下考虑了端壁 似 全反射和有耗传输线,则一般的电场可写为
~
0 1
1
2j Q
k k02 02 0 0 02 2
E E x y A e B e
t z z(,)( )
(33-1)
(33-2)
(33-3)
在上式中无耗?=－ 1且 A?=1,B?=－ 1。 容易知道
A=－ 1,B=1。 进一步写出
E E x y e e
t a z(,)( )
假定 Rm／ Z0,Xm／ Z0和?均为一阶小量，在推导中我们忽略二阶以上量。于是有
11 1 20
0 0
2
0Z Z
Z Z
Z
Z e
m
m
m
Z
Z
m/
/
二、复频率法
(33-4)
(33-5)
计及 z=l,则有耗情况下
E x y z E x y e et
Z
Z l
t Z
Z l
tm m
(,,) (,)
2 2
0 0
换句话说，考虑端壁损耗后
2
0
Z
Z l
m有耗传输线腔
~ ~k k Z
Z lc
m
2
2
0
2
2
0 02
其中,即复频率，式 (33-8)表明：损耗对横向场 kc不产生影响。
二、复频率法
(33-6)
(33-7)
(33-8)
~?
~
k k
R
Z l
j
X
Z l
k
X
Z l
R
Z l
j
R
Z l
X
Z l
c
m m
c
m m m m
2
0 0
2
2
0 0
2
0 0
2 2
2 2
2
2 2
在一阶近似条件下
~k k X
Z l j
R
Z l
m m2
0
2
0 0
4 2 2
二、复频率法计及?和 Zm／ Z0可知
~k k
k
X
Z l j k
R
Z l
m m
0 0 0 0 0
2 2
另一方面,于是可知道~ ~ /k c
'
"
0
0
0
0
0
2
2
X
Z l
c
l
R
Z
c
l
m
g
g
m
二、复频率法
(33-9)
(33-10)
最后得到
'
0
0
0
0
0
2
2
2
X
Z
c
l
Q
l
l
R
Z
m
g
m
g
g
公式 (33-11)是根据复频率法计算出的谐振频率
′和品质因数 Q,它适用于一切传输线谐振腔 。
二、复频率法
(33-11)
再根据 最后得到"0
02 Q
c
Q
三、推广 Cullen网络法如果谐振电路可以画成图 33-2形式
Z i n
E
L
C
r
Z m
图 33-2 谐振电路
z r j L j
c
Z Z Z R jX
in
lotal in m
1
那么谐振条件又写成 X≡0结合 Cullen模型
Z mZ m
g l
Z 0
图 33-3 cullen模型三、推广 Cullen网络法
Z Z Z Z lZ Z lin m
m
0
0
0
th
th
其中?=?+j?也即
th th th thth tg tgl l j l l j lj l l l j l( ) 1
注意到 Zm=Rm+jXm也是一阶小量
Z Z R Z l j X Z lZ X l jR lin m m
m m
0 0
0
( ) ( )
( )
0 tg
tg tg
三、推广 Cullen网络法
(33-12)
再计及谐振时,tg?l也是小量
Z
Z
R
Z l j l
X
Z
in m m
0 0 0
tg
那么，总系统阻抗
Z
Z
Z Z
Z l
R
Z j l
X
Z
t o t a l in m m m
0 0 0 0
2 2
tg
谐振条件
tg? l XZ m 2
0
三、推广 Cullen网络法
(33-13)
(33-14)
或者写成
l p XZ m
ta n 1
0
2
式 (33-15)与复频率法导出的 (33-11)等价 (见
AppendixⅠ )。
三、推广 Cullen网络法
(33-15)
四,Q值的一般公式如果输入阻抗 Zin和输入导纳 Yin可表示为
Z R jX
Y G jB
in
in
Z = R + j Xi n
C a v i t y
图 33-4 腔的输入阻抗
(33-16)
则 Q值有下述公式
Q
R
X
Q
G
B
0
0
2
21,低频情况
Z R j L
C
R jX
X
L
C
L
LC
in
0
0
0
2 0
2
1
1
2
1
0
N ote
四,Q值的一般公式
(33-17)
于是
0 0
2 R
X L
R?
其物理意义见图 33-5所示
w
w
w
w
0
L
1 / ( C)
Z L
L
X
w
w
0
X
t g Lb
图 33-5 低频电路电抗斜率 图 33-6 微波传输线电抗斜率四,Q值的一般公式也就是说，引入电抗斜率扩展了集总参数概念，
以至 可使用到分布参数。
2,Foster定理
T
I
V C a v i t y
图 33-7 Foster定理四,Q值的一般公式
Foster定理又称电抗定理 —— 它专门适用无耗网络,对于高 Q谐振腔的问题亦可以用它来处理,出发点还是 Maxwell方程组
E j H
H j E
E j H
H j E H
E
j
H
j H
H
j
E
j E
* *
* *
* *
*
* *
*
四,Q值的一般公式考虑到下列矢量恒等式
E
H E
H E
H
E
H E
H
E
H
* * *
* * *
四,Q值的一般公式分项列出如下：
E
H
j H
H
E
H
j E
E
j E E
E
H j H
H
j H H
E
H j E
E
* *
* *
*
* *
*
* *
四,Q值的一般公式于是得到
E H E H j E E H H
* *
* *( )
对整个腔终端作体积分
E H E H ds j W W
s m e
* *
( )4
这里负号的出现原因是积分的面积指向体积内。
四,Q值的一般公式
T
d S
因为其它都是导体面，只有端口 T－ T例外
E H E H n ds V I V I
r
* * * *
式中 V和 I为端面的等效电压和等效电流,对于高 Q谐振腔作无耗近似 V=j× I
四,Q值的一般公式
V j I jI X* * *
于是有
V
I V
I j I
I
j I
I
jI I
X
X W W
II
R
X W W
II R
Q
P
Q
m e
m e
L
* * * *
*
*
*
( )
( )
4
2 1
2
0 0 0
对偶地于是又有
I jB V B W WVVm e,( )* 4
Q G B02
四,Q值的一般公式五、传输线腔的 Q值公式设 Ztotal=R+jX=Zin+Zm； 采用归一化的系统
Z mZ m
L
L
Z i n
图 33-8 计算模型
R
R
Z
l
X
X
Z
l
m
m
2
2
0
0
tg
X X
l
l
g
g
( )
( )
五、传输线腔的 Q值公式
(33-18)
于是得到传输谐振腔的 Q值公式
Q
l
l
R
Z
m
g
g?
2
0
2
上式与式 (33-11)完全等价，可见复频率法和推广 Cullen网络法是完全一致的。
五、传输线腔的 Q值公式
(33-19)
X
l( )
sec ( )2?l
( )l l
g
g g g
2 2
2
五、传输线腔的 Q值公式
g
g
c
g c
g
g
g g
d d
1
1 1 1
2 2
2 2 2 2
3 3
3
3
c
f
c
d
c
d
d
d
c
2
2
2
2
2
0
X l
l g
0
2
2
2se c
五、传输线腔的 Q值公式附 录
APPENDIX Ⅰ
p
l l
X
Z
Z
c
l
m
1 21
0
0
0
ta n
'与 之等价性
2X
m 0
g
考虑到,于是写出
2 2
0g g
p
l,
2 2 1 2
2 2 2 2 1 2
2 2 2
0
0
0
0
2
2 2
0
2
2 2
0
2
g g
m
g c y
m
y c
l
X
Z
l
X
Z
2 2 2 2 1 22
0
2
00
g
m
l
X
Z
所以附 录
APPENDIX Ⅰ
也就是
2 2
1 2
1 2
2 1 2
1 2
0
0
2
0
0
0
0
0 0
0
0
0
0
g
m
y
m
y
m
l
X
Z
l
X
Z
c c l
X
Z
最后得到
0 0
00
2
y
mc
l
X
Z
附 录
APPENDIX Ⅰ
附 录
APPENDIX Ⅱ
2
0
X
Z
m?
关于 中，严格说来Q R X02
X l XZ mtg? 2
0
因此，必须还要考虑
2 2 1 1
0 0 0
0X
Z
X
Z X
X
Z
Zm m
m
m?
计及
X
Z A
X
Z
X
Z X
X
X
X
m
g
m m
m
m
g
g
m
m
g
g g
2
2 2 1 1 1
1 1
2
1 1
1 1
0
0 0
0
2
0
0
( T E )波型附 录
APPENDIX Ⅱ
于是得
2 2 1 3
2
0
0 0 0
2X
Z
X
Z
m m g?
可以忽略，值得指出：即使 TM波型也可类似得到
2 2 1 1
2
0
0 0 0
2
X
Z
X
Z
m m g?
结论完全相同。
附 录
APPENDIX Ⅱ
PROBLEMS 33
一,有一半径 R=5 cm,长度?=10 cm的园柱谐振腔,
其最低振荡模式的谐振频率是多少？ 若?=15 cm,最低振荡模式的谐振频率又是多少？
二、设圆柱腔 TM010模式的谐振波长为 10 cm,试求此园柱的半径 R； 并推导其 Q0值表达式。
Transmission Line Cavity Theory
Z /Zm0Z /Zm0
g l
图 33-1 传输线腔矩形腔和圆柱腔都属于一类传输线腔。我们可以把它作为一类模型总结出来。
其中,Zm／ Z0=Rm／ Z0+jXm／ Z0表示两端的端壁损耗 。
=?+j?是有耗传输线的复传播常数不同的腔仅仅是截面和波型不同,我们采用复频率法和推广 Cullen网络法进行分析 。
一、工作模式图二、复频率法已经知道,复频率且在无损耗情况下考虑了端壁 似 全反射和有耗传输线,则一般的电场可写为
~
0 1
1
2j Q
k k02 02 0 0 02 2
E E x y A e B e
t z z(,)( )
(33-1)
(33-2)
(33-3)
在上式中无耗?=－ 1且 A?=1,B?=－ 1。 容易知道
A=－ 1,B=1。 进一步写出
E E x y e e
t a z(,)( )
假定 Rm／ Z0,Xm／ Z0和?均为一阶小量，在推导中我们忽略二阶以上量。于是有
11 1 20
0 0
2
0Z Z
Z Z
Z
Z e
m
m
m
Z
Z
m/
/
二、复频率法
(33-4)
(33-5)
计及 z=l,则有耗情况下
E x y z E x y e et
Z
Z l
t Z
Z l
tm m
(,,) (,)
2 2
0 0
换句话说，考虑端壁损耗后
2
0
Z
Z l
m有耗传输线腔
~ ~k k Z
Z lc
m
2
2
0
2
2
0 02
其中,即复频率，式 (33-8)表明：损耗对横向场 kc不产生影响。
二、复频率法
(33-6)
(33-7)
(33-8)
~?
~
k k
R
Z l
j
X
Z l
k
X
Z l
R
Z l
j
R
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c
m m
c
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2
0 0
2
2
0 0
2
0 0
2 2
2 2
2
2 2
在一阶近似条件下
~k k X
Z l j
R
Z l
m m2
0
2
0 0
4 2 2
二、复频率法计及?和 Zm／ Z0可知
~k k
k
X
Z l j k
R
Z l
m m
0 0 0 0 0
2 2
另一方面,于是可知道~ ~ /k c
'
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0
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0
0
0
2
2
X
Z l
c
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R
Z
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m
g
g
m
二、复频率法
(33-9)
(33-10)
最后得到
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0
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0
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2
2
2
X
Z
c
l
Q
l
l
R
Z
m
g
m
g
g
公式 (33-11)是根据复频率法计算出的谐振频率
′和品质因数 Q,它适用于一切传输线谐振腔 。
二、复频率法
(33-11)
再根据 最后得到"0
02 Q
c
Q
三、推广 Cullen网络法如果谐振电路可以画成图 33-2形式
Z i n
E
L
C
r
Z m
图 33-2 谐振电路
z r j L j
c
Z Z Z R jX
in
lotal in m
1
那么谐振条件又写成 X≡0结合 Cullen模型
Z mZ m
g l
Z 0
图 33-3 cullen模型三、推广 Cullen网络法
Z Z Z Z lZ Z lin m
m
0
0
0
th
th
其中?=?+j?也即
th th th thth tg tgl l j l l j lj l l l j l( ) 1
注意到 Zm=Rm+jXm也是一阶小量
Z Z R Z l j X Z lZ X l jR lin m m
m m
0 0
0
( ) ( )
( )
0 tg
tg tg
三、推广 Cullen网络法
(33-12)
再计及谐振时,tg?l也是小量
Z
Z
R
Z l j l
X
Z
in m m
0 0 0
tg
那么，总系统阻抗
Z
Z
Z Z
Z l
R
Z j l
X
Z
t o t a l in m m m
0 0 0 0
2 2
tg
谐振条件
tg? l XZ m 2
0
三、推广 Cullen网络法
(33-13)
(33-14)
或者写成
l p XZ m
ta n 1
0
2
式 (33-15)与复频率法导出的 (33-11)等价 (见
AppendixⅠ )。
三、推广 Cullen网络法
(33-15)
四,Q值的一般公式如果输入阻抗 Zin和输入导纳 Yin可表示为
Z R jX
Y G jB
in
in
Z = R + j Xi n
C a v i t y
图 33-4 腔的输入阻抗
(33-16)
则 Q值有下述公式
Q
R
X
Q
G
B
0
0
2
21,低频情况
Z R j L
C
R jX
X
L
C
L
LC
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0
0
0
2 0
2
1
1
2
1
0
N ote
四,Q值的一般公式
(33-17)
于是
0 0
2 R
X L
R?
其物理意义见图 33-5所示
w
w
w
w
0
L
1 / ( C)
Z L
L
X
w
w
0
X
t g Lb
图 33-5 低频电路电抗斜率 图 33-6 微波传输线电抗斜率四,Q值的一般公式也就是说，引入电抗斜率扩展了集总参数概念，
以至 可使用到分布参数。
2,Foster定理
T
I
V C a v i t y
图 33-7 Foster定理四,Q值的一般公式
Foster定理又称电抗定理 —— 它专门适用无耗网络,对于高 Q谐振腔的问题亦可以用它来处理,出发点还是 Maxwell方程组
E j H
H j E
E j H
H j E H
E
j
H
j H
H
j
E
j E
* *
* *
* *
*
* *
*
四,Q值的一般公式考虑到下列矢量恒等式
E
H E
H E
H
E
H E
H
E
H
* * *
* * *
四,Q值的一般公式分项列出如下：
E
H
j H
H
E
H
j E
E
j E E
E
H j H
H
j H H
E
H j E
E
* *
* *
*
* *
*
* *
四,Q值的一般公式于是得到
E H E H j E E H H
* *
* *( )
对整个腔终端作体积分
E H E H ds j W W
s m e
* *
( )4
这里负号的出现原因是积分的面积指向体积内。
四,Q值的一般公式
T
d S
因为其它都是导体面，只有端口 T－ T例外
E H E H n ds V I V I
r
* * * *
式中 V和 I为端面的等效电压和等效电流,对于高 Q谐振腔作无耗近似 V=j× I
四,Q值的一般公式
V j I jI X* * *
于是有
V
I V
I j I
I
j I
I
jI I
X
X W W
II
R
X W W
II R
Q
P
Q
m e
m e
L
* * * *
*
*
*
( )
( )
4
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2
0 0 0
对偶地于是又有
I jB V B W WVVm e,( )* 4
Q G B02
四,Q值的一般公式五、传输线腔的 Q值公式设 Ztotal=R+jX=Zin+Zm； 采用归一化的系统
Z mZ m
L
L
Z i n
图 33-8 计算模型
R
R
Z
l
X
X
Z
l
m
m
2
2
0
0
tg
X X
l
l
g
g
( )
( )
五、传输线腔的 Q值公式
(33-18)
于是得到传输谐振腔的 Q值公式
Q
l
l
R
Z
m
g
g?
2
0
2
上式与式 (33-11)完全等价，可见复频率法和推广 Cullen网络法是完全一致的。
五、传输线腔的 Q值公式
(33-19)
X
l( )
sec ( )2?l
( )l l
g
g g g
2 2
2
五、传输线腔的 Q值公式
g
g
c
g c
g
g
g g
d d
1
1 1 1
2 2
2 2 2 2
3 3
3
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2
2
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2
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2
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五、传输线腔的 Q值公式附 录
APPENDIX Ⅰ
p
l l
X
Z
Z
c
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m
1 21
0
0
0
ta n
'与 之等价性
2X
m 0
g
考虑到,于是写出
2 2
0g g
p
l,
2 2 1 2
2 2 2 2 1 2
2 2 2
0
0
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m
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X
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2 2 2 2 1 22
0
2
00
g
m
l
X
Z
所以附 录
APPENDIX Ⅰ
也就是
2 2
1 2
1 2
2 1 2
1 2
0
0
2
0
0
0
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0
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0
0
g
m
y
m
y
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l
X
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X
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c c l
X
Z
最后得到
0 0
00
2
y
mc
l
X
Z
附 录
APPENDIX Ⅰ
附 录
APPENDIX Ⅱ
2
0
X
Z
m?
关于 中，严格说来Q R X02
X l XZ mtg? 2
0
因此，必须还要考虑
2 2 1 1
0 0 0
0X
Z
X
Z X
X
Z
Zm m
m
m?
计及
X
Z A
X
Z
X
Z X
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g
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m
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2
2 2 1 1 1
1 1
2
1 1
1 1
0
0 0
0
2
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( T E )波型附 录
APPENDIX Ⅱ
于是得
2 2 1 3
2
0
0 0 0
2X
Z
X
Z
m m g?
可以忽略，值得指出：即使 TM波型也可类似得到
2 2 1 1
2
0
0 0 0
2
X
Z
X
Z
m m g?
结论完全相同。
附 录
APPENDIX Ⅱ
PROBLEMS 33
一,有一半径 R=5 cm,长度?=10 cm的园柱谐振腔,
其最低振荡模式的谐振频率是多少？ 若?=15 cm,最低振荡模式的谐振频率又是多少？
二、设圆柱腔 TM010模式的谐振波长为 10 cm,试求此园柱的半径 R； 并推导其 Q0值表达式。
