第 2章 汇交力系作用于物体上的力系,若各力的作用位于同一平面内,且汇交于一点,这种力系称 平面汇交力系 。 它是工程中常见的基本力系之一,也是研究较复杂力系的基础,本章将 用几何法和解析法研究平面汇交力系的 合成 和 平衡 。
平面汇交力系实例 — 吊车起吊钢轨力系的分类力系分类：根据力系中各力的作用线是否在同一平面内可分为 平面力系和空间力系 ；根据力系中各力的作用线是否相交来分，力系可分为 汇交力系、平行力系和任意力系。
2-1 汇交力系合成的几何法
（ 一 ） 两个汇交力的合成
1,合力：如果作用在刚体上的一个力系和一个力等效,则此力称为该力系的合力 。
2,力的平行四边形法则：作用在刚体上某点的两个汇交力的合力,其大小和方向可以用这两个力的力构成的平行四边形的对角线来表示 。
力三角形法两个力的合成可以用力三角形法
。
（二）任意个汇交力的合成：
力多边形法：将平面汇交力系的各力矢首尾相连,最后由第一个力矢的始端向最后一个力矢的末端做一个力矢,此力矢即为该力系的合力矢 。 这种用力多边形求力系的合力的方法称为力 多边形法则 。
（三）汇交力系合成结果一般情形下,汇交力系合成的结果是一个合力,合力的作用线通过力系的汇交点,
合力的大小和方向由力多边形的封闭边代表,即等于力系各力的矢量和 。
in FFFFFR
,.....
321
用几何法解题时，应先确定 比例尺,并把比例尺标注在图旁。
2-2 汇交力系平衡的几何条件若汇交力系的合力为零,则该力系为平衡力系 。
刚体在汇交力系作用下处于平衡的几何条件是力多边形闭合 。 即：
2-3 汇交力系合成的解析法
1.力在平面直角坐标轴上的投影：
1.1力在平面直角坐标轴上的投影：
设 αβ分别为力与 x轴,y
轴的夹角,则力在坐标轴上的投影为：
力 F在两个坐标轴上的投影，其大小分别与该力沿两个坐标轴的分力的模相等 。
αs inc o s
c o s
FFY
FX
力的投影注意事项：
一力在相互平行且同向的轴上投影相等；将一力的力矢平行移动,此力在同轴上的投影值不变 。
1,2力在空间直角坐标轴上的投影上式中 α,β,γ为力的方向角。
1,3二次投影法：
1,即首先将力投影在包含坐标轴的 平面上然后再将该平面上的投影再投影到轴上 。
2,应用力的平行四边形规则,
可以把力沿三个坐标轴分解为 FX,FY,FZ。
x
y
z
2,汇交力系合成的解析法合力投影定理,汇交力系的合力在各坐标轴上的投影,等于各分力在同轴上投影的代数和 。
ZZZZZR
YYYYYR
XXXXXR
NZ
NY
NX
.,,,,,
.,,,,,
.,,,,,
321
321
321
合力的模和方向：
合力的模和方向：
222222 )()()( ZYXRRRR ZYX
R
R
kR
R
R
jR
R
R
iR
z
y
x
),c os (
),c os (
),c os (
2-4汇交力系平衡的解析条件汇交力系平衡的 必要和充分条件 是力系的合力为零 。
即,要满足此必须：
因此,汇交力系平衡的必要和充分的解析条件是,力系中所有各力在直角坐标系各轴上的投影的代数和分别为零 。
平面汇交力系平衡的条件在 平面汇交力系 情形下,力系平衡的必要和充分解析条件是：
应用汇交力系平衡条件解题的一般步骤：
1,根据题意明确研究对象 。
明确研究哪一个物体的平衡 。
2,受力分析,画受力图 。
受力图上应正确地,完整地画上主动力和约束反力 。 在画约束反力时,必须根据约束的性质去分析,以确定约束反力的某些特征 。
3,应用平衡条件求解未知量 。
解题要点解析法解题时：
1,要 建立坐标系,再 列出平衡方程式 。
2,不能确定指向的 未知力可先假定一个指向,若该力的结果为正值,则实际指向与假定指向相同,反之,与假定指向相反 。
3,列方程时,原则上应 使方程式中的未知量的数目尽可能少 。
例 1
解：本题可以用几何法和解析法求解。
以横梁为研究对象，注意到 CD杆是二力构件，由三力汇交平衡原理，可画受力图如上图。
由几何关系，不难确定：
kgPN
kgPN
PNN
D
A
DA
212
)45s in (
)90s in (
158
)45s in (
45s in
)45s in ()90s in (45s in
0
0
0
000
由此可得：
3
1
60
20tg
利用力力三角形，并应用正弦定理，可以建立右式：
294.3N,试求当取去重物时，每一杆未伸长时的自然长度。
例 2
例 2--题解解,1,以销钉为研究对象
2.受力分析 (销钉受力：绳子的张力 T,弹簧杆 AB,AC作用力 TAB,TAC,此 三力构成汇交力系 )
思路：由平衡条件可以确定弹簧杆的受力 弹簧杆的伸长量 从几何尺寸计算弹簧杆的现在长度 原长度。
3.建立坐标（如图）
4.列平衡方程：
例 2-题解（续）
例 3
例 3-题解解,1.取销钉 A为研究对象。
2.受力分析,(如图 b)AB,CD杆不计杆重，所以都是二力杆件，假设为拉力 SB和
SC；绳子的拉力为 SD和 T，此四力组成空间平衡力系。
3.建立坐标（如图）。
4.列平衡方程 （如下）
例 3题解（续）
平面汇交力系实例 — 吊车起吊钢轨力系的分类力系分类：根据力系中各力的作用线是否在同一平面内可分为 平面力系和空间力系 ；根据力系中各力的作用线是否相交来分，力系可分为 汇交力系、平行力系和任意力系。
2-1 汇交力系合成的几何法
（ 一 ） 两个汇交力的合成
1,合力：如果作用在刚体上的一个力系和一个力等效,则此力称为该力系的合力 。
2,力的平行四边形法则：作用在刚体上某点的两个汇交力的合力,其大小和方向可以用这两个力的力构成的平行四边形的对角线来表示 。
力三角形法两个力的合成可以用力三角形法
。
（二）任意个汇交力的合成：
力多边形法：将平面汇交力系的各力矢首尾相连,最后由第一个力矢的始端向最后一个力矢的末端做一个力矢,此力矢即为该力系的合力矢 。 这种用力多边形求力系的合力的方法称为力 多边形法则 。
（三）汇交力系合成结果一般情形下,汇交力系合成的结果是一个合力,合力的作用线通过力系的汇交点,
合力的大小和方向由力多边形的封闭边代表,即等于力系各力的矢量和 。
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用几何法解题时，应先确定 比例尺,并把比例尺标注在图旁。
2-2 汇交力系平衡的几何条件若汇交力系的合力为零,则该力系为平衡力系 。
刚体在汇交力系作用下处于平衡的几何条件是力多边形闭合 。 即：
2-3 汇交力系合成的解析法
1.力在平面直角坐标轴上的投影：
1.1力在平面直角坐标轴上的投影：
设 αβ分别为力与 x轴,y
轴的夹角,则力在坐标轴上的投影为：
力 F在两个坐标轴上的投影，其大小分别与该力沿两个坐标轴的分力的模相等 。
αs inc o s
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力的投影注意事项：
一力在相互平行且同向的轴上投影相等；将一力的力矢平行移动,此力在同轴上的投影值不变 。
1,2力在空间直角坐标轴上的投影上式中 α,β,γ为力的方向角。
1,3二次投影法：
1,即首先将力投影在包含坐标轴的 平面上然后再将该平面上的投影再投影到轴上 。
2,应用力的平行四边形规则,
可以把力沿三个坐标轴分解为 FX,FY,FZ。
x
y
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2,汇交力系合成的解析法合力投影定理,汇交力系的合力在各坐标轴上的投影,等于各分力在同轴上投影的代数和 。
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合力的模和方向：
合力的模和方向：
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2-4汇交力系平衡的解析条件汇交力系平衡的 必要和充分条件 是力系的合力为零 。
即,要满足此必须：
因此,汇交力系平衡的必要和充分的解析条件是,力系中所有各力在直角坐标系各轴上的投影的代数和分别为零 。
平面汇交力系平衡的条件在 平面汇交力系 情形下,力系平衡的必要和充分解析条件是：
应用汇交力系平衡条件解题的一般步骤：
1,根据题意明确研究对象 。
明确研究哪一个物体的平衡 。
2,受力分析,画受力图 。
受力图上应正确地,完整地画上主动力和约束反力 。 在画约束反力时,必须根据约束的性质去分析,以确定约束反力的某些特征 。
3,应用平衡条件求解未知量 。
解题要点解析法解题时：
1,要 建立坐标系,再 列出平衡方程式 。
2,不能确定指向的 未知力可先假定一个指向,若该力的结果为正值,则实际指向与假定指向相同,反之,与假定指向相反 。
3,列方程时,原则上应 使方程式中的未知量的数目尽可能少 。
例 1
解：本题可以用几何法和解析法求解。
以横梁为研究对象，注意到 CD杆是二力构件，由三力汇交平衡原理，可画受力图如上图。
由几何关系，不难确定：
kgPN
kgPN
PNN
D
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由此可得：
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利用力力三角形，并应用正弦定理，可以建立右式：
294.3N,试求当取去重物时，每一杆未伸长时的自然长度。
例 2
例 2--题解解,1,以销钉为研究对象
2.受力分析 (销钉受力：绳子的张力 T,弹簧杆 AB,AC作用力 TAB,TAC,此 三力构成汇交力系 )
思路：由平衡条件可以确定弹簧杆的受力 弹簧杆的伸长量 从几何尺寸计算弹簧杆的现在长度 原长度。
3.建立坐标（如图）
4.列平衡方程：
例 2-题解（续）
例 3
例 3-题解解,1.取销钉 A为研究对象。
2.受力分析,(如图 b)AB,CD杆不计杆重，所以都是二力杆件，假设为拉力 SB和
SC；绳子的拉力为 SD和 T，此四力组成空间平衡力系。
3.建立坐标（如图）。
4.列平衡方程 （如下）
例 3题解（续）
