第 6章 例题讲解
Problems
一,传输线问题的两种解法我们已经学习了传输线问题的两种解法 —— 微分方程法和矩阵法 。
传输线问题微分方程解矩阵解图 6-1 传输线问题两种解法一、传输线问题的两种解法微分方程法 —— 简单地说,即通解加上边界条件 。
通解 —— 是由支配方程决定的,它反映了事物的普遍性 。 例如,对于传输线方程,不论具体情况如何,
它总是由入射波和反射波构成 。
边界条件 —— 则反映事物的特殊性 。 例如,传输线的边界条件确定了具体情况下入射波和反射波的不同比例或组合 。
为了加深这一概念：我们可以观察长江,在四川三峡咆哮如虎,而在扬州,镇江则是一马平川,
是否大家考虑到长江符合同一支配微分方程 。 它们在各地的不同表现完全由当地的边界条件 (Boundary
Conditions)决定 。
可以有兴趣地指出,文章也与边界条件有关,
大文豪苏轼说过：,吾文如万斛泉源,不择地而出 。
在平地滔滔汨汨,虽一日千里无难 。 及其与山石曲折,随物赋形而不可知也 。,大家看写得多么具体,
这一边界条件即当时的时势 。
一、传输线问题的两种解法矩阵解 —— 强调输入输出的变换关系,对于传输线段,有
(6-1)[ ] c os sin
sin c osA
jZ
j
Z
0
0
1
微分方程解正好孕育着简正波思想 (Eigen Modes)，
而矩阵解则对应网路思想 (Network Theory)。
传输线问题中，原来的一次特征参数是 L,C。 求解出的二次特征参数是 Z０ 和,工作参数是 Γ,Z和 ρ?
一、传输线问题的两种解法传输线工作参数
( ')z
Z z( ')
) '(z?
( ' ) ( ' )( ' )z U zU z el j z 2?( ' ) ( ' )( ' )z Z z ZZ z Z 0
0 | ( ' )|? z?
1
1
Z z( ')
Z z Z zz( ' ) ( ' )( ' )0 11 Z z U zI z Z Z jZZ jZl
l
( ' ) ( ' )( ' )0 0
0
tg
tg
Z z
j z z
j z z( ' )
t a n ( ' )
t a n ( ' )?
1
11 | ( ' )|| ( ' )| zz( ) ( )( ) ( )R Z x R Z xR Z x R Z xl ll l1 0
2 2 1 0 2 2
1 0 2 2 1 0 2 2
| ( ' )| m a x
| ( ' )| m in
U z
U z
反射系数 阻抗 VSWR
一、传输线问题的两种解法二、传输线的波类比传输线的基本解是由入射波和反射波构成的 。 它与分层介质波有着对应的类比 。 这是因为它们都是波动性的反映 。
［ 例 1］
图 6-2
两种半无限大介质如图,左边有垂直入射波,已知
Ei(0)=Eio,试导出左右两区域合成波表达式,并画出合成波振幅 |E(z)|分布图 。
Ei Et
HtSiHi
Er
HrSr
St
4
0 z
［解］ 先分区写出一般解的形式区域≥
区域≤
0
)(
)(
0
)(
)(
z
eHzH
eEzE
z
eHeHzH
eEeEzE
j k z
lo
j k z
lo
j k z
ro
j k z
lo
j k z
ro
j k z
lo
一般解的写出是基于任何区域解都是由入射波加反射波构成 。 所不同的是 z≥ 0无反射波 。
再考虑边界接口条件 (z=0处电磁场切向分量连续 )
E E E
H H H
io ro lo
io ro lo
二、传输线的波类比于是有
E E
H H
E
H
io ro
io ro
lo
lo
计及
21
2
0
0
1
0
0
)(
)(
2
1
roio
roio
lo
lo
ro
ro
io
io
EE
EE
H
E
H
E
H
E
二、传输线的波类比
ioiolo
ioioro
EEE
EEE
3
22
3
1
12
2
12
12
左边区域合成场
E z E e E e E kz j kz
E z E kz
io
j k z
io
j k z
io
io
( ) ( c o s s i n )
| ( ) | | s i n
1
3
2
3
2
2
3
1 3 2
而右边区域的合成场
E z E e
E z E
io
j k z
io
( )
| ( ) | |
2
3
2
3
画出图来可以明显看出，左边区域的最大场强是二、传输线的波类比
| ( )| | |m a xE z E io? 43
也就是说最大场强超过入射场强 |Eio | 。 这并不违反能量守恒定律。 3
3
| E |i0
| E |i0
4
2
0 z
图 6-3
考察功率关系：
二、传输线的波类比
P Ei io? 12
2
1?
P E Er ro ro12 19 12
2
1
2
1
P E El lo lo12 89 12
2
1
2
1
P P Pi r l
入 射 功率反 射 功 率透 射 功 率这个问题的实际背景可用在测地、警报器等工程方面 。
二、传输线的波类比三,行驻波佯谬行驻波条件下，电压和电流一般表示式为
U z U e e
I z I e e
l
j z
l
j z
l
j z
l
j z
( ' )
( ' )
' '
' '
我们至少可以作两种不同的分解。
二、传输线的波类比
U z U e
j U e z z
I z I e
j I e z z
l l
j z
l l
j
l l
j z
l l
j
l
l
( ' ) ( | | )
| | si n ( ' )
( ' ) ( | | )
| | c os ( ' )
'
( )
'
( )
1
2
1
2
1
2
1
2
U z U e
U z
I z I e
I z
l l
j z
l l
l l
j z
l l
( ' ) ( )
c os '
( ' ) ( )
c os '
'
'
1
2
1
2
分解方法 Ⅰ( 本讲义 ) 分解方法 Ⅱ
二、传输线的波类比事实上,上面两种分解都是形式上的 。 但是有的教材上提及第一项表示行波,第二项表示 (全 )驻波 。 这个概念是完全错误的 。 先考察分解方法 Ⅱ 。 当 Γl=－ 1(即全驻波情况下 ),第一项所谓,行波,场 。 这显然是有问题的 。 再看分解方法 Ⅰ 的第一项电压与电流形成功率
2U el j z '
P U Z P Pl l i r
| |
( | | )
2
0
21?
究 其原因,不论把行驻波的电压,电流如何分解,都做不到第一项的电压与第二项的电流 (或考第二项的电压与第一项的电流 )不产生相互作用,继而形成实功率 。
结论,行驻波场无法分解成行波场 +驻波场。
二、传输线的波类比四,阻抗问题阻抗是传输线问题中最重要的参数之一。
Z Z
Z jZ z
Z jZ z
Z Z
Z jZ z
Z jZ z
in
l
l
l
in
in
0
0
0
0
0
0
ta n '
ta n '
ta n '
ta n '
I nve r se F or mul a
Z z Z
j z z
j z z
Z =Z =
Z Z
Z Z
U
U
l
l
l
l
l
l
( ' )
ta n ( ' )
ta n ( ' )
| |
| |
| |
| |
ma x
min
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
z g Z Z
z g Z = Z
Z
in l
in
l
'
'
1
2
1
4
0
2
l
l
l
R
ZZR
Z
RZR
0
0l
0
0
0l
Z
Z
二、传输线的波类比
1．阻抗变换问题
［例 2］ 典型的两个例子如表所示
Z0
A
A
1/4?g
2Z 0 4Z 0
Z Z
Z
Z
Z
Z
Z Z
A
B
C
2
1
2
2
0
0
2
0
0
0
Z ZZ ZA( )24 0 2
0
0
C A Z0 2Z 0
B
Z0
1/2?g
1/4?g
二、传输线的波类比
[ ]A
Z
A Z A
A Z A
Z
C
l
l
1 0
1
2
1
1 0
0 1
1 0
1
2
1
111 12
21 22
0
[ ]A
j
j
Z
j
j
ZA
0 2
1
2
0
2
1
2
4
10
采用矩阵法 采用矩阵法 (对 Z0归一 )
上面例子都涉及通过传输线变换,把 Zl变成 Z０
这一课题称为匹配 （ Matching） 。
2,采用网络思想求负载阻抗 Zl
二、传输线的波类比
I1 I2
Net?u
1?u2
图 6-4 网络思想网络思想是一种非常普遍的处理问题方法,它把一线性系统用一个由若干端口对外的未知网络表示 。 例如,
上图给出两个端口的网络 。
双口网络总可以用 ［ A］ 表征
A A AA A11 12
21 22
二、传输线的波类比它由四个复未知参量构成 。
如果网络互易,则由于约束条件便只有三个未知复参数 。 只要求得这三个参量,我们即可全部了解该系统 。 采用不同输入测得不同输出,只需通过三种复情况即可实现 。 这种方法就是著名的三点法测量 。
［例 3］ 无耗传输线段是一种特殊的网络。互易、无耗、对称三个约束条件使这个网络只有一个复参量 (
具体是 θ和 Z０ )。
二、传输线的波类比
Zin Zin ZinZ0 Z0Z0 Zl
Zinsc Zinoc Zin
Z Z Z ZZ Zl inoc in
oc
in
in in
oc?
已知短路时 开路时 Zl(未知 )时的求
[证明 ] 由一般公式
Z Z Z jZZ jZl
i
( )0 0
0
tg
tg
二、传输线的波类比也即
Z jZ Z jZjZ Zin l
l
0 0
0
c t g tgc t g
计及,代入可知Z jZ Z jZinoc inoc0 0tg,c t g
Z Z Z ZZ Zl inoc in
oc
in
in in
oc?
3.利用最小点 (节点 )位置 dmin和驻波比 ρ导出负载阻抗 Zl
dmin
Zl
1
图 6-5 利用 dmin和?求 Zl
二、传输线的波类比在行波传输线中,最小点的阻抗是已知的,即为 。
我们利用这一点与负载距离,可求出 Zl。
离波节点 处的输入阻抗
Z0
z'
Z Z j zj zin0 1t a n 't a n '
针对目前问题只需进行替换 即有z d Z Zl in',m i n
Z Z j dj dl0 1t a nt a n m i n
m i n
Note,实际测量中可以用短路片找到负载的周期位置。
二、传输线的波类比附 录 APPENDIX
行驻波场讨论在行驻波情况下，电压、电流的最一般分解可写为
U z U A e U Ae e
I z I A e I Ae e
l
j z
l
j z
l
j z
l
j z
l
j z
l
j z
( ' ) ( ) ( )
( ' ) ( ) ( )
' ' '
' ' '
1
1
其中,A是最一般的复参数，则实功率分成三部分
])1[(2
)|||(|
|1||1|
2
1
22
22
AARPP
APP
APAIURP
i
li
ille
ⅠⅡ
Ⅱ
Ⅰ第一部分第二部分交叉场可见除去 A=0,一般总有交叉场功率，作为例子
U z U e U e e
I z I e I e e
l l
j z
l l
j z
l
j z
l l
j z
l l
j z
l
j z
( ' ) | | ( | | )
( ' ) | | ( | | )
' ' '
' ' '
1 1 1
1 1 1
2 2
2 2
这种情况下，初看起来第一项似乎是行波场，但实际上第二项功率不为 0 。
P Pl l iⅡ2 1 1 12 2| | | |
因此，它肯定不是驻波 (Standing Wave)。
附 录 APPENDIX
可见符合功率关系 。
由此可知，不能把行驻波场分解成行波场＋驻波场。
附 录 APPENDIX
交叉项P P P
l l iⅠⅡ Ⅱ2 1 1 12 2| | | |
PROBLEM6
用公式和圆图两种方法求解下列各题。
一,已知阻抗 Z=50-j50,Z0=50,求导纳 Y。
二,已知阻抗,求反射系数 和驻波比 。Z j1
三,已知 Zl=100+j50,Z0=50,离点找,求 Zin。l? 0 24,?
四,在 Z0为 50W的无耗线上,r=5,电压波节点距负载
l/3,求负载阻抗 Zl 。
Problems
一,传输线问题的两种解法我们已经学习了传输线问题的两种解法 —— 微分方程法和矩阵法 。
传输线问题微分方程解矩阵解图 6-1 传输线问题两种解法一、传输线问题的两种解法微分方程法 —— 简单地说,即通解加上边界条件 。
通解 —— 是由支配方程决定的,它反映了事物的普遍性 。 例如,对于传输线方程,不论具体情况如何,
它总是由入射波和反射波构成 。
边界条件 —— 则反映事物的特殊性 。 例如,传输线的边界条件确定了具体情况下入射波和反射波的不同比例或组合 。
为了加深这一概念：我们可以观察长江,在四川三峡咆哮如虎,而在扬州,镇江则是一马平川,
是否大家考虑到长江符合同一支配微分方程 。 它们在各地的不同表现完全由当地的边界条件 (Boundary
Conditions)决定 。
可以有兴趣地指出,文章也与边界条件有关,
大文豪苏轼说过：,吾文如万斛泉源,不择地而出 。
在平地滔滔汨汨,虽一日千里无难 。 及其与山石曲折,随物赋形而不可知也 。,大家看写得多么具体,
这一边界条件即当时的时势 。
一、传输线问题的两种解法矩阵解 —— 强调输入输出的变换关系,对于传输线段,有
(6-1)[ ] c os sin
sin c osA
jZ
j
Z
0
0
1
微分方程解正好孕育着简正波思想 (Eigen Modes)，
而矩阵解则对应网路思想 (Network Theory)。
传输线问题中，原来的一次特征参数是 L,C。 求解出的二次特征参数是 Z０ 和,工作参数是 Γ,Z和 ρ?
一、传输线问题的两种解法传输线工作参数
( ')z
Z z( ')
) '(z?
( ' ) ( ' )( ' )z U zU z el j z 2?( ' ) ( ' )( ' )z Z z ZZ z Z 0
0 | ( ' )|? z?
1
1
Z z( ')
Z z Z zz( ' ) ( ' )( ' )0 11 Z z U zI z Z Z jZZ jZl
l
( ' ) ( ' )( ' )0 0
0
tg
tg
Z z
j z z
j z z( ' )
t a n ( ' )
t a n ( ' )?
1
11 | ( ' )|| ( ' )| zz( ) ( )( ) ( )R Z x R Z xR Z x R Z xl ll l1 0
2 2 1 0 2 2
1 0 2 2 1 0 2 2
| ( ' )| m a x
| ( ' )| m in
U z
U z
反射系数 阻抗 VSWR
一、传输线问题的两种解法二、传输线的波类比传输线的基本解是由入射波和反射波构成的 。 它与分层介质波有着对应的类比 。 这是因为它们都是波动性的反映 。
［ 例 1］
图 6-2
两种半无限大介质如图,左边有垂直入射波,已知
Ei(0)=Eio,试导出左右两区域合成波表达式,并画出合成波振幅 |E(z)|分布图 。
Ei Et
HtSiHi
Er
HrSr
St
4
0 z
［解］ 先分区写出一般解的形式区域≥
区域≤
0
)(
)(
0
)(
)(
z
eHzH
eEzE
z
eHeHzH
eEeEzE
j k z
lo
j k z
lo
j k z
ro
j k z
lo
j k z
ro
j k z
lo
一般解的写出是基于任何区域解都是由入射波加反射波构成 。 所不同的是 z≥ 0无反射波 。
再考虑边界接口条件 (z=0处电磁场切向分量连续 )
E E E
H H H
io ro lo
io ro lo
二、传输线的波类比于是有
E E
H H
E
H
io ro
io ro
lo
lo
计及
21
2
0
0
1
0
0
)(
)(
2
1
roio
roio
lo
lo
ro
ro
io
io
EE
EE
H
E
H
E
H
E
二、传输线的波类比
ioiolo
ioioro
EEE
EEE
3
22
3
1
12
2
12
12
左边区域合成场
E z E e E e E kz j kz
E z E kz
io
j k z
io
j k z
io
io
( ) ( c o s s i n )
| ( ) | | s i n
1
3
2
3
2
2
3
1 3 2
而右边区域的合成场
E z E e
E z E
io
j k z
io
( )
| ( ) | |
2
3
2
3
画出图来可以明显看出，左边区域的最大场强是二、传输线的波类比
| ( )| | |m a xE z E io? 43
也就是说最大场强超过入射场强 |Eio | 。 这并不违反能量守恒定律。 3
3
| E |i0
| E |i0
4
2
0 z
图 6-3
考察功率关系：
二、传输线的波类比
P Ei io? 12
2
1?
P E Er ro ro12 19 12
2
1
2
1
P E El lo lo12 89 12
2
1
2
1
P P Pi r l
入 射 功率反 射 功 率透 射 功 率这个问题的实际背景可用在测地、警报器等工程方面 。
二、传输线的波类比三,行驻波佯谬行驻波条件下，电压和电流一般表示式为
U z U e e
I z I e e
l
j z
l
j z
l
j z
l
j z
( ' )
( ' )
' '
' '
我们至少可以作两种不同的分解。
二、传输线的波类比
U z U e
j U e z z
I z I e
j I e z z
l l
j z
l l
j
l l
j z
l l
j
l
l
( ' ) ( | | )
| | si n ( ' )
( ' ) ( | | )
| | c os ( ' )
'
( )
'
( )
1
2
1
2
1
2
1
2
U z U e
U z
I z I e
I z
l l
j z
l l
l l
j z
l l
( ' ) ( )
c os '
( ' ) ( )
c os '
'
'
1
2
1
2
分解方法 Ⅰ( 本讲义 ) 分解方法 Ⅱ
二、传输线的波类比事实上,上面两种分解都是形式上的 。 但是有的教材上提及第一项表示行波,第二项表示 (全 )驻波 。 这个概念是完全错误的 。 先考察分解方法 Ⅱ 。 当 Γl=－ 1(即全驻波情况下 ),第一项所谓,行波,场 。 这显然是有问题的 。 再看分解方法 Ⅰ 的第一项电压与电流形成功率
2U el j z '
P U Z P Pl l i r
| |
( | | )
2
0
21?
究 其原因,不论把行驻波的电压,电流如何分解,都做不到第一项的电压与第二项的电流 (或考第二项的电压与第一项的电流 )不产生相互作用,继而形成实功率 。
结论,行驻波场无法分解成行波场 +驻波场。
二、传输线的波类比四,阻抗问题阻抗是传输线问题中最重要的参数之一。
Z Z
Z jZ z
Z jZ z
Z Z
Z jZ z
Z jZ z
in
l
l
l
in
in
0
0
0
0
0
0
ta n '
ta n '
ta n '
ta n '
I nve r se F or mul a
Z z Z
j z z
j z z
Z =Z =
Z Z
Z Z
U
U
l
l
l
l
l
l
( ' )
ta n ( ' )
ta n ( ' )
| |
| |
| |
| |
ma x
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0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
z g Z Z
z g Z = Z
Z
in l
in
l
'
'
1
2
1
4
0
2
l
l
l
R
ZZR
Z
RZR
0
0l
0
0
0l
Z
Z
二、传输线的波类比
1．阻抗变换问题
［例 2］ 典型的两个例子如表所示
Z0
A
A
1/4?g
2Z 0 4Z 0
Z Z
Z
Z
Z
Z
Z Z
A
B
C
2
1
2
2
0
0
2
0
0
0
Z ZZ ZA( )24 0 2
0
0
C A Z0 2Z 0
B
Z0
1/2?g
1/4?g
二、传输线的波类比
[ ]A
Z
A Z A
A Z A
Z
C
l
l
1 0
1
2
1
1 0
0 1
1 0
1
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111 12
21 22
0
[ ]A
j
j
Z
j
j
ZA
0 2
1
2
0
2
1
2
4
10
采用矩阵法 采用矩阵法 (对 Z0归一 )
上面例子都涉及通过传输线变换,把 Zl变成 Z０
这一课题称为匹配 （ Matching） 。
2,采用网络思想求负载阻抗 Zl
二、传输线的波类比
I1 I2
Net?u
1?u2
图 6-4 网络思想网络思想是一种非常普遍的处理问题方法,它把一线性系统用一个由若干端口对外的未知网络表示 。 例如,
上图给出两个端口的网络 。
双口网络总可以用 ［ A］ 表征
A A AA A11 12
21 22
二、传输线的波类比它由四个复未知参量构成 。
如果网络互易,则由于约束条件便只有三个未知复参数 。 只要求得这三个参量,我们即可全部了解该系统 。 采用不同输入测得不同输出,只需通过三种复情况即可实现 。 这种方法就是著名的三点法测量 。
［例 3］ 无耗传输线段是一种特殊的网络。互易、无耗、对称三个约束条件使这个网络只有一个复参量 (
具体是 θ和 Z０ )。
二、传输线的波类比
Zin Zin ZinZ0 Z0Z0 Zl
Zinsc Zinoc Zin
Z Z Z ZZ Zl inoc in
oc
in
in in
oc?
已知短路时 开路时 Zl(未知 )时的求
[证明 ] 由一般公式
Z Z Z jZZ jZl
i
( )0 0
0
tg
tg
二、传输线的波类比也即
Z jZ Z jZjZ Zin l
l
0 0
0
c t g tgc t g
计及,代入可知Z jZ Z jZinoc inoc0 0tg,c t g
Z Z Z ZZ Zl inoc in
oc
in
in in
oc?
3.利用最小点 (节点 )位置 dmin和驻波比 ρ导出负载阻抗 Zl
dmin
Zl
1
图 6-5 利用 dmin和?求 Zl
二、传输线的波类比在行波传输线中,最小点的阻抗是已知的,即为 。
我们利用这一点与负载距离,可求出 Zl。
离波节点 处的输入阻抗
Z0
z'
Z Z j zj zin0 1t a n 't a n '
针对目前问题只需进行替换 即有z d Z Zl in',m i n
Z Z j dj dl0 1t a nt a n m i n
m i n
Note,实际测量中可以用短路片找到负载的周期位置。
二、传输线的波类比附 录 APPENDIX
行驻波场讨论在行驻波情况下，电压、电流的最一般分解可写为
U z U A e U Ae e
I z I A e I Ae e
l
j z
l
j z
l
j z
l
j z
l
j z
l
j z
( ' ) ( ) ( )
( ' ) ( ) ( )
' ' '
' ' '
1
1
其中,A是最一般的复参数，则实功率分成三部分
])1[(2
)|||(|
|1||1|
2
1
22
22
AARPP
APP
APAIURP
i
li
ille
ⅠⅡ
Ⅱ
Ⅰ第一部分第二部分交叉场可见除去 A=0,一般总有交叉场功率，作为例子
U z U e U e e
I z I e I e e
l l
j z
l l
j z
l
j z
l l
j z
l l
j z
l
j z
( ' ) | | ( | | )
( ' ) | | ( | | )
' ' '
' ' '
1 1 1
1 1 1
2 2
2 2
这种情况下，初看起来第一项似乎是行波场，但实际上第二项功率不为 0 。
P Pl l iⅡ2 1 1 12 2| | | |
因此，它肯定不是驻波 (Standing Wave)。
附 录 APPENDIX
可见符合功率关系 。
由此可知，不能把行驻波场分解成行波场＋驻波场。
附 录 APPENDIX
交叉项P P P
l l iⅠⅡ Ⅱ2 1 1 12 2| | | |
PROBLEM6
用公式和圆图两种方法求解下列各题。
一,已知阻抗 Z=50-j50,Z0=50,求导纳 Y。
二,已知阻抗,求反射系数 和驻波比 。Z j1
三,已知 Zl=100+j50,Z0=50,离点找,求 Zin。l? 0 24,?
四,在 Z0为 50W的无耗线上,r=5,电压波节点距负载
l/3,求负载阻抗 Zl 。
