第 16章 园波导一般解
General Solution in Circular
Waveguide
我们已经研究了矩形波导,对于圆波导的提出应该有它的理由 。
一,圆波导的一些特点在矩形波导应用之后,还有必要提出圆波导吗？
当然,既然要用圆波导,必须有其优点存在 。 主要有：
1,圆波导的提出来自实践的需要。例如，雷达的旋转搜索。如果没有旋转关节，那只好发射机跟着转。象这类应用中,圆波导成了必须要的器件。至于以后要用到的极化衰减器，多模或波纹喇叭，都会应用到圆波导。可以这样说,几何对称性给圆波导带来广泛的用途和价值。
2,从力学和应力平衡角度，机加工圆波导更为有利，对于误差和方便性等方面均略胜矩形波导一筹。
一、圆波导的一些特点图 16-1 Rotation Junction
一、圆波导的一些特点
3,根据微波传输线的研究发现：功率容量和衰减是十分重要的两个指标 。 这个问题从广义上看功率容量 其中 是截面衰减 其中 是周长
P S S
a L L
m a x ( )
( )
F P a SLmax
很容易引出一个品质因数 F
很明显，数字研究早就指出：在相同周长的条件下，
圆面积最大
(16-1)
一、圆波导的一些特点可见，要探索小衰减，大功率传输线，想到圆波导是自然的 。
一、圆波导的一些特点
4,矩形波导中存在的一个矛盾当我们深入研究波导衰减,发现频率升高时衰减在矩形波导中上升很快 。 仔细分析表明,衰减由两部分组成：一部分称纵向电流衰减,另一部分是横向电流衰减 。
当频率升高时,横向电尺寸加大,使横向电流衰减反而减少 。 这样所构成的矛盾因素使衰减有了极值,
同时形成频率升高时衰减增加 。
而以后在圆波导中将会发现，有的波型 (圆波导中 H01波型 )无纵向电流，因此，若采用这种波型会使高频时衰减减小。
一、圆波导的一些特点图 16-3 圆波导 H01波衰减图 16-2 矩形波导 TE10波衰减
0 f 0 f
a a
纵向电流横向电流横向电流
d min
二、圆波导一般解各种波导之间的差异主要是横向边界条件不同，
由此可以得到各种不同的波型和模式，很自然，为了适合圆波导，应该采用圆柱坐标系。
x
z
R
y
r
j
0
图 16-4 圆波导坐标系统二、圆波导一般解
1,它们也可以划分为 TE和 TM波 。
2 2
2 2
0
0
E k E
H k H
x x
x x
2 2
2
2
2
2
1 1
r r r r r z
H R r Z zz? ( ) ( ) ( )假设我们以 TE波作为例子，这时 Ez=0
对于圆柱坐标
z分量分别满足
(16-4)
(16-3)
(16-2)
二、圆波导一般解同样可解出
Z z ce z( )
H R r ez z( ) ( )
2
2 2
2
2
21 1H
r r
H
r r
H k Hz z z
c z
2 2 2k kc
(16-6)
(16-5)
(16-7)
其中且满足于是等式两边除以 ΦR,乘上 r２
二、圆波导一般解
2
2 2
2
2
21R
r r
R
r
R
r k H
z z
c z
r
R
R
r
r
R
R
r k r
z
c
z
2 2
2
2 2
2
2
1 0?
1
0
2
2
2
2
2
2
2 2 2
d
d
m
r
d R
dr
r
dR
dr
k r m Rc
( )
(16-8)
显然，可以令一常数 m２
二、圆波导一般解其解分别是
( ) c os s in
c os
s in
( ) ( ) ( )
( )
( )
c m c m
m
m
R r c J k r c N k r
J k r
N k r
m c m c
m c
m c
1 2
3 4
J k r m
N k r m
m c
m c
( )
( )
为第一类 阶 函数为第二类 阶 函数 函数
B e s s e l
B e s s e l ( N e u m a n n )
(16-9)
其中 c1,c2,c3,c4为常数。 m=0,1,2,… 为整数 。
二、圆波导一般解对于 Neumann函数最大特点是 x→ 0,Nm(x)→ 0。
而空心波导，中间没有导体的条件下不可能出现
Neumann函数。
H H J k r mm ez m c z0 ( ) c o ss in
2,纵向分量法
(16-10)
二、圆波导一般解利用纵向分量表示横向分量
H j E
1
1
r
H H
z
j E
H
z
H
r
j E
r r
rH
H
j E
z
r
r z
r
z
( )
E j H
1
1
r
E E
z
j H
E
z
E
r
j H
r r
rE
E
j H
z
r
r z
r
z
( )
z
(16-11)
注意到
(16-12)
二、圆波导一般解可以把上面两个 Maxwell旋度方程分解成两组
D
j
j
k
D
r
H
E
r
j
j
r
H E
r
c
r
z
z
z z
2
1
(16-13)
j E H
r
H
E j H
E
r
r
z
r
z
1
二、圆波导一般解
D
j
r
H
E
r
j
E
r r
H
z
z
z z
1
得到第一组解
H
k
j
E
r r
H
E
k
j
r
H E
r
c
z z
r
c
z z
1
1
2
2
(16-14)
二、圆波导一般解
j E H
H
r
E j H
r
E
r
z
r
z
1
D
j
j
k
D
H
r
r
E
j
j
H
r r
E
D
j
H
r
r
E
j
r
E H
r
c
r
z
z
z z
r
z
z
z z
2
1
1
(16-15)
得到第二组解二、圆波导一般解
H
k
j
r
E H
r
E
k r
E
j
H
r
r
c
z z
c
z z
1
1
2
2
(16-17)
(16-16)
我们把全部横向分量用矩阵形式表示 E
E
H
H
k
j
j
j
j
E
r
r
E
H
r
r
H
r
r c
z
z
z
z
1
0 0
0 0
0 0
0 0
1
1
2
二、圆波导一般解有了一般情况的矩阵表示，对于 TE的特殊情况就比较容易得到 E
E
H
H
k
j
j
j
j
H
r
r
H
r
r c
z
z
1
0 0
0 0
0 0
0 0
0
0
1
2
代入
H H J k r mm ez m z0 0( ) c o ss in
(16-18)
有二、圆波导一般解
E H
j m
k r
J k r
m
m
e
E H
j
k
J k r
m
m
e
H H
k
J k r
m
m
e
H H
m
k r
J k r
m
m
e
r
c
m c
z
c
m c
z
r
c
m c
z
c
m c
z
0 2
0
0
0 2
( )
sin
c os
' ( )
c os
sin
' ( )
c os
sin
( )
sin
c os
(16-19)
J k rm c' ( )其中,是第一类 m阶 Bessel函数的导数。
二、圆波导一般解
3,边界条件圆波导包含三种边界条件
有限条件 f(r=0)≠∞
周条抢 f( )=f( )
理想导体条件地 ft(r=R)=0
其中 t表示切向分量
02
有限条件导致圆波导体不出现 Neumann函数 。
周期边界条件要求 m为整数阶 。
理想导体边界条件要求 r=R处,=0,也即二、圆波导一般解
E?
J k Rm c' ( )? 0
mn
k R nc mn (,,,)1 2 3
k Rc
c
mn 2
c R? 2
mn
(16-20)
(16-21)
(16-22)
，又可知设 是 m阶 Bessel函数导数的第 n个根，则二、圆波导一般解圆波导中 TE波截止波长值波型?mn?c
H11
H21
H01
1.841
3.054
3.832
3.41R
2.06R
1.64R
最后得到传播波型二、圆波导一般解上式是一般的圆波导 TE波场表达形式。
(16-23)
E j
m
k r
H J
R
r
m
m
e
E j
k
H J
R
r
m
m
e
E
H j
k
H J
R
r
m
m
e
H j
k r
H J
R
r
r
c
m
j z
c
m
j z
z
r
c
m
j z
c
m
2
0
0
0
2
0
0
mn
mn
mn
mn
sin
c os
'
sin
c os
'
sin
c os
sin
c os
sin
c os
m
m
e
H H J
R
r
m
m
e
j z
z m
j z
0
mn
附 录 APPENDIX
广义柱坐标的不变性按照广义正交曲线坐标，很易导出
z
uv
v
cu
u
vz
Ej
vh
H
uh
H
Ej
uh
H
z
H
Ej
z
H
vh
H
21
1
2
z
uv
v
cu
u
vz
Hj
vh
E
uh
E
Hj
uh
E
z
E
Hj
z
E
vh
E
21
1
2
附 录 APPENDIX
和前面的推导完全类似，可得
E
E
H
H
k
j
j
j
j
h
E
u
h
E
h
H
u
h
H
u
u c
z
z
z
z
1
0 0
0 0
0 0
0 0
1
1
1
1
2
1
2
1
2
注意到/ z
附 录 APPENDIX
中间的矩阵 [H]在直角坐标，圆柱坐标是完全一致的。
H
k
j
j
j
j
c
1
0 0
0 0
0 0
0 0
2
另一方面注意到附 录 APPENDIX
E
E
H
H
h
x
u h
y
u
h
x
h
x
h
x
u h
y
u
h
x
h
y
E
E
H
H
E
E
H
H
u
u
x
y
x
y
u
u
1 1
0 0
1 1
0 0
0 0
1 1
0 0
1 1
1 1
2 2
1 1
2 2
1 1
0 0
1 1
0 0
0 0
1 1
0 0
1 1
1 1
0 0
1 1
0 0
0 0
1
1 1
2 2
1 1
2 2
1 1
2 2
1
h
x
u h
y
u
h
x
h
x
h
x
u h
y
u
h
x
h
y
H
h
u
x h
u
y
h x h x
h
u
x h
u
y
h x h y
h
E
u
h
E
h
H
u
h
H
T H T
h
E
u
h
E
h
H
u
z
z
z
z
z
z
z
1
0 0
1 1
1
1
1
1
1
1
1
2 2
1
2
1
2
1
1
2
1
[ ][ ][ ]
1
1
1
1
1
2
1
2
1
2
h
H
H
h
E
u
h
E
h
H
u
h
H
z
z
z
z
z
[ ]
附 录 APPENDIX
从上面公式可知，在 Jacobi坐标变换中
［ T］ =［ T］ -1
在形式上 ［ H］ 矩阵是不变的。
General Solution in Circular
Waveguide
我们已经研究了矩形波导,对于圆波导的提出应该有它的理由 。
一,圆波导的一些特点在矩形波导应用之后,还有必要提出圆波导吗？
当然,既然要用圆波导,必须有其优点存在 。 主要有：
1,圆波导的提出来自实践的需要。例如，雷达的旋转搜索。如果没有旋转关节，那只好发射机跟着转。象这类应用中,圆波导成了必须要的器件。至于以后要用到的极化衰减器，多模或波纹喇叭，都会应用到圆波导。可以这样说,几何对称性给圆波导带来广泛的用途和价值。
2,从力学和应力平衡角度，机加工圆波导更为有利，对于误差和方便性等方面均略胜矩形波导一筹。
一、圆波导的一些特点图 16-1 Rotation Junction
一、圆波导的一些特点
3,根据微波传输线的研究发现：功率容量和衰减是十分重要的两个指标 。 这个问题从广义上看功率容量 其中 是截面衰减 其中 是周长
P S S
a L L
m a x ( )
( )
F P a SLmax
很容易引出一个品质因数 F
很明显，数字研究早就指出：在相同周长的条件下，
圆面积最大
(16-1)
一、圆波导的一些特点可见，要探索小衰减，大功率传输线，想到圆波导是自然的 。
一、圆波导的一些特点
4,矩形波导中存在的一个矛盾当我们深入研究波导衰减,发现频率升高时衰减在矩形波导中上升很快 。 仔细分析表明,衰减由两部分组成：一部分称纵向电流衰减,另一部分是横向电流衰减 。
当频率升高时,横向电尺寸加大,使横向电流衰减反而减少 。 这样所构成的矛盾因素使衰减有了极值,
同时形成频率升高时衰减增加 。
而以后在圆波导中将会发现，有的波型 (圆波导中 H01波型 )无纵向电流，因此，若采用这种波型会使高频时衰减减小。
一、圆波导的一些特点图 16-3 圆波导 H01波衰减图 16-2 矩形波导 TE10波衰减
0 f 0 f
a a
纵向电流横向电流横向电流
d min
二、圆波导一般解各种波导之间的差异主要是横向边界条件不同，
由此可以得到各种不同的波型和模式，很自然，为了适合圆波导，应该采用圆柱坐标系。
x
z
R
y
r
j
0
图 16-4 圆波导坐标系统二、圆波导一般解
1,它们也可以划分为 TE和 TM波 。
2 2
2 2
0
0
E k E
H k H
x x
x x
2 2
2
2
2
2
1 1
r r r r r z
H R r Z zz? ( ) ( ) ( )假设我们以 TE波作为例子，这时 Ez=0
对于圆柱坐标
z分量分别满足
(16-4)
(16-3)
(16-2)
二、圆波导一般解同样可解出
Z z ce z( )
H R r ez z( ) ( )
2
2 2
2
2
21 1H
r r
H
r r
H k Hz z z
c z
2 2 2k kc
(16-6)
(16-5)
(16-7)
其中且满足于是等式两边除以 ΦR,乘上 r２
二、圆波导一般解
2
2 2
2
2
21R
r r
R
r
R
r k H
z z
c z
r
R
R
r
r
R
R
r k r
z
c
z
2 2
2
2 2
2
2
1 0?
1
0
2
2
2
2
2
2
2 2 2
d
d
m
r
d R
dr
r
dR
dr
k r m Rc
( )
(16-8)
显然，可以令一常数 m２
二、圆波导一般解其解分别是
( ) c os s in
c os
s in
( ) ( ) ( )
( )
( )
c m c m
m
m
R r c J k r c N k r
J k r
N k r
m c m c
m c
m c
1 2
3 4
J k r m
N k r m
m c
m c
( )
( )
为第一类 阶 函数为第二类 阶 函数 函数
B e s s e l
B e s s e l ( N e u m a n n )
(16-9)
其中 c1,c2,c3,c4为常数。 m=0,1,2,… 为整数 。
二、圆波导一般解对于 Neumann函数最大特点是 x→ 0,Nm(x)→ 0。
而空心波导，中间没有导体的条件下不可能出现
Neumann函数。
H H J k r mm ez m c z0 ( ) c o ss in
2,纵向分量法
(16-10)
二、圆波导一般解利用纵向分量表示横向分量
H j E
1
1
r
H H
z
j E
H
z
H
r
j E
r r
rH
H
j E
z
r
r z
r
z
( )
E j H
1
1
r
E E
z
j H
E
z
E
r
j H
r r
rE
E
j H
z
r
r z
r
z
( )
z
(16-11)
注意到
(16-12)
二、圆波导一般解可以把上面两个 Maxwell旋度方程分解成两组
D
j
j
k
D
r
H
E
r
j
j
r
H E
r
c
r
z
z
z z
2
1
(16-13)
j E H
r
H
E j H
E
r
r
z
r
z
1
二、圆波导一般解
D
j
r
H
E
r
j
E
r r
H
z
z
z z
1
得到第一组解
H
k
j
E
r r
H
E
k
j
r
H E
r
c
z z
r
c
z z
1
1
2
2
(16-14)
二、圆波导一般解
j E H
H
r
E j H
r
E
r
z
r
z
1
D
j
j
k
D
H
r
r
E
j
j
H
r r
E
D
j
H
r
r
E
j
r
E H
r
c
r
z
z
z z
r
z
z
z z
2
1
1
(16-15)
得到第二组解二、圆波导一般解
H
k
j
r
E H
r
E
k r
E
j
H
r
r
c
z z
c
z z
1
1
2
2
(16-17)
(16-16)
我们把全部横向分量用矩阵形式表示 E
E
H
H
k
j
j
j
j
E
r
r
E
H
r
r
H
r
r c
z
z
z
z
1
0 0
0 0
0 0
0 0
1
1
2
二、圆波导一般解有了一般情况的矩阵表示，对于 TE的特殊情况就比较容易得到 E
E
H
H
k
j
j
j
j
H
r
r
H
r
r c
z
z
1
0 0
0 0
0 0
0 0
0
0
1
2
代入
H H J k r mm ez m z0 0( ) c o ss in
(16-18)
有二、圆波导一般解
E H
j m
k r
J k r
m
m
e
E H
j
k
J k r
m
m
e
H H
k
J k r
m
m
e
H H
m
k r
J k r
m
m
e
r
c
m c
z
c
m c
z
r
c
m c
z
c
m c
z
0 2
0
0
0 2
( )
sin
c os
' ( )
c os
sin
' ( )
c os
sin
( )
sin
c os
(16-19)
J k rm c' ( )其中,是第一类 m阶 Bessel函数的导数。
二、圆波导一般解
3,边界条件圆波导包含三种边界条件
有限条件 f(r=0)≠∞
周条抢 f( )=f( )
理想导体条件地 ft(r=R)=0
其中 t表示切向分量
02
有限条件导致圆波导体不出现 Neumann函数 。
周期边界条件要求 m为整数阶 。
理想导体边界条件要求 r=R处,=0,也即二、圆波导一般解
E?
J k Rm c' ( )? 0
mn
k R nc mn (,,,)1 2 3
k Rc
c
mn 2
c R? 2
mn
(16-20)
(16-21)
(16-22)
，又可知设 是 m阶 Bessel函数导数的第 n个根，则二、圆波导一般解圆波导中 TE波截止波长值波型?mn?c
H11
H21
H01
1.841
3.054
3.832
3.41R
2.06R
1.64R
最后得到传播波型二、圆波导一般解上式是一般的圆波导 TE波场表达形式。
(16-23)
E j
m
k r
H J
R
r
m
m
e
E j
k
H J
R
r
m
m
e
E
H j
k
H J
R
r
m
m
e
H j
k r
H J
R
r
r
c
m
j z
c
m
j z
z
r
c
m
j z
c
m
2
0
0
0
2
0
0
mn
mn
mn
mn
sin
c os
'
sin
c os
'
sin
c os
sin
c os
sin
c os
m
m
e
H H J
R
r
m
m
e
j z
z m
j z
0
mn
附 录 APPENDIX
广义柱坐标的不变性按照广义正交曲线坐标，很易导出
z
uv
v
cu
u
vz
Ej
vh
H
uh
H
Ej
uh
H
z
H
Ej
z
H
vh
H
21
1
2
z
uv
v
cu
u
vz
Hj
vh
E
uh
E
Hj
uh
E
z
E
Hj
z
E
vh
E
21
1
2
附 录 APPENDIX
和前面的推导完全类似，可得
E
E
H
H
k
j
j
j
j
h
E
u
h
E
h
H
u
h
H
u
u c
z
z
z
z
1
0 0
0 0
0 0
0 0
1
1
1
1
2
1
2
1
2
注意到/ z
附 录 APPENDIX
中间的矩阵 [H]在直角坐标，圆柱坐标是完全一致的。
H
k
j
j
j
j
c
1
0 0
0 0
0 0
0 0
2
另一方面注意到附 录 APPENDIX
E
E
H
H
h
x
u h
y
u
h
x
h
x
h
x
u h
y
u
h
x
h
y
E
E
H
H
E
E
H
H
u
u
x
y
x
y
u
u
1 1
0 0
1 1
0 0
0 0
1 1
0 0
1 1
1 1
2 2
1 1
2 2
1 1
0 0
1 1
0 0
0 0
1 1
0 0
1 1
1 1
0 0
1 1
0 0
0 0
1
1 1
2 2
1 1
2 2
1 1
2 2
1
h
x
u h
y
u
h
x
h
x
h
x
u h
y
u
h
x
h
y
H
h
u
x h
u
y
h x h x
h
u
x h
u
y
h x h y
h
E
u
h
E
h
H
u
h
H
T H T
h
E
u
h
E
h
H
u
z
z
z
z
z
z
z
1
0 0
1 1
1
1
1
1
1
1
1
2 2
1
2
1
2
1
1
2
1
[ ][ ][ ]
1
1
1
1
1
2
1
2
1
2
h
H
H
h
E
u
h
E
h
H
u
h
H
z
z
z
z
z
[ ]
附 录 APPENDIX
从上面公式可知，在 Jacobi坐标变换中
［ T］ =［ T］ -1
在形式上 ［ H］ 矩阵是不变的。
