第 11章 广义传输线理论
Generalized Transmission Line Theory
从本门课程一开始，我们就强调从最宏观的角度：
微波工程有两种方法 —— 场论的方法 和 网络的方法 。
首先,我们要把传输线理论推广到波导,由微波双导线发展到波导是因为当其它人或物靠近双导线时会产生较大影响 。 这说明：传输线与外界有能量交换
,它带来的直接问题是：能量损失和工作不稳定 。 究其原因是开放 (Open)造成的特点 。
波导 (Waveguide),很多书从概念上认为是双导线两侧连续加对称 λ /4枝节，直到构成封闭 (Closed)电路为止。如果其导线的宽度是 W,则波导的宽边
a W W2 4 2
(11-1)
a a≥ 或 ≤/ 2 2 (11-2)
构成了波导传输的第一个约束条件
λ
λ
图 11-1 从双导线到矩形波导波导的一般理论包括三个部分：广义传输线理论,(用纵向分量表示的 )分离变量 法和简正模理论 。
波导一般理论广义传输线理论 分离变量法 简正模理论一、问题出发点和假定条件波导一般解的出发点是频域的 Maxwell方程组。
H j E
E j H
E
H
0
0
(11-3)
正因为无源,电与磁几乎对称 。
1,波导条件：假定截面不随 z而变化；
2,理想均匀条件：波导内 ε,μ 均匀，波导内壁 σ 无限大；
一、问题出发点和假定条件
3,无源条件：波导内 ρ,；?J?0
4,无限条件：波导无限长。
x
y z
o
图 11-2 波导 (Waveguide)
二、广义传输线理论波导 (Waveguide)是以否定双导线传输作为出发点的 。
然而,它又上升到更高 的广义传输线理论 。
假设
E E z E
H H z H
z
z
t z
t z
t
(11-4)
其中 t表示横向分量。 (例如直角坐标系的 x,y分量 )。
代入式 (11-3)中
t z
z
H z H j E z E
H z H z
H
z
l t z t z
t t t z
t
(? ) (? )
(? )?
(11-5)
二、广义传输线理论把方程两边的横向分量与纵向分量分开，重新写出前两个 Maxwell方程，可得
t t z
t z
t
t
H j z E
z H z H
z
j E
(? )?
l t z
l z
t
t
E j z H
z E z E
z
j H
(? )?
(11-6)
(11-7)
我们分三种情况加以讨论二、广义传输线理论
Case 1 TEM 情况 (Ez=0,Hz=0)
TEM(Transverse Electromagnetic)也即电和磁都只有横向分量,Ez=0,Hz=0。 这时横向方程
z
H
z
j E
z
E
z
j H
t
t
t
t
(11-8)
E e V z
H h I z
t t
t t
( )
( )
(11-9)
二、广义传输线理论
Note,从场论一开始,我们就要搞清楚任何一个场 (例如 E)有两大因素：场的方向和变化函数,且这两个因素是相互独立的 。 例如 Ez可以随 (x,y)变化 。
在式 (11-9)中 表示横向分量随 x,y的变化函数 。
而 V(z)表示随 z变化 。
e x yt (,)
(11-9)式默认了一种逻辑,即 中横向变化和纵向变化可以分离变量,其中,把 V(z)和 I(z)称之为模式电压与模式电流 。
E
l
二、广义传输线理论
e h z ds
l t
s
1
( ) ( )
( ) ( )
z h
dI z
dz
j e V z
z e
dV z
dz
j h I z
t t
t t
方程 (11-11)中第一式两边用 ·,再用 作面积分；第二式两边用 ·,也 用作面积分,得到
el
ds
s
hl
ds
s
(11-10)
(11-11)
假定归一化约束条件二、广义传输线理论
( )
( )
( )
( )
z h e ds
dI z
dz
j e e dsV z
z e h ds
dV z
dz
j h h dsI z
s
t t t l
s
s
t t t l
s
由混合积法则
(11-12)
e t
e tz zh t
h t
图 11-3
二、广义传输线理论可以得到
( )?
( )?
z h e ds e h z ds
z e h ds e h z ds
s
t t t t
s
s
t t t t
s
1
1
(11-13)
若令 L h h ds
C e e ds
t t
s
t t
s
(11-14)
则最后导出 dV z
dz
j LI z
dI z
dz
j CI z
( )
( )
( )
( )
(11-15)
二、广义传输线理论方程 (11-15)即我们称之为广义传输线方程。
a
b
图 11-4 同轴传输线二、广义传输线理论
［例 1］同轴线是典型的 TEM波传输线。
H I z
r h I zt t
( )? ( )
2
h
rt?
1
2
E z
r r e V zt t
( )? ( )
2
e
b
a
r
rt?
1
ln
V z z b
a( )
( ) ln
2
设其中二、广义传输线理论很明显，上述做法使
e h z ds d rdr
r b
a
t t a
b
s
ln
2
1 1
20
2
确实符合归一化符件 。
根据定义
L h h ds
rdrd
r
b
a
C e e ds
rdrd
b
a
r
b
a
LC k
Z
L
C
b
a
t t
ss
t t
ss
4 2
2
1
2
2 2
2
2
0
ln
ln
ln
ln
二、广义传输线理论清楚地看出,Z0—— 特性阻抗与 η —— 波阻抗的共同点是都有 因子；不同点是特性阻抗 Z0还与 —— 传输线的几何因子有关。
ln
b
a
特性阻抗
Z 0
媒质特性几何特性空间特性
Case 2 TE 情况 (Ez=0)
二、广义传输线理论
TE(Transverse Electric)横电情况,即 Ez=0
(? )?
z
E
z
j H
z H z
H
z
j E
E j z H
t
t
t z
t
t
t t z
对上面方程两边取旋度
t t t t t t t t
t z
t t z
t t
E E E
j z H
E z
z
E z E
E
( )
(? )
2
0
( 1 1 - 1 6 )
( 11 - 1 7 )
二、广义传输线理论于是可得
t z t tz H Ej(? )
2?
z
H
z
j E
E
k
z
E
z
j H
t
t
t t
t
t
2
2
(11-18)
(11-19)
令 L h h ds
C e e e
e
k
e ds
t t
s
t t
t
t t
s
2
2
(11-20)
同样得到方程 (11-15)
case 3 TM 情况 (Hz=0)
TM(Transverse Magnetic)即横磁情况,Hz=0
(? ) ~
z
H
z
j E
z E z
E
z
j H
t
t
t z
t
t
类似地 j z E H H H
t z t t t t t t t t(? ) ( )
2
可以得到
t z t tz E Hj(? )
2
(11-21)
于是 TM的两个方程是二、广义传输线理论二、广义传输线理论
z
H
z
j E
z
H
z
j H
H
k
t
t
t
t
t t
2
2
(11-22)
令
L h h h
h
k
ds
C e e ds
t t t
t t
s
t t
s
2
2
(11-23)
又一次得到广义传输线方程 (11-15)。
现在,我们可以归纳一下上面导出的数学结果 。 不论是 TEM,TE或者 TM情况均可写出
L h h h
h
k
ds
C e e e
e
k
ds
t t t
t t
s
t t t
t t
s
2
2
2
2
(11-24)
且满足
dV z
dz
j LI z
dI z
dz
j CV z
( )
( )
( )
( )
(11-25)
三、从双导线到波导广义传输线方程 。
作为注记：对于 TEM情况，可以证明三、从双导线到波导
t te2 0?
(11-26)
从上面可以看出：任意波导的情况在 z方向都可以作为广义传输线。波导作为对于双导线的一种 否定,而其结果则是上升到更高的广义传输线。所以，双导线的一切 (包括 Smith圆图 )都可以用到波导方面。
双导线传输线理论 波 导 广 义传输线理论广义传输线理论
［ 例 2］ 波导传输线参量的不确定性和附加约束条件 。
在波导问题中,有不确定性e h V z I zt t,( ),( ) 和三、从双导线到波导
E e V z
H h I z
t t
t t
( )
( )
事实上,又可写出 (令 A是任意常数 )
E
A
e AV z e V z
H A h
A
I z h V z
t t t
t t t
1
1
( ) ' ( )
( ) ' ( )
这样假定绝不影响归一化条件
e h zds
t t
s
1
三、从双导线到波导而
L A L
C
A
C
'
'
2
2
1
且特性阻抗也不唯一。
Z A Z' 0 2 0?
为了解决这一问题,我们常常再加一附加条件
e
h
t
t
1
(11-27)
使问题确定下来。
三、从双导线到波导
PROBLEM11
证明 TEM情况广义传输线有
t tE2 0?
已知 TE情况的广义传输线方程,如何利用对称性导出 TM情况的广义传输线方程 。
Generalized Transmission Line Theory
从本门课程一开始，我们就强调从最宏观的角度：
微波工程有两种方法 —— 场论的方法 和 网络的方法 。
首先,我们要把传输线理论推广到波导,由微波双导线发展到波导是因为当其它人或物靠近双导线时会产生较大影响 。 这说明：传输线与外界有能量交换
,它带来的直接问题是：能量损失和工作不稳定 。 究其原因是开放 (Open)造成的特点 。
波导 (Waveguide),很多书从概念上认为是双导线两侧连续加对称 λ /4枝节，直到构成封闭 (Closed)电路为止。如果其导线的宽度是 W,则波导的宽边
a W W2 4 2
(11-1)
a a≥ 或 ≤/ 2 2 (11-2)
构成了波导传输的第一个约束条件
λ
λ
图 11-1 从双导线到矩形波导波导的一般理论包括三个部分：广义传输线理论,(用纵向分量表示的 )分离变量 法和简正模理论 。
波导一般理论广义传输线理论 分离变量法 简正模理论一、问题出发点和假定条件波导一般解的出发点是频域的 Maxwell方程组。
H j E
E j H
E
H
0
0
(11-3)
正因为无源,电与磁几乎对称 。
1,波导条件：假定截面不随 z而变化；
2,理想均匀条件：波导内 ε,μ 均匀，波导内壁 σ 无限大；
一、问题出发点和假定条件
3,无源条件：波导内 ρ,；?J?0
4,无限条件：波导无限长。
x
y z
o
图 11-2 波导 (Waveguide)
二、广义传输线理论波导 (Waveguide)是以否定双导线传输作为出发点的 。
然而,它又上升到更高 的广义传输线理论 。
假设
E E z E
H H z H
z
z
t z
t z
t
(11-4)
其中 t表示横向分量。 (例如直角坐标系的 x,y分量 )。
代入式 (11-3)中
t z
z
H z H j E z E
H z H z
H
z
l t z t z
t t t z
t
(? ) (? )
(? )?
(11-5)
二、广义传输线理论把方程两边的横向分量与纵向分量分开，重新写出前两个 Maxwell方程，可得
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t
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z H z H
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j E
(? )?
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l z
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E j z H
z E z E
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(11-6)
(11-7)
我们分三种情况加以讨论二、广义传输线理论
Case 1 TEM 情况 (Ez=0,Hz=0)
TEM(Transverse Electromagnetic)也即电和磁都只有横向分量,Ez=0,Hz=0。 这时横向方程
z
H
z
j E
z
E
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j H
t
t
t
t
(11-8)
E e V z
H h I z
t t
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( )
( )
(11-9)
二、广义传输线理论
Note,从场论一开始,我们就要搞清楚任何一个场 (例如 E)有两大因素：场的方向和变化函数,且这两个因素是相互独立的 。 例如 Ez可以随 (x,y)变化 。
在式 (11-9)中 表示横向分量随 x,y的变化函数 。
而 V(z)表示随 z变化 。
e x yt (,)
(11-9)式默认了一种逻辑,即 中横向变化和纵向变化可以分离变量,其中,把 V(z)和 I(z)称之为模式电压与模式电流 。
E
l
二、广义传输线理论
e h z ds
l t
s
1
( ) ( )
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z h
dI z
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j e V z
z e
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j h I z
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方程 (11-11)中第一式两边用 ·,再用 作面积分；第二式两边用 ·,也 用作面积分,得到
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(11-10)
(11-11)
假定归一化约束条件二、广义传输线理论
( )
( )
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dz
j e e dsV z
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dz
j h h dsI z
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由混合积法则
(11-12)
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图 11-3
二、广义传输线理论可以得到
( )?
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1
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(11-13)
若令 L h h ds
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(11-14)
则最后导出 dV z
dz
j LI z
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( )
( )
( )
(11-15)
二、广义传输线理论方程 (11-15)即我们称之为广义传输线方程。
a
b
图 11-4 同轴传输线二、广义传输线理论
［例 1］同轴线是典型的 TEM波传输线。
H I z
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( )? ( )
2
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1
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设其中二、广义传输线理论很明显，上述做法使
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2
1 1
20
2
确实符合归一化符件 。
根据定义
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ln
ln
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二、广义传输线理论清楚地看出,Z0—— 特性阻抗与 η —— 波阻抗的共同点是都有 因子；不同点是特性阻抗 Z0还与 —— 传输线的几何因子有关。
ln
b
a
特性阻抗
Z 0
媒质特性几何特性空间特性
Case 2 TE 情况 (Ez=0)
二、广义传输线理论
TE(Transverse Electric)横电情况,即 Ez=0
(? )?
z
E
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j H
z H z
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j E
E j z H
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对上面方程两边取旋度
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( 11 - 1 7 )
二、广义传输线理论于是可得
t z t tz H Ej(? )
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H
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(11-18)
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令 L h h ds
C e e e
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2
2
(11-20)
同样得到方程 (11-15)
case 3 TM 情况 (Hz=0)
TM(Transverse Magnetic)即横磁情况,Hz=0
(? ) ~
z
H
z
j E
z E z
E
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j H
t
t
t z
t
t
类似地 j z E H H H
t z t t t t t t t t(? ) ( )
2
可以得到
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2
(11-21)
于是 TM的两个方程是二、广义传输线理论二、广义传输线理论
z
H
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j E
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H
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(11-22)
令
L h h h
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2
2
(11-23)
又一次得到广义传输线方程 (11-15)。
现在,我们可以归纳一下上面导出的数学结果 。 不论是 TEM,TE或者 TM情况均可写出
L h h h
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k
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C e e e
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2
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2
2
(11-24)
且满足
dV z
dz
j LI z
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dz
j CV z
( )
( )
( )
( )
(11-25)
三、从双导线到波导广义传输线方程 。
作为注记：对于 TEM情况，可以证明三、从双导线到波导
t te2 0?
(11-26)
从上面可以看出：任意波导的情况在 z方向都可以作为广义传输线。波导作为对于双导线的一种 否定,而其结果则是上升到更高的广义传输线。所以，双导线的一切 (包括 Smith圆图 )都可以用到波导方面。
双导线传输线理论 波 导 广 义传输线理论广义传输线理论
［ 例 2］ 波导传输线参量的不确定性和附加约束条件 。
在波导问题中,有不确定性e h V z I zt t,( ),( ) 和三、从双导线到波导
E e V z
H h I z
t t
t t
( )
( )
事实上,又可写出 (令 A是任意常数 )
E
A
e AV z e V z
H A h
A
I z h V z
t t t
t t t
1
1
( ) ' ( )
( ) ' ( )
这样假定绝不影响归一化条件
e h zds
t t
s
1
三、从双导线到波导而
L A L
C
A
C
'
'
2
2
1
且特性阻抗也不唯一。
Z A Z' 0 2 0?
为了解决这一问题,我们常常再加一附加条件
e
h
t
t
1
(11-27)
使问题确定下来。
三、从双导线到波导
PROBLEM11
证明 TEM情况广义传输线有
t tE2 0?
已知 TE情况的广义传输线方程,如何利用对称性导出 TM情况的广义传输线方程 。
