第 5章 传输线矩阵解
Matrix Process Analysis
上一讲我们对于全驻波传输线和行驻波传输线引进了标准状态和等效长度 的概念。在全驻波传输线中，把短路工作状态作为标准状态；完全类似，在行驻波状？态中，则把小负载电阻 ＜ 作为标准状态，其它状态只是在标准状态？上加一个等效长度
(Note,可正可负 )。当正式写电压、电流场沿线分？
布时还需考虑一附加相位。
这种阻抗面移动的思想对于微波工程中的其它问题也有很大的启发。
z?
ll RZ? 0Z
z?
z?
标准状态短路或小电阻 ＜lR 0Z
任意状态等效长度附加相位
z?
lje 21
Matrix Process Analysis
今天，我们将从更高的立点来看待传输线问题。
从一般情况看来，传输线的文章似乎已经做完，
它相当于微分方程的通解加边界条件。
输线方程一次特征参数
，L C
通 解二次特征参数
W LC Z
L
C
,0
边界条件确定,
工作参数
１A A
Z
2
,,?
传输线一般解法一、传输线段的矩阵解一、传输线段的矩阵解在上面讨论中已给我们一个重要启示：传输线的各种应用都可以归结为一段长度？为 l的传输线段，
不管是短路、开路或任意负载。
传输线段起到变换的作用，而矩阵理论恰恰是表征这种变换的最好数学工具。因此，产生了传输线段的矩阵解思想。
变换的另一个特点是在考虑求解中，把两边
(输入和输出 )边界条件,挂空,。因此，所得到的结果可适合任何边界条件。
一、传输线段的矩阵解传输线方程 Laplace变换 传输线段矩阵传输线段矩阵解我们还是从最一般无耗传输线方程出发进行讨论。
(5-1)dUdz j LI
dL
dz
j cU
一、传输线段的矩阵解采用 Laplace变换 (严格地说是单边变换 )
(5-2)
现在考虑一段长度为 l的传输线段，在这一节，
从负载出发的坐标用 z 表示，对式 (5-1)左边作
Laplace变换
(5-3)
V s U z e dz
J s I z e dz
sz
sz
( ) ( )
( ) ( )
0
0
L
L
dU
dz
sV s U
dI
dz
sJ s I
( ) ( )
( ) ( )
0
0
一、传输线段的矩阵解
z 0
U(l) U(0)
l
I(l) I(0)
图 5-1 传输线段坐标代入式 (5-2)，有
sV s j LI s U
j CV s sJ s I
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0
0
(5-4)
一、传输线段的矩阵解可以解出
(5-5)
注意到 Laplace逆变换
(5-6)
V s
sU j LI
s LC
J s
j CU sl
s LC
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
0 0
0 0
2 2
2 2
L
L
1
2 2
1
2 2
a
s a
at
s
s a
at
si n
c os
一、传输线段的矩阵解对式 (5-5)施以 Laplace逆变换，有
(5-7)
其中,。 又令称为电长度,(5-7)
式的矩阵形式是
(5-8)
方程 (5-8)称为传输线段矩阵。可以说，只需记住这一矩阵，即可给出大部分传输线公式。我们再一次注意到推导矩阵 (5-8)过程中没有利用任何边界条件。正因为如此，它可以适合任意边界条件。
U l lU jZ lI
I l j Z lU lI
( ) c o s ( ) s i n ( )
( ) s i n ( ) c o s ( )
0 0
1 0 0
0
0
Lc Z LC,0 l
U l
I l
jZ
j Z
U
I
( )
( )
c o s s in
s in c o s
( )
( )
0
0
1 0
0
一、传输线段的矩阵解
［讨论］
1,将式 (5-8)作为两个线性方程，且注意到则有
(5-9)
2,取式 (5-9)中,即全驻波短路状态，有
(5-10)
U l
I l Z z
U
I Z l
( )
( ) ( ),
( )
( )
0
0
Z z Z Z jZZ jZl
l
( ) t a nt a n0 0
0
Z z jZ( ) t a n? 0?
Zl?0
一、传输线段的矩阵解取式 (5-9)中,即全驻波开路状态，有
(5-11)
取式 (5-9)中,即全驻波任意状态，有令,即可导出
(5-12)
这也体现了等效相位的思想。
Zl
Z z jZ c( ) t a n 0?
Z jXl l?
Z z Z
j X Z
Z X
jZ
X
Z
X
Z
l
l
l
l
( )
( ta n )
ta n
ta n
ta n
0
0
0
0
0
0
1
ta n? l lXZ?
0
Z z jZ l( ) t a n ( )0
一、传输线段的矩阵解
3,式 (5-8)是输入端用负载端表示。如果逆过来：负载端用输入端表示，又有
(5-13)
与前面矩阵完全吻合。实际上，只须用－?取代?即可把输入输出变换位置。
U l
I l
jZ
j
Z
U l
I l
jZ
j
Z
U l
I l
( )
( )
c o s s i n
s i n c o s
( )
( )
c o s s i n
s i n c o s
( )
( )
0
0
1
0
0
1 1
二、传输矩阵的普遍理论我们进一步推广上述矩阵思想。在上面讨论中，
归结起来是传输线段矩阵把输入电压电流和输出电压电流线性地联系起来，或者说，通过传输线段矩阵的变换，把负载电压电流变成输入电压电流。
这种思想可作合理的拓广，即中间的变换矩阵不一定是传输线段 —— 这就是著名？的网络思想。一个线性网络 (Network),输入电压电流 U1,I1,输出电压电流
U2,I2可以用传输矩阵 ［ A］ 联系起来
U A U A I
I A U A I
1 11 2 12 2
1 21 2 22 2
二、传输矩阵的普遍理论
U 1
I1 I2
U 2N etw ork
图 5-2 传输矩阵 ［ A］
写成矩阵形式
(5-14)U
I
A A
A A
U
I
1
1
11 12
21 22
2
2
二、传输矩阵的普遍理论
［性质］ 1,级联性质如果第 Ⅰ 个网络的输出端口是第 Ⅱ 个网络的输入端口，则称这两个网络级联 (Cascade)。 有则可知
U
I A
U
I
1
1
1
2
2
[ ] UI A UI2
2
1
3
3
[ ]
U
I A A
U
I
1
1
3
3
[ ][ ]Ⅰ Ⅱ (5-15)
二、传输矩阵的普遍理论推广到 N个网络级联，则总的 ［ A］ 矩阵等于各
［ A］ 矩阵依次乘积即
(5-16)
图 5-3 网络级联
U
I A
U
Ii
N
Ni
N
1
1 1
[ ]
Net
I1
U1 U2 U3
I3I2
Net
二、传输矩阵的普遍理论
2,对称性质对称网络 (例如，无耗传输线 )，有
(5-17)
3,无耗性质无耗网络，可知
(5-18)
A A11 22?
A A
A
11 22
21
,
,
Re a l
A I m a g e n a r y12
二、传输矩阵的普遍理论
4,互易性质在互易网络中，［ A］ 矩阵的行列式值等于 1，即
(5-19)
5,阻抗变换性质
(5-20)
d e t[ ]A? 1
Z A Z AA Z Ain l
l
11 12
21 22
三、典型 ［ A］ 矩阵四、应用举例
［例 1］如图示，
,求输入驻波比。
图 5-4
Z j L C PF Z = f zl = 100 + 200 = 0 1 H = 20 MH，,,,? 0 50 300
P C L Z lZ 0Z 0Z 0
0.1 l 0.2 l
四、应用举例
［解］将系统对 Z0归一化
Z Z Z j
Y CZ
Y
Z
L
l
l
l l
/
.
.
.
.
0
1 0
8 12
2
0
8 7
1 1
2
2 4
2 3 10 20 10 50 1 8850
50
2 3 10 10
0 2653
2
0 1 36
2
2
0 2 72
采用矩阵解 —— 先不考虑,注意归一化的传输段矩阵为
Zl
四、应用举例
c o s s in
s in c o s
[ ]
.
c o s s in
s in c o s,
c o s s in
s in c o s
j
j
A
j
j
j j
j
j
1 0
1 8850 1
36 36
36 36
1 0
0 2653 0
72 72
72 72
c o s s in
(,c o s s in ) c o s,s in,
c o s s in
s in c o s
c o s s in
(,c o s s in,,s in,c o s c o s,s in
36 36
1 8850 36 36 36 1 8850 36
1 0
0 2653 1
72 72
72 72
36 36
1 850 36 36 1 8850 0 2565 36 0 2653 36 36 1 8850 36
j
j j
j
j
j
j g
c o s s i n
s i n c o s
72 72
72 72
j
j?
四、应用举例
0 96496 0 58779
2 19210 0 29896
0 30902 0 95106
0 95106 0 30902
0 26083 1 09937
0 39307 2 17720
2 4 26083 1 09937
2 4 39307 2 17720
0 52166 0 05605
3
11 12
21 22
.,
.,
.,
.,
.,
.,
( )0,,
( )0,,
.,
j
j
j
j
j
j
Z
A Z A
A Z A
j j
j j
j
in
l
l
.,
.,
.,
.,
.,
| |
.
.
.
| |
| |
.
74948 0 39307
0 52166 0 05605
3 749480 0 39307
1
1
3 22782 0 44912
4 27114 0 39307
3 25892
4 28442
0 76064
1
1
7 35561
j
j
j
Z
Z
j
j
in
in
四、应用举例
［例 2］如图电路表示双管电调 pin管衰减器。求输入驻波比为 1时,R1和 R2两只管子电阻的约束条件。
图 5-5 双管 PIN电调衰减器
l /4
R 1 R 2 Z l =1Z 0 =1Z in =1
四、应用举例
［解］采用矩阵来求解
A
R
j
j
R
j
R
R R R
Z
A Z A
A Z A
R
R R R
in
l
l
1 0
1
1
0
0
1 0
1
1
1
1
1
1 1
1
1
1
1 1
1
1 2
2
1 2 1
11 12
21 22
2
1 2 1
可得到条件是能保证衰减器输入端匹配。
R R1 21
附 录 APPENDIX
Laplace变换
1,Laplace变换导数性质
［证明］由 Laplace变换定义
Laplace变换条件
L f t sL f t f[ ' ( )] [ ( )] ( ) 0
L f t f t e dt e df t
f t e s f t e dt
st st
st st
[ ' ( )] ' ( ) ( )
( ) | ( )
00
0 0
l
stf t e
lim ( ) 0
因此，有
2,线性方程组求解附 录 APPENDIX
L f t sL f t f[ ' ( )] [ ( )] ( ) 0
sV s j LJ s U
j CV s SJ s I
D
s j L
j C s
s LC
D
U j L
I s
sU j LI
D
s U
j C I
j CU sI
v
J
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
0
0
0
0
0 0
0
0
0 0
2 2
附 录 APPENDIX
最后得到
V S
sU j LI
s LC
J S
j CU sI
s LC
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
0 0
0 0
2 2
2 2
3,Laplace逆变换
L
L
1
2 2
1
2 2
a
s a
at
S
s a
at
si n
c os
附 录 APPENDIX
［证明］根据定义其中
L
1
2 2 2 2 00 2
1 1a
s a
a
s a e ds
j
s ja s ja e ds
st st
1 1
1 1
0
0
s ja
e ds e
s ja
e d s ja
e e e
s ja
e ds e
s ja
e d s ja
e e e
st jat s ja
ja
jat s ja t
ja
jat
st jat s ja
ja
jat s ja t
ja
jat
( )
( )
( )
( )
( )
|
( )
|
附 录 APPENDIX
于是完全类似地，有
L1 2 2 12as a j e e atj a t j a t( ) s i n
L1 2 2as a atc o s
附 录 APPENDIX
4,无耗传输线段解为了适应逆变换公式，重新写出令 作逆变换有
V s
sU j
L
C
LC I
s LC
J s
j
L
C
LC I SI
s LC
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
0 0
0 0
2 2
2 2
LCCLZ,0
)0(c o s)0(s i n1)(
)0(s i n)0( c o s)(
0
0
zIzU
Z
jzI
zIjZzUzU
PROBLEMS 5
一,图示为矩形波导 H面的 U形拐角等效电路,x是归一化电抗,b是归一化导纳,已知,x=2,b=1若端接匹配负载,即 zl=1,问,q为何值时能量传输最佳？
jx jx
jx
jx
z
in z =1l
jb jb
Matrix Process Analysis
上一讲我们对于全驻波传输线和行驻波传输线引进了标准状态和等效长度 的概念。在全驻波传输线中，把短路工作状态作为标准状态；完全类似，在行驻波状？态中，则把小负载电阻 ＜ 作为标准状态，其它状态只是在标准状态？上加一个等效长度
(Note,可正可负 )。当正式写电压、电流场沿线分？
布时还需考虑一附加相位。
这种阻抗面移动的思想对于微波工程中的其它问题也有很大的启发。
z?
ll RZ? 0Z
z?
z?
标准状态短路或小电阻 ＜lR 0Z
任意状态等效长度附加相位
z?
lje 21
Matrix Process Analysis
今天，我们将从更高的立点来看待传输线问题。
从一般情况看来，传输线的文章似乎已经做完，
它相当于微分方程的通解加边界条件。
输线方程一次特征参数
，L C
通 解二次特征参数
W LC Z
L
C
,0
边界条件确定,
工作参数
１A A
Z
2
,,?
传输线一般解法一、传输线段的矩阵解一、传输线段的矩阵解在上面讨论中已给我们一个重要启示：传输线的各种应用都可以归结为一段长度？为 l的传输线段，
不管是短路、开路或任意负载。
传输线段起到变换的作用，而矩阵理论恰恰是表征这种变换的最好数学工具。因此，产生了传输线段的矩阵解思想。
变换的另一个特点是在考虑求解中，把两边
(输入和输出 )边界条件,挂空,。因此，所得到的结果可适合任何边界条件。
一、传输线段的矩阵解传输线方程 Laplace变换 传输线段矩阵传输线段矩阵解我们还是从最一般无耗传输线方程出发进行讨论。
(5-1)dUdz j LI
dL
dz
j cU
一、传输线段的矩阵解采用 Laplace变换 (严格地说是单边变换 )
(5-2)
现在考虑一段长度为 l的传输线段，在这一节，
从负载出发的坐标用 z 表示，对式 (5-1)左边作
Laplace变换
(5-3)
V s U z e dz
J s I z e dz
sz
sz
( ) ( )
( ) ( )
0
0
L
L
dU
dz
sV s U
dI
dz
sJ s I
( ) ( )
( ) ( )
0
0
一、传输线段的矩阵解
z 0
U(l) U(0)
l
I(l) I(0)
图 5-1 传输线段坐标代入式 (5-2)，有
sV s j LI s U
j CV s sJ s I
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0
0
(5-4)
一、传输线段的矩阵解可以解出
(5-5)
注意到 Laplace逆变换
(5-6)
V s
sU j LI
s LC
J s
j CU sl
s LC
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
0 0
0 0
2 2
2 2
L
L
1
2 2
1
2 2
a
s a
at
s
s a
at
si n
c os
一、传输线段的矩阵解对式 (5-5)施以 Laplace逆变换，有
(5-7)
其中,。 又令称为电长度,(5-7)
式的矩阵形式是
(5-8)
方程 (5-8)称为传输线段矩阵。可以说，只需记住这一矩阵，即可给出大部分传输线公式。我们再一次注意到推导矩阵 (5-8)过程中没有利用任何边界条件。正因为如此，它可以适合任意边界条件。
U l lU jZ lI
I l j Z lU lI
( ) c o s ( ) s i n ( )
( ) s i n ( ) c o s ( )
0 0
1 0 0
0
0
Lc Z LC,0 l
U l
I l
jZ
j Z
U
I
( )
( )
c o s s in
s in c o s
( )
( )
0
0
1 0
0
一、传输线段的矩阵解
［讨论］
1,将式 (5-8)作为两个线性方程，且注意到则有
(5-9)
2,取式 (5-9)中,即全驻波短路状态，有
(5-10)
U l
I l Z z
U
I Z l
( )
( ) ( ),
( )
( )
0
0
Z z Z Z jZZ jZl
l
( ) t a nt a n0 0
0
Z z jZ( ) t a n? 0?
Zl?0
一、传输线段的矩阵解取式 (5-9)中,即全驻波开路状态，有
(5-11)
取式 (5-9)中,即全驻波任意状态，有令,即可导出
(5-12)
这也体现了等效相位的思想。
Zl
Z z jZ c( ) t a n 0?
Z jXl l?
Z z Z
j X Z
Z X
jZ
X
Z
X
Z
l
l
l
l
( )
( ta n )
ta n
ta n
ta n
0
0
0
0
0
0
1
ta n? l lXZ?
0
Z z jZ l( ) t a n ( )0
一、传输线段的矩阵解
3,式 (5-8)是输入端用负载端表示。如果逆过来：负载端用输入端表示，又有
(5-13)
与前面矩阵完全吻合。实际上，只须用－?取代?即可把输入输出变换位置。
U l
I l
jZ
j
Z
U l
I l
jZ
j
Z
U l
I l
( )
( )
c o s s i n
s i n c o s
( )
( )
c o s s i n
s i n c o s
( )
( )
0
0
1
0
0
1 1
二、传输矩阵的普遍理论我们进一步推广上述矩阵思想。在上面讨论中，
归结起来是传输线段矩阵把输入电压电流和输出电压电流线性地联系起来，或者说，通过传输线段矩阵的变换，把负载电压电流变成输入电压电流。
这种思想可作合理的拓广，即中间的变换矩阵不一定是传输线段 —— 这就是著名？的网络思想。一个线性网络 (Network),输入电压电流 U1,I1,输出电压电流
U2,I2可以用传输矩阵 ［ A］ 联系起来
U A U A I
I A U A I
1 11 2 12 2
1 21 2 22 2
二、传输矩阵的普遍理论
U 1
I1 I2
U 2N etw ork
图 5-2 传输矩阵 ［ A］
写成矩阵形式
(5-14)U
I
A A
A A
U
I
1
1
11 12
21 22
2
2
二、传输矩阵的普遍理论
［性质］ 1,级联性质如果第 Ⅰ 个网络的输出端口是第 Ⅱ 个网络的输入端口，则称这两个网络级联 (Cascade)。 有则可知
U
I A
U
I
1
1
1
2
2
[ ] UI A UI2
2
1
3
3
[ ]
U
I A A
U
I
1
1
3
3
[ ][ ]Ⅰ Ⅱ (5-15)
二、传输矩阵的普遍理论推广到 N个网络级联，则总的 ［ A］ 矩阵等于各
［ A］ 矩阵依次乘积即
(5-16)
图 5-3 网络级联
U
I A
U
Ii
N
Ni
N
1
1 1
[ ]
Net
I1
U1 U2 U3
I3I2
Net
二、传输矩阵的普遍理论
2,对称性质对称网络 (例如，无耗传输线 )，有
(5-17)
3,无耗性质无耗网络，可知
(5-18)
A A11 22?
A A
A
11 22
21
,
,
Re a l
A I m a g e n a r y12
二、传输矩阵的普遍理论
4,互易性质在互易网络中，［ A］ 矩阵的行列式值等于 1，即
(5-19)
5,阻抗变换性质
(5-20)
d e t[ ]A? 1
Z A Z AA Z Ain l
l
11 12
21 22
三、典型 ［ A］ 矩阵四、应用举例
［例 1］如图示，
,求输入驻波比。
图 5-4
Z j L C PF Z = f zl = 100 + 200 = 0 1 H = 20 MH，,,,? 0 50 300
P C L Z lZ 0Z 0Z 0
0.1 l 0.2 l
四、应用举例
［解］将系统对 Z0归一化
Z Z Z j
Y CZ
Y
Z
L
l
l
l l
/
.
.
.
.
0
1 0
8 12
2
0
8 7
1 1
2
2 4
2 3 10 20 10 50 1 8850
50
2 3 10 10
0 2653
2
0 1 36
2
2
0 2 72
采用矩阵解 —— 先不考虑,注意归一化的传输段矩阵为
Zl
四、应用举例
c o s s in
s in c o s
[ ]
.
c o s s in
s in c o s,
c o s s in
s in c o s
j
j
A
j
j
j j
j
j
1 0
1 8850 1
36 36
36 36
1 0
0 2653 0
72 72
72 72
c o s s in
(,c o s s in ) c o s,s in,
c o s s in
s in c o s
c o s s in
(,c o s s in,,s in,c o s c o s,s in
36 36
1 8850 36 36 36 1 8850 36
1 0
0 2653 1
72 72
72 72
36 36
1 850 36 36 1 8850 0 2565 36 0 2653 36 36 1 8850 36
j
j j
j
j
j
j g
c o s s i n
s i n c o s
72 72
72 72
j
j?
四、应用举例
0 96496 0 58779
2 19210 0 29896
0 30902 0 95106
0 95106 0 30902
0 26083 1 09937
0 39307 2 17720
2 4 26083 1 09937
2 4 39307 2 17720
0 52166 0 05605
3
11 12
21 22
.,
.,
.,
.,
.,
.,
( )0,,
( )0,,
.,
j
j
j
j
j
j
Z
A Z A
A Z A
j j
j j
j
in
l
l
.,
.,
.,
.,
.,
| |
.
.
.
| |
| |
.
74948 0 39307
0 52166 0 05605
3 749480 0 39307
1
1
3 22782 0 44912
4 27114 0 39307
3 25892
4 28442
0 76064
1
1
7 35561
j
j
j
Z
Z
j
j
in
in
四、应用举例
［例 2］如图电路表示双管电调 pin管衰减器。求输入驻波比为 1时,R1和 R2两只管子电阻的约束条件。
图 5-5 双管 PIN电调衰减器
l /4
R 1 R 2 Z l =1Z 0 =1Z in =1
四、应用举例
［解］采用矩阵来求解
A
R
j
j
R
j
R
R R R
Z
A Z A
A Z A
R
R R R
in
l
l
1 0
1
1
0
0
1 0
1
1
1
1
1
1 1
1
1
1
1 1
1
1 2
2
1 2 1
11 12
21 22
2
1 2 1
可得到条件是能保证衰减器输入端匹配。
R R1 21
附 录 APPENDIX
Laplace变换
1,Laplace变换导数性质
［证明］由 Laplace变换定义
Laplace变换条件
L f t sL f t f[ ' ( )] [ ( )] ( ) 0
L f t f t e dt e df t
f t e s f t e dt
st st
st st
[ ' ( )] ' ( ) ( )
( ) | ( )
00
0 0
l
stf t e
lim ( ) 0
因此，有
2,线性方程组求解附 录 APPENDIX
L f t sL f t f[ ' ( )] [ ( )] ( ) 0
sV s j LJ s U
j CV s SJ s I
D
s j L
j C s
s LC
D
U j L
I s
sU j LI
D
s U
j C I
j CU sI
v
J
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
0
0
0
0
0 0
0
0
0 0
2 2
附 录 APPENDIX
最后得到
V S
sU j LI
s LC
J S
j CU sI
s LC
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
0 0
0 0
2 2
2 2
3,Laplace逆变换
L
L
1
2 2
1
2 2
a
s a
at
S
s a
at
si n
c os
附 录 APPENDIX
［证明］根据定义其中
L
1
2 2 2 2 00 2
1 1a
s a
a
s a e ds
j
s ja s ja e ds
st st
1 1
1 1
0
0
s ja
e ds e
s ja
e d s ja
e e e
s ja
e ds e
s ja
e d s ja
e e e
st jat s ja
ja
jat s ja t
ja
jat
st jat s ja
ja
jat s ja t
ja
jat
( )
( )
( )
( )
( )
|
( )
|
附 录 APPENDIX
于是完全类似地，有
L1 2 2 12as a j e e atj a t j a t( ) s i n
L1 2 2as a atc o s
附 录 APPENDIX
4,无耗传输线段解为了适应逆变换公式，重新写出令 作逆变换有
V s
sU j
L
C
LC I
s LC
J s
j
L
C
LC I SI
s LC
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
0 0
0 0
2 2
2 2
LCCLZ,0
)0(c o s)0(s i n1)(
)0(s i n)0( c o s)(
0
0
zIzU
Z
jzI
zIjZzUzU
PROBLEMS 5
一,图示为矩形波导 H面的 U形拐角等效电路,x是归一化电抗,b是归一化导纳,已知,x=2,b=1若端接匹配负载,即 zl=1,问,q为何值时能量传输最佳？
jx jx
jx
jx
z
in z =1l
jb jb
