第十五章机械振动和电磁振荡地动仪东汉张衡简谐振动 —— 质点位置坐标是时间的
§ 15-1 简谐振动一、简谐振动的特征及其表式
j= t +cos( )x A ω
正弦或余弦函数。
x
F
v
v
F
-A
A
x=0F=0
弹簧振子的振动弹簧振子的振动
0 X
k
x
0 X
k
x
F
=d xdt 2
2 k
m x+ 0
由牛顿定律,kx = m d xdt 2
2
令 m =ωk 2 弹簧振子的圆频率
F kx =
kmω =
=d xdt 2
2 k
m x+ 0
得,d xdt ω
2
2
=+ 2x 0
令 m =ωk 2 弹簧振子的圆频率kmω =
方程的解为：
j= t +cos( )x A ω
j= t +cos( )A ω π2+
谐振动的速度及加速度
ωv= cos )t π2+m ( +j
A += sin( )tωω j
v= ( )tωm sin +j
Ax += cos( )tω j
xω 2=
)ωA += cos2 (ω t j
v dx= dt
a
2d x
= dt 2
m )+= cos(ω t ja
谐振动的位移、速度及加速度
v
a
v ax
x
to
T
初始条件
Ax += cos( )tω j
t = 0 时 Ax = cosj0
A = x0 ωv 0+2 22
= ωj v 0x0arctg ( )
ω jA= sinv 0
A += sin( )tωω jv
解得,
二、谐振动的振幅、周期、频率和相位
1.振幅、相位和初相
Ax += cos( )tω j
j 初相 (t =0 )时刻的相位
+( )tω j 相位 ( 或周相 )Φ =
A 振幅 (位移最大值的绝对值 )
Ax += cos( )tω j A += cos ( )tω jT +
ωT = π2
kmω =
T= 1?= π2ω
一个周期后位移相等，所以 ω T = π2
对于弹簧振子：
T π2 mk=? = π2
1 km
2.周期、频率
Ax += cos( )tω j
旋转矢量 A 与参考方向 x 的夹角,相位
M 点在 x 轴上投影点 P 的运动 规律：
三,旋转矢量、相位差
x t )(cos= +ωA j
A
x0
ω M
P
x
ω( t )+j
A 的长度,振幅 A
A 的旋转角速度：
A 的旋转的方向：
圆频率 ω
逆时针向
x
M
P
M
P x
A
注意：旋转矢量在第速度象限1
<v 0
M
P x
A
注意：旋转矢量在第速度象限2
<v 0
M
P
x
A
注意：旋转矢量在第速度象限3 <
v 0
M
P
xA
注意：旋转矢量在第速度象限4 <
v 0
相位差称振动 2超前 振动 1
12 ＞ 0jj=
若相位差
ΦΔ = tt + +(( ))2 1ω ωj j
= t +cos( )1x A 1ω j1
两频率相同的谐振动：
= t +cos( )2Ax 2 ω j2
0 x
A 1
1j
A 2
2j
或 振动 1 滞后 振动 2
振动 2超前 振动 1 相位差 12 ＞ 0jj=ΦΔ
x2
t
1x
1x
o
x2
称两振动 反相
=ΔΦ π若周相差称两振动 同步
=ΔΦ 0若周相差 A 1
A 2
0
A 2 A 10
谐振动的位移、速度及加速度的相位关系
va
v ax
x
to
T
加速度 a 与 x 位移反相速度 v超前位移 x π2
2E
k =
1
2 mv
E p 12 2= kx
E = EE k p+ A 2= 12 k
四、简谐振动的能量
Ax += cos( )tω j
A += sin( )tωω jv
( )+= 12 A ω2 2 tk cos j
)(2 += 12 mA 22 ωω sin t j
E A212 k=
E E k E p
o
x
t
Ax = cos tω
谐振子的动能、势能及总能量
to
由转动定律：
L θmg sinM =
2
2
2
mLLθ θmg = ddt
2
Lθ θ = 0d2
dt + g ω = gL
+
转动正 方 向
2J= Lm m
mg
θ
L
Lθmg~
五,角振动
=θ θ max ωcos( )+t j
M = J a
1.单摆由转动定律：
h θmg sinM =
hθmg~
M = J a
2.复摆
+
转动正 方 向
mg
θ
h
.
o
c
2
2
hθ θmg = ddtJ
2
θ θ = 0d2
dt +
mgh
J ω =
mgh
J
质心转轴
[ 例 1 ] 一弹簧振子 k = 8N/m,m= 2
kg,x0 =3 m,v0 =8 m/s
求,ω,A,j 及振动方程解,ω= km 82 == 2 (rad/s)
v
ωA x 0= 2
2+ )(
0
8= 2 +3 (
2 )
2 = 5 m几几几 ( )
8 ==
2× 3
4
3
v
0
0=tg
ωxj
x = 05 (2 t )cos 53.3
则有 2 0＜0 = Acosx j
若取 02 =126.87j
0
2 =126.87
j= 01 5 3.13j
= 5cos( )2t 0.296π
8 ==
2× 3
4
3
v
0
0=tg
ωxj
∴ 不合题意,舍去∵ x0 =3 m>0
= 01 5 3.13j取将木块压入水中，使木快上表面与水面平齐。
现用外力
[ 例 2 ] 水面上浮有一方形木块，在静止时水面以上高度为 a,水面以下高度为 b。水密度
ρρ 不计水的阻力。木快密度为为 ′
将木块压入水中，使木快上表面与水面平齐。
现用外力
[ 例 2 ] 水面上浮有一方形木块，在静止时水面以上高度为 a,水面以下高度为 b。水密度
ρρ 不计水的阻力。木快密度为为 ′
a
b
ρ
ρ
′
求证：木块将作谐振动，并写出谐振动方程。
将木块压入水中，使木快上表面与水面平齐。
现用外力
[ 例 2 ] 水面上浮有一方形木块，在静止时水面以上高度为 a,水面以下高度为 b。水密度
ρρ 不计水的阻力。木快密度为为 ′
任意位置木块受到的 合外力 为：
合外力和位移成正比，方向和位移相反，
ρ gx= s ′
ρρΣ F= ( )) bba x++ ss gg ( ′
平衡位置
b c
a,
ρ
ρ
0
xs
y
′
平衡时,+ ρρ)a b( ss gg b = 0′
任意位置
a
cb
0
x
x
s y
.
木块作谐振动。
t =0 0x =a A = a
ρ gx= s ′Σ F由上面得到：
ρω = g
(a+b)ρ
′gρρ
2
d
dt
2
+(a+b) = 0xx ′
由牛顿定律
gxρ ρ ddt 22a+s ( )= b s x′
ρ(a+b)
ρ gx= cosa t′
=0v 0 = 0j
[ 例 3 ] 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为 m
的小球，弹簧伸长量为 b 。
自然长度
[ 例 3 ] 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为 m
的小球，弹簧伸长量为 b 。
b
自然长度
mg
[ 例 3 ] 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为 m
的小球，弹簧伸长量为 b 。
b
自然长度
mg
求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。
用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。
b
自然长度静平衡时
mg
F
kb - mg = 0
[ 例 3 ] 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为 m
的小球，弹簧伸长量为 b 。用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。
求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。
b0
x
平衡位置自然长度取静平衡位置为坐标原点
[ 例 3 ] 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为 m
的小球，弹簧伸长量为 b 。用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。
求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。
自然长度 b
平衡位置任意位置时小球所受到的合外力为：
ω = km gb=
可见小球作谐振动。
Σ F = mg - k ( b + x )
得：mg - kb = 0由
= - kx
0x x 任意位置
x = b cos ( g t + )πb
00当 t 0 x b ===,v 0
ω = km
π得 A=b =j
x
AA2 1.0
0 t
ω,φ 以及振动方程。求：
[ 例 4 ] 一谐振动的振动曲线如图所示。
π=ω × 1
3 =
π
2
πA
2 x
t = 0时
0x =
A
2
t =1时
1x = 0
π x
A 3
ω = 56 π
πΦ
1= 2
ωΦ1 = t 1+j
= π3j＞ 0
0v
1 ＜ 0v =
dx
dt
x = A cos ( 56 π t π3 )
π
2
A
t =1
xπ
3
At = 0
π
π
π
2 + 3
2 = T
1
T = 125
本题 ω 的另一种求法：
§ 15-1 简谐振动一、简谐振动的特征及其表式
j= t +cos( )x A ω
正弦或余弦函数。
x
F
v
v
F
-A
A
x=0F=0
弹簧振子的振动弹簧振子的振动
0 X
k
x
0 X
k
x
F
=d xdt 2
2 k
m x+ 0
由牛顿定律,kx = m d xdt 2
2
令 m =ωk 2 弹簧振子的圆频率
F kx =
kmω =
=d xdt 2
2 k
m x+ 0
得,d xdt ω
2
2
=+ 2x 0
令 m =ωk 2 弹簧振子的圆频率kmω =
方程的解为：
j= t +cos( )x A ω
j= t +cos( )A ω π2+
谐振动的速度及加速度
ωv= cos )t π2+m ( +j
A += sin( )tωω j
v= ( )tωm sin +j
Ax += cos( )tω j
xω 2=
)ωA += cos2 (ω t j
v dx= dt
a
2d x
= dt 2
m )+= cos(ω t ja
谐振动的位移、速度及加速度
v
a
v ax
x
to
T
初始条件
Ax += cos( )tω j
t = 0 时 Ax = cosj0
A = x0 ωv 0+2 22
= ωj v 0x0arctg ( )
ω jA= sinv 0
A += sin( )tωω jv
解得,
二、谐振动的振幅、周期、频率和相位
1.振幅、相位和初相
Ax += cos( )tω j
j 初相 (t =0 )时刻的相位
+( )tω j 相位 ( 或周相 )Φ =
A 振幅 (位移最大值的绝对值 )
Ax += cos( )tω j A += cos ( )tω jT +
ωT = π2
kmω =
T= 1?= π2ω
一个周期后位移相等，所以 ω T = π2
对于弹簧振子：
T π2 mk=? = π2
1 km
2.周期、频率
Ax += cos( )tω j
旋转矢量 A 与参考方向 x 的夹角,相位
M 点在 x 轴上投影点 P 的运动 规律：
三,旋转矢量、相位差
x t )(cos= +ωA j
A
x0
ω M
P
x
ω( t )+j
A 的长度,振幅 A
A 的旋转角速度：
A 的旋转的方向：
圆频率 ω
逆时针向
x
M
P
M
P x
A
注意：旋转矢量在第速度象限1
<v 0
M
P x
A
注意：旋转矢量在第速度象限2
<v 0
M
P
x
A
注意：旋转矢量在第速度象限3 <
v 0
M
P
xA
注意：旋转矢量在第速度象限4 <
v 0
相位差称振动 2超前 振动 1
12 ＞ 0jj=
若相位差
ΦΔ = tt + +(( ))2 1ω ωj j
= t +cos( )1x A 1ω j1
两频率相同的谐振动：
= t +cos( )2Ax 2 ω j2
0 x
A 1
1j
A 2
2j
或 振动 1 滞后 振动 2
振动 2超前 振动 1 相位差 12 ＞ 0jj=ΦΔ
x2
t
1x
1x
o
x2
称两振动 反相
=ΔΦ π若周相差称两振动 同步
=ΔΦ 0若周相差 A 1
A 2
0
A 2 A 10
谐振动的位移、速度及加速度的相位关系
va
v ax
x
to
T
加速度 a 与 x 位移反相速度 v超前位移 x π2
2E
k =
1
2 mv
E p 12 2= kx
E = EE k p+ A 2= 12 k
四、简谐振动的能量
Ax += cos( )tω j
A += sin( )tωω jv
( )+= 12 A ω2 2 tk cos j
)(2 += 12 mA 22 ωω sin t j
E A212 k=
E E k E p
o
x
t
Ax = cos tω
谐振子的动能、势能及总能量
to
由转动定律：
L θmg sinM =
2
2
2
mLLθ θmg = ddt
2
Lθ θ = 0d2
dt + g ω = gL
+
转动正 方 向
2J= Lm m
mg
θ
L
Lθmg~
五,角振动
=θ θ max ωcos( )+t j
M = J a
1.单摆由转动定律：
h θmg sinM =
hθmg~
M = J a
2.复摆
+
转动正 方 向
mg
θ
h
.
o
c
2
2
hθ θmg = ddtJ
2
θ θ = 0d2
dt +
mgh
J ω =
mgh
J
质心转轴
[ 例 1 ] 一弹簧振子 k = 8N/m,m= 2
kg,x0 =3 m,v0 =8 m/s
求,ω,A,j 及振动方程解,ω= km 82 == 2 (rad/s)
v
ωA x 0= 2
2+ )(
0
8= 2 +3 (
2 )
2 = 5 m几几几 ( )
8 ==
2× 3
4
3
v
0
0=tg
ωxj
x = 05 (2 t )cos 53.3
则有 2 0＜0 = Acosx j
若取 02 =126.87j
0
2 =126.87
j= 01 5 3.13j
= 5cos( )2t 0.296π
8 ==
2× 3
4
3
v
0
0=tg
ωxj
∴ 不合题意,舍去∵ x0 =3 m>0
= 01 5 3.13j取将木块压入水中，使木快上表面与水面平齐。
现用外力
[ 例 2 ] 水面上浮有一方形木块，在静止时水面以上高度为 a,水面以下高度为 b。水密度
ρρ 不计水的阻力。木快密度为为 ′
将木块压入水中，使木快上表面与水面平齐。
现用外力
[ 例 2 ] 水面上浮有一方形木块，在静止时水面以上高度为 a,水面以下高度为 b。水密度
ρρ 不计水的阻力。木快密度为为 ′
a
b
ρ
ρ
′
求证：木块将作谐振动，并写出谐振动方程。
将木块压入水中，使木快上表面与水面平齐。
现用外力
[ 例 2 ] 水面上浮有一方形木块，在静止时水面以上高度为 a,水面以下高度为 b。水密度
ρρ 不计水的阻力。木快密度为为 ′
任意位置木块受到的 合外力 为：
合外力和位移成正比，方向和位移相反，
ρ gx= s ′
ρρΣ F= ( )) bba x++ ss gg ( ′
平衡位置
b c
a,
ρ
ρ
0
xs
y
′
平衡时,+ ρρ)a b( ss gg b = 0′
任意位置
a
cb
0
x
x
s y
.
木块作谐振动。
t =0 0x =a A = a
ρ gx= s ′Σ F由上面得到：
ρω = g
(a+b)ρ
′gρρ
2
d
dt
2
+(a+b) = 0xx ′
由牛顿定律
gxρ ρ ddt 22a+s ( )= b s x′
ρ(a+b)
ρ gx= cosa t′
=0v 0 = 0j
[ 例 3 ] 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为 m
的小球，弹簧伸长量为 b 。
自然长度
[ 例 3 ] 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为 m
的小球，弹簧伸长量为 b 。
b
自然长度
mg
[ 例 3 ] 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为 m
的小球，弹簧伸长量为 b 。
b
自然长度
mg
求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。
用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。
b
自然长度静平衡时
mg
F
kb - mg = 0
[ 例 3 ] 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为 m
的小球，弹簧伸长量为 b 。用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。
求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。
b0
x
平衡位置自然长度取静平衡位置为坐标原点
[ 例 3 ] 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为 m
的小球，弹簧伸长量为 b 。用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。
求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。
自然长度 b
平衡位置任意位置时小球所受到的合外力为：
ω = km gb=
可见小球作谐振动。
Σ F = mg - k ( b + x )
得：mg - kb = 0由
= - kx
0x x 任意位置
x = b cos ( g t + )πb
00当 t 0 x b ===,v 0
ω = km
π得 A=b =j
x
AA2 1.0
0 t
ω,φ 以及振动方程。求：
[ 例 4 ] 一谐振动的振动曲线如图所示。
π=ω × 1
3 =
π
2
πA
2 x
t = 0时
0x =
A
2
t =1时
1x = 0
π x
A 3
ω = 56 π
πΦ
1= 2
ωΦ1 = t 1+j
= π3j＞ 0
0v
1 ＜ 0v =
dx
dt
x = A cos ( 56 π t π3 )
π
2
A
t =1
xπ
3
At = 0
π
π
π
2 + 3
2 = T
1
T = 125
本题 ω 的另一种求法：
