波的叠加原理驻波演示波的干涉驻波半波损失两水波的叠加
S S1
2
§ 16-7 波的叠加原理一、波的叠加原理沿相反方向传播的两个脉冲波的叠加沿相反方向传播的两个脉冲波的叠加沿相反方向传播的两个脉冲波的叠加沿相反方向传播的两个脉冲波的叠加沿相反方向传播的两个脉冲波的叠加沿相反方向传播的两个脉冲波的叠加沿相反方向传播的两个脉冲波的叠加沿相反方向传播的两个脉冲波的叠加波的叠加原理,有几列波同时在媒质中传播时，它们的传播特性（波长、频率、波速、
波形）不会因其它波的存在而发生影响。
二、波的干涉相干波源,若有两个波源，它们的振动波源,
P点,
1
*
*
2
s
s
r1
1
r
y2
2
P
y.
ω t=y 11 1A cos )( +S j
cosω= +ty 2 22A )(S j
rπω +t=y 2
11 A cos )( 1 1j l
πωy t 2+ r=
2
2
22 cos )A ( j l
rr= 22
2 π1
1(ΔΦ )j j
l
方向相同、频率相同、周相差恒定，称这两波源为相干波源。
2A AA A cos ΦΔ= 2++ 2
22
11 A
)2 2
2 1ΦΔ = π
rr( 1
lj j
π π
π
1
1
1A
coscos
sinsin
= +
2
π
r r(
)
))
((
( 2
1
1
tg 2
2
2AA
A 22
1
rr )+
22
2
l l
l lj j
j jj
=1 2若,则有：jj
)2 2ΦΔ = π rr( 1l
)2 2ΦΔ = π rr( 1l
波程差2 rr 1 = kl±
波程差r2 ( )r1 2k 2= +1 l±
干涉加强A A A= + 21
干涉减弱A A A= 21
+2k( 1)π= ±)2 2ΦΔ = π rr( 1l若
π2k= ±)2 2ΦΔ = π rr( 1l若两波的波动方程分别为：
y+ 21= yy
驻波,一对振幅相同的相干波，在同三、驻波
y 2A + xtTcos2 π= )( l
AA xcos=振幅 22 π′ l
y 2A xtTcos1 π= )( l
22A tTcos ππ= x cos2l
的波。
一条直线上，沿相反方向传播时，叠加而成波腹位置：
波节位置：
相邻两波节（或波腹）的距离,
振幅,AA xcos= 22 π′ l
2kx = 4l
x xk+1 k = 2l
2k+1π ( )x =2 2πl
2 ππ x = 2k 2l
2k+1= )(x 4l
驻波的特点：
波节波腹传播。
3,波的强度为零，不发生能量由近及远的波节之间的质点振动相位相同。
2,波节两侧质点的振动相位相反，相邻两
1,有波节、波腹；
称媒质 1 为 波疏媒质；
四、半波损失
ρ u1 1
ρρ u u22 1 1＞若
ρ u 22 媒质 2
媒质 2 为 波密媒质。
媒质 1
1,绳子波在固定端反射叠加后的波形墙体
)
波密媒质
(反射波
y
称为 半波损失 。
入射波
y
在反射端入射波和反射波相位相反，
入射波到达两种媒质分界面时发生 相位突变在反射端形成波节。
入射波反射波叠加后的波形
y y
自由端
2,绳子波在自由端反射在自由端反射 无半波损失在反射端入射波和反射波相位相同在反射端形成波腹
[ 例 1] 以 P 点在平衡位置向正方向运动作为计时零点，写出波动方程。
y
xPo
u
d
πωy
p = Acos t )( 2
Acos dt π)(ω 2y =o [ ]+ u
Acos dt π)(ω 2= + uy [ xu ]
解,p= π2j
[ 例 2 ] 波速 u =400m/s,t = 0 s时刻的波形如图所示。写出波动方程。
t = 0
(o点 )
= = Ay0 2 2
v0 ＞ 0{
y0= 0
v0＜ 0{
2=
π
p得,j3=
π
0得,j
u
y(m)
p4
5
3
2
o x (m)
=t 0
(p点 )
π
π2
ππ ==
2
× 35
( )3 4 (m)
u
y(m)
p4
5
3
2
o x (m)
π
0p
= 2 djj
2=pj3=
π
0j
π p=2 0
d
jj
l
=ω 2πν
y π=0 4 cos )( 200 π3t
π 200== 2 4004 π S 1( )
= 4 (m)l
= π2 ul
y = Acosω t
求：驻波方程，波节及波腹的位置。
考虑到半波损失后 P点的振动方程：
cosy = d +p ( )uω tA [ π]
y cos= ( )uω t入射波 入 A x
d
y
墙面p
入射波
o x
[ 例 3 ] 设波源（在原点 O）的振动方程为：
y cos= dp ( )uω tA′
它向墙面方向传播经反射后形成驻波。
d
y
x 墙面p(叠加点 )m
入射波 反 射 波
o
考虑到半波损失后 P点的振动方程：
反射波在叠加点 (m点 ) 的振动方程：
cos 2dutA= +( )[ ]πω x
y cos dd uutA= +)([ ]πω反 x
cosy = d +p ( )uω tA [ π ]
驻波方程：
y yy= +入 反
d= 2x kl
波节,ππ πx)d (( ++ 2=2 2 1)2kl
+d (x= 4 )1l 2k
波腹,=xd )2 πππ ( + 2 22kl
+ cos 2dutA +( )[ ]πω x
cos= ( )uω tA x
coscos t2= ++( ()ππ πω x 22 d d22 [ ) π ]A ll
S S1
2
§ 16-7 波的叠加原理一、波的叠加原理沿相反方向传播的两个脉冲波的叠加沿相反方向传播的两个脉冲波的叠加沿相反方向传播的两个脉冲波的叠加沿相反方向传播的两个脉冲波的叠加沿相反方向传播的两个脉冲波的叠加沿相反方向传播的两个脉冲波的叠加沿相反方向传播的两个脉冲波的叠加沿相反方向传播的两个脉冲波的叠加波的叠加原理,有几列波同时在媒质中传播时，它们的传播特性（波长、频率、波速、
波形）不会因其它波的存在而发生影响。
二、波的干涉相干波源,若有两个波源，它们的振动波源,
P点,
1
*
*
2
s
s
r1
1
r
y2
2
P
y.
ω t=y 11 1A cos )( +S j
cosω= +ty 2 22A )(S j
rπω +t=y 2
11 A cos )( 1 1j l
πωy t 2+ r=
2
2
22 cos )A ( j l
rr= 22
2 π1
1(ΔΦ )j j
l
方向相同、频率相同、周相差恒定，称这两波源为相干波源。
2A AA A cos ΦΔ= 2++ 2
22
11 A
)2 2
2 1ΦΔ = π
rr( 1
lj j
π π
π
1
1
1A
coscos
sinsin
= +
2
π
r r(
)
))
((
( 2
1
1
tg 2
2
2AA
A 22
1
rr )+
22
2
l l
l lj j
j jj
=1 2若,则有：jj
)2 2ΦΔ = π rr( 1l
)2 2ΦΔ = π rr( 1l
波程差2 rr 1 = kl±
波程差r2 ( )r1 2k 2= +1 l±
干涉加强A A A= + 21
干涉减弱A A A= 21
+2k( 1)π= ±)2 2ΦΔ = π rr( 1l若
π2k= ±)2 2ΦΔ = π rr( 1l若两波的波动方程分别为：
y+ 21= yy
驻波,一对振幅相同的相干波，在同三、驻波
y 2A + xtTcos2 π= )( l
AA xcos=振幅 22 π′ l
y 2A xtTcos1 π= )( l
22A tTcos ππ= x cos2l
的波。
一条直线上，沿相反方向传播时，叠加而成波腹位置：
波节位置：
相邻两波节（或波腹）的距离,
振幅,AA xcos= 22 π′ l
2kx = 4l
x xk+1 k = 2l
2k+1π ( )x =2 2πl
2 ππ x = 2k 2l
2k+1= )(x 4l
驻波的特点：
波节波腹传播。
3,波的强度为零，不发生能量由近及远的波节之间的质点振动相位相同。
2,波节两侧质点的振动相位相反，相邻两
1,有波节、波腹；
称媒质 1 为 波疏媒质；
四、半波损失
ρ u1 1
ρρ u u22 1 1＞若
ρ u 22 媒质 2
媒质 2 为 波密媒质。
媒质 1
1,绳子波在固定端反射叠加后的波形墙体
)
波密媒质
(反射波
y
称为 半波损失 。
入射波
y
在反射端入射波和反射波相位相反，
入射波到达两种媒质分界面时发生 相位突变在反射端形成波节。
入射波反射波叠加后的波形
y y
自由端
2,绳子波在自由端反射在自由端反射 无半波损失在反射端入射波和反射波相位相同在反射端形成波腹
[ 例 1] 以 P 点在平衡位置向正方向运动作为计时零点，写出波动方程。
y
xPo
u
d
πωy
p = Acos t )( 2
Acos dt π)(ω 2y =o [ ]+ u
Acos dt π)(ω 2= + uy [ xu ]
解,p= π2j
[ 例 2 ] 波速 u =400m/s,t = 0 s时刻的波形如图所示。写出波动方程。
t = 0
(o点 )
= = Ay0 2 2
v0 ＞ 0{
y0= 0
v0＜ 0{
2=
π
p得,j3=
π
0得,j
u
y(m)
p4
5
3
2
o x (m)
=t 0
(p点 )
π
π2
ππ ==
2
× 35
( )3 4 (m)
u
y(m)
p4
5
3
2
o x (m)
π
0p
= 2 djj
2=pj3=
π
0j
π p=2 0
d
jj
l
=ω 2πν
y π=0 4 cos )( 200 π3t
π 200== 2 4004 π S 1( )
= 4 (m)l
= π2 ul
y = Acosω t
求：驻波方程，波节及波腹的位置。
考虑到半波损失后 P点的振动方程：
cosy = d +p ( )uω tA [ π]
y cos= ( )uω t入射波 入 A x
d
y
墙面p
入射波
o x
[ 例 3 ] 设波源（在原点 O）的振动方程为：
y cos= dp ( )uω tA′
它向墙面方向传播经反射后形成驻波。
d
y
x 墙面p(叠加点 )m
入射波 反 射 波
o
考虑到半波损失后 P点的振动方程：
反射波在叠加点 (m点 ) 的振动方程：
cos 2dutA= +( )[ ]πω x
y cos dd uutA= +)([ ]πω反 x
cosy = d +p ( )uω tA [ π ]
驻波方程：
y yy= +入 反
d= 2x kl
波节,ππ πx)d (( ++ 2=2 2 1)2kl
+d (x= 4 )1l 2k
波腹,=xd )2 πππ ( + 2 22kl
+ cos 2dutA +( )[ ]πω x
cos= ( )uω tA x
coscos t2= ++( ()ππ πω x 22 d d22 [ ) π ]A ll
