第 30章 光 纤
Optical Fiber
光纤 (Optical Fiber)即光导纤维,我们讨论通信所用的阶跃光纤 。
它的简化模型是中心纤芯半径为 a,折射率为 n1；
层半径为 b,折射率为 n2； 外部空气折射率为 n0,并满足
n n
n
1 2
1
1? ＜＜
实际上是波导多模光纤,到 r＞ b认为已衰减完 。 我们注意到近年来已开始研究单模光纤,在这种情况下,
我们只要分两层考虑 。
(30-1)
一、阶跃光纤模型利用上面假定，将追求近截止区和远离截止区的本征值简单近似解。
n 2
a
n n
0
1
z
n 1
n
n
y
2
n 0
0 a
图 30-1 阶跃光纤二、近似特征方程根据两层的特点，完全可用上讲,介质波导,
的有关结果。
［定义］归一化频率
v u k a k a k n a k n a
k a n
n
n
k a n
n n
n
c c
2 2 2
1
2 2
2
2 2
0
2
1
2 2 2
0
2
2
2
0
2 2
1
2 2
2
1
2 0
2 2
1
2 1
2
2
2
1
2
1
( ) ( )
如果计及 n1～ n2为简化条件
n nn n nn1
2
2
2
1
2
1 2
12
(30-2)
则
v k a n2 02 2 122
上面推导中已考虑
u k n a k a
w k n a k a
c
c
2
0
2
1
2 2 2
1
2 2
2 2
0
2
2
2 2
2
2 2
( )
( )
u和 w是光纤的基本参量,v决定传输的模数，它与光波频率成正比，（ ）v k w
0 0 0
二、近似特征方程
(30-3)
(30-4)
在 29讲中已给出特征方程
( )( )1 2 1 2 1 22 2 2 2 2 2
21 1
k k m u w
其中
1 2J uuJ u K wwK wm
m
m
m
' ( )
( )
' ( )
( )
且进一步导出了
( )( )1 2 1 1 2 2 2 2 2 12 2 21 1m u w u w
二、近似特征方程
(30-5)
(30-6)
引 入 弱 光 导 纤 维 条 件 ( n1－ n2)/n1＜＜ 1,即
n1≈n2(?1=?2),特征方程 (30-6)简化为
( )1 2 2 2 2 2
21 1
m u w
具体给出?1的解
1 2 2 21 1m u v
或者写成
1 1 1 1
2 2u
J u
J u w
K u
K w m u w
m
m
m
m
' ( )
( )
' ( )
( )
二、近似特征方程
(30-7)
(30-8)
(30-9)
1 1 2 0
2 2
2 2
2 2
0
2 2
1
2
2 2u w
u w
u w
k a n
u w
最后得到简化特征方程
1 1
u
J u
J u w
K w
K w
m
m
m
m
' ( )
( )
' ( )
( )
由 Bessel函数递推公式J u J u J u
m
u
J u J u J u
J u J u
m
u
J u
m m m
m m m
m m m
' ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
' ( ) ( ) ( )
1
2
2
1 1
1 1
1
二、近似特征方程
(30-10)
(30-11)
于是
1 1 1
2u
J u
J u u
J u
J u
m
u
m
m
m
m
' ( )
( )
( )
( )
修正 Bessel函数也有递推关系 K w K w K w
m
w
K w K w K w
K w K w
m
w
K w
m m m
m m m
m m m
' ( ) ( ( ) ( ))
( ) ( ) ( )
' ( ) ( ) ( )
1
2
2
1 1
1 1
1
二、近似特征方程
(30-12)
可得到
1 1 1
2w
K w
K w w
K w
K w
m
w
m
m
m
m
' ( )
( )
( )
( )
把 (30-12)和 (30-13)式代入简化特征方程 (30-11)
1 1
1 1
1
2
1
2
1
2
1
u
J u
J u
m
u w
K w
K w
m
w
u
u
J u
J u
m
w
w
K w
K w
m
m
m
m
m
m
m
m
m
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
二、近似特征方程
(30-13)
在弱光导纤维 n1≈n2,v2=u2+w2≈0或者 u2≈－ w2
于是有近似特征方程 (色散方程 )
u J uJ u w K wK wm
m
m
m
1 1( )
( )
( )
( )
特别对于 case m=0
u J uJ u w K wK w1
0
1
0
( )
( )
( )
( )
它可以简化为
u J uJ u w K uK u1
0
1
0
( )
( )
( )
( )?
二、近似特征方程
(30-14)
(30-15)
三、光纤模式和金属波导不同,光纤属于介质波导,类型可分为 TEon,TMon,EHmn和 HEmn模式 。 特别对于弱光导纤维,还有满足相同近似特征方程的简并模组成 LP
模 。
Case 1 TEon和 Tmon模
TE E H H
TM E H E
on r z
on r z
模 和模 和
,
,
图 30-2 TEon和 TMon模三、光纤模式
1 1 0
u
J u
J u w
K w
K w
o
o
o
o
om
' ( )
( )
' ( )
( ) T E 模
n
u
J u
J u
n
w
K w
K w
o
o
o
o
on
1
2
2
2
0' ( )( ) ' ( )( ) T E 模
Case 2 HEmn,EHmn模；再写出特征方程上式取－ —— HEmn模
＋ —— EHmn模三、光纤模式
(30-16)
(30-17)
HE11模是光纤基模,
图 30-3 HE11模三、光纤模式
Case3 LP模式
LP(线极化模 Linearly Polarized Mode)是 Gloge根据满足相同近似特征方程,其相位周数简并而提出的。
LP模命名 EHmn,HEmn(m≥1)均有 sinm?和 cosm?简并三、光纤模式
LP模 原命名 简并模 近似特征方程
LPos
(m=0) HE1s 2
LP1n
(m=1)
TE0n
TM0n
HE2n
4
LPmn
(m≥2)
EHm-1,n
HEm+1,n 4
J u
uJ u w
K w
K w01 01
1( )
( )
( )
( )?
1 11
0
1
0u
J u
J u w
K w
K w
( )
( )
( )
( )
1 1
1 1u
J u
J u w
K w
K wmm mm
( )
( )
( )
( )
三、光纤模式
LP命名 原有命名电场分布 Ez场强分布
LP01 HE11
LP11 TE01
TM01
HE21
LP21 EH11
HE31
三、光纤模式四、截止条件在正常情况下,K0n2＜?＜ K0n1,纤芯外层场随指数规律 Km(r)衰减,这时电磁能量集中在纤芯之内 。
然而如果
≤ K n0 2
这时场能量逸出外层成为辐射模式
k n
w
0 2
0
称为截止条件。
(30-18)
(30-19)
光纤模式截止条件
m 模 式 截止条件
m=0 TEosTm
os
J0(u)=0
m=1 HE1sEH
1n
J1(u)=0
m≥2 HE
mn
EHmn J uJ u um nn n
J u
m
m
m
1 2
2
1
2
2
21
0
( )
( )
( ) 0全部非 根四、截止条件为使正常模能传播，应满足 w>>0,这称为远离截止条件。
远离截止条件
J u
J u
u
m
n
n n
J u
m
m
m
1 2
2
1
2
2
21
0
( )
( )
( ) 0全部非 根
m 模 式 远离截止条件
m=0 TEonTM
on
J1(u)=0
m≥1 HEmnEh
mn
四、截止条件特别是基模 HE11模的远离截止条件为 J0(u01)=0,即
u 01 2 40483?,
TE01,TM01和 HE21的远离截止条件均为 J1(u)=0,即
u 11 3 83171?,
于是可画出工作模式图。
四、截止条件
(30-20)
(30-21)
TE
TM
HE
01
01
21
模
H E 1 1 模
u
1.0 2.0 3.0 4.0
图 30-4 工作模式图四、截止条件五、功率传输光纤中一个重要指标是希望能量集中于纤芯 。
［ 定义 ］ 功率集中度
P
P
芯总其中,P芯表示纤芯内的功率,P总表示全部功率,
一般要求?→ 1。
光纤横截面 (r∈ 0,∞)的 Poynting Vector是
(30-22)
S E H E H
J uR
J u
R
K wR
K w
R
Z r r
m
m
m
m
1
2
1
1
1
2
1
2
1
2
1
2
( )
( )
( )
( )
( )
* *
≤
≥
其中 －号 —— 对应 HEmn模； +号 —— 对应 EHmn模
P S rdrd
P S rdrd
z
S
z
芯总
1
2
1
2
00
2
00
2
积分得到
wv uv KK Km
m m
2 2
1
2
2
五、功率传输
(30-23)
(30-24)
(30-25)
N an v?
2 2 1
2
1 2?
N n? 24 4 251,＞
五、功率传输
(30-26)
(30-27)
特别要提出 TMon,TEon和 HE2n模在截止时芯内功率 P芯 =0,只有包层 (r∈ a,b)中有功率传输；而主模式截止时,芯内仍有功率传输 。
传输模式 (对多模光纤 )总数 N有估计公式作为例子,当 a=55?m,?=1％,?=2?m时
PROBLEMS 30
一、试根据介质波导电（圆柱形）场方程，推导特征方程为：
( )( )1 2 1 2 1 22 2 2 2 2 2
21 1
k k m u w
二、试比较介质波导中的模与金属波导中的模有何不同？
Optical Fiber
光纤 (Optical Fiber)即光导纤维,我们讨论通信所用的阶跃光纤 。
它的简化模型是中心纤芯半径为 a,折射率为 n1；
层半径为 b,折射率为 n2； 外部空气折射率为 n0,并满足
n n
n
1 2
1
1? ＜＜
实际上是波导多模光纤,到 r＞ b认为已衰减完 。 我们注意到近年来已开始研究单模光纤,在这种情况下,
我们只要分两层考虑 。
(30-1)
一、阶跃光纤模型利用上面假定，将追求近截止区和远离截止区的本征值简单近似解。
n 2
a
n n
0
1
z
n 1
n
n
y
2
n 0
0 a
图 30-1 阶跃光纤二、近似特征方程根据两层的特点，完全可用上讲,介质波导,
的有关结果。
［定义］归一化频率
v u k a k a k n a k n a
k a n
n
n
k a n
n n
n
c c
2 2 2
1
2 2
2
2 2
0
2
1
2 2 2
0
2
2
2
0
2 2
1
2 2
2
1
2 0
2 2
1
2 1
2
2
2
1
2
1
( ) ( )
如果计及 n1～ n2为简化条件
n nn n nn1
2
2
2
1
2
1 2
12
(30-2)
则
v k a n2 02 2 122
上面推导中已考虑
u k n a k a
w k n a k a
c
c
2
0
2
1
2 2 2
1
2 2
2 2
0
2
2
2 2
2
2 2
( )
( )
u和 w是光纤的基本参量,v决定传输的模数，它与光波频率成正比，（ ）v k w
0 0 0
二、近似特征方程
(30-3)
(30-4)
在 29讲中已给出特征方程
( )( )1 2 1 2 1 22 2 2 2 2 2
21 1
k k m u w
其中
1 2J uuJ u K wwK wm
m
m
m
' ( )
( )
' ( )
( )
且进一步导出了
( )( )1 2 1 1 2 2 2 2 2 12 2 21 1m u w u w
二、近似特征方程
(30-5)
(30-6)
引 入 弱 光 导 纤 维 条 件 ( n1－ n2)/n1＜＜ 1,即
n1≈n2(?1=?2),特征方程 (30-6)简化为
( )1 2 2 2 2 2
21 1
m u w
具体给出?1的解
1 2 2 21 1m u v
或者写成
1 1 1 1
2 2u
J u
J u w
K u
K w m u w
m
m
m
m
' ( )
( )
' ( )
( )
二、近似特征方程
(30-7)
(30-8)
(30-9)
1 1 2 0
2 2
2 2
2 2
0
2 2
1
2
2 2u w
u w
u w
k a n
u w
最后得到简化特征方程
1 1
u
J u
J u w
K w
K w
m
m
m
m
' ( )
( )
' ( )
( )
由 Bessel函数递推公式J u J u J u
m
u
J u J u J u
J u J u
m
u
J u
m m m
m m m
m m m
' ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
' ( ) ( ) ( )
1
2
2
1 1
1 1
1
二、近似特征方程
(30-10)
(30-11)
于是
1 1 1
2u
J u
J u u
J u
J u
m
u
m
m
m
m
' ( )
( )
( )
( )
修正 Bessel函数也有递推关系 K w K w K w
m
w
K w K w K w
K w K w
m
w
K w
m m m
m m m
m m m
' ( ) ( ( ) ( ))
( ) ( ) ( )
' ( ) ( ) ( )
1
2
2
1 1
1 1
1
二、近似特征方程
(30-12)
可得到
1 1 1
2w
K w
K w w
K w
K w
m
w
m
m
m
m
' ( )
( )
( )
( )
把 (30-12)和 (30-13)式代入简化特征方程 (30-11)
1 1
1 1
1
2
1
2
1
2
1
u
J u
J u
m
u w
K w
K w
m
w
u
u
J u
J u
m
w
w
K w
K w
m
m
m
m
m
m
m
m
m
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
二、近似特征方程
(30-13)
在弱光导纤维 n1≈n2,v2=u2+w2≈0或者 u2≈－ w2
于是有近似特征方程 (色散方程 )
u J uJ u w K wK wm
m
m
m
1 1( )
( )
( )
( )
特别对于 case m=0
u J uJ u w K wK w1
0
1
0
( )
( )
( )
( )
它可以简化为
u J uJ u w K uK u1
0
1
0
( )
( )
( )
( )?
二、近似特征方程
(30-14)
(30-15)
三、光纤模式和金属波导不同,光纤属于介质波导,类型可分为 TEon,TMon,EHmn和 HEmn模式 。 特别对于弱光导纤维,还有满足相同近似特征方程的简并模组成 LP
模 。
Case 1 TEon和 Tmon模
TE E H H
TM E H E
on r z
on r z
模 和模 和
,
,
图 30-2 TEon和 TMon模三、光纤模式
1 1 0
u
J u
J u w
K w
K w
o
o
o
o
om
' ( )
( )
' ( )
( ) T E 模
n
u
J u
J u
n
w
K w
K w
o
o
o
o
on
1
2
2
2
0' ( )( ) ' ( )( ) T E 模
Case 2 HEmn,EHmn模；再写出特征方程上式取－ —— HEmn模
＋ —— EHmn模三、光纤模式
(30-16)
(30-17)
HE11模是光纤基模,
图 30-3 HE11模三、光纤模式
Case3 LP模式
LP(线极化模 Linearly Polarized Mode)是 Gloge根据满足相同近似特征方程,其相位周数简并而提出的。
LP模命名 EHmn,HEmn(m≥1)均有 sinm?和 cosm?简并三、光纤模式
LP模 原命名 简并模 近似特征方程
LPos
(m=0) HE1s 2
LP1n
(m=1)
TE0n
TM0n
HE2n
4
LPmn
(m≥2)
EHm-1,n
HEm+1,n 4
J u
uJ u w
K w
K w01 01
1( )
( )
( )
( )?
1 11
0
1
0u
J u
J u w
K w
K w
( )
( )
( )
( )
1 1
1 1u
J u
J u w
K w
K wmm mm
( )
( )
( )
( )
三、光纤模式
LP命名 原有命名电场分布 Ez场强分布
LP01 HE11
LP11 TE01
TM01
HE21
LP21 EH11
HE31
三、光纤模式四、截止条件在正常情况下,K0n2＜?＜ K0n1,纤芯外层场随指数规律 Km(r)衰减,这时电磁能量集中在纤芯之内 。
然而如果
≤ K n0 2
这时场能量逸出外层成为辐射模式
k n
w
0 2
0
称为截止条件。
(30-18)
(30-19)
光纤模式截止条件
m 模 式 截止条件
m=0 TEosTm
os
J0(u)=0
m=1 HE1sEH
1n
J1(u)=0
m≥2 HE
mn
EHmn J uJ u um nn n
J u
m
m
m
1 2
2
1
2
2
21
0
( )
( )
( ) 0全部非 根四、截止条件为使正常模能传播，应满足 w>>0,这称为远离截止条件。
远离截止条件
J u
J u
u
m
n
n n
J u
m
m
m
1 2
2
1
2
2
21
0
( )
( )
( ) 0全部非 根
m 模 式 远离截止条件
m=0 TEonTM
on
J1(u)=0
m≥1 HEmnEh
mn
四、截止条件特别是基模 HE11模的远离截止条件为 J0(u01)=0,即
u 01 2 40483?,
TE01,TM01和 HE21的远离截止条件均为 J1(u)=0,即
u 11 3 83171?,
于是可画出工作模式图。
四、截止条件
(30-20)
(30-21)
TE
TM
HE
01
01
21
模
H E 1 1 模
u
1.0 2.0 3.0 4.0
图 30-4 工作模式图四、截止条件五、功率传输光纤中一个重要指标是希望能量集中于纤芯 。
［ 定义 ］ 功率集中度
P
P
芯总其中,P芯表示纤芯内的功率,P总表示全部功率,
一般要求?→ 1。
光纤横截面 (r∈ 0,∞)的 Poynting Vector是
(30-22)
S E H E H
J uR
J u
R
K wR
K w
R
Z r r
m
m
m
m
1
2
1
1
1
2
1
2
1
2
1
2
( )
( )
( )
( )
( )
* *
≤
≥
其中 －号 —— 对应 HEmn模； +号 —— 对应 EHmn模
P S rdrd
P S rdrd
z
S
z
芯总
1
2
1
2
00
2
00
2
积分得到
wv uv KK Km
m m
2 2
1
2
2
五、功率传输
(30-23)
(30-24)
(30-25)
N an v?
2 2 1
2
1 2?
N n? 24 4 251,＞
五、功率传输
(30-26)
(30-27)
特别要提出 TMon,TEon和 HE2n模在截止时芯内功率 P芯 =0,只有包层 (r∈ a,b)中有功率传输；而主模式截止时,芯内仍有功率传输 。
传输模式 (对多模光纤 )总数 N有估计公式作为例子,当 a=55?m,?=1％,?=2?m时
PROBLEMS 30
一、试根据介质波导电（圆柱形）场方程，推导特征方程为：
( )( )1 2 1 2 1 22 2 2 2 2 2
21 1
k k m u w
二、试比较介质波导中的模与金属波导中的模有何不同？
