平面一般力系本章主要介绍了平面一般力系的简化和平衡，并介绍了物体系统平衡问题的分析方法。
平面一般力系概述
1,何谓平面一般力系各力作用线在同一平面内任意分布的力系 。
有些构件,虽然形式上不是平面力系,但由于其结构和所承受的载荷都有一个对称平面,
因此作用在这些构件上的力系可以简化为对称平面内的平面一般力系 。
一,何谓平面一般力系各力作用线在同一平面内任意分布的力系 。
有些构件 (如下面的小汽车,简易吊车 ）,
虽然形式上不是平面力系,但由于其结构和所承受的载荷都有一个对称平面,因此作用在这些构件上的力系可以简化为对称平面内的平面一般力系 。
二,平面一般力系实例三,力对点的矩
1,力矩的概念和计算在平面力系情形下,力对点的矩是代数量 。 矩的大小等于力的大小与力臂的乘积 。 符号规定：
该力使静止物体绕矩心逆时针方向转动,记为正,反之为负 。
推论：
① 力沿作用线滑动时,力臂不变,因而力对点的矩也不变 。
② 力作用线通过矩心时,力臂为零,因而力对该点的矩也为零 。
推论
2,力对点的矩的解析式
力对坐标原点的矩
yr
xr
sin
c os
YFXF s in,c o s
—— 力矩的解析表达式,yXxYFm o)(?
3,力偶的矩
组成力偶的两个力，对力偶作用面内任意点的矩的代数和等于力偶矩。
上图中,设 O为力偶作用面内的任意点,
则三,力的平移定理力的平移定理：把作用在刚体上一点的力平移到该刚体上任一指定点,,须附加一适当的力偶,此附加力偶的力偶矩等于原力对该指定点的矩 。 即：
)( FmFdm o
问题：丝锥攻螺纹时,为什么要求双手同时在丝锥铰手的两端均匀用力？ 单手攻螺纹可以吗？ 有什么不妥？
注意：
1.力偶没有合力,力偶只能与力偶平衡,而不能与力相平衡 。
2.力的平移原则上只能适用于刚体 。
四,平面一般力系向一点简化 主矢和主矩
概念：
根据力的平移原理,将平面力系的各力平移到作用面内任一点 。 从而将原力系化为一个平面汇交力系和一个平面力偶系 。
平面任意力系简化结果 分析
利用力的平移定理,将力系向作用面内某点 O简化,得到两个力系：一个是作用于点 O的平面汇交力系 F,1,F,2,F，
3…… F,n,另一个是力偶矩分别为 m1、
m2,m3…… mn的附加平面力偶矩 。
平面汇交力系合成为一个合理,作用点在 O点,等于 F,1,F,2,F,3…… F,n矢量和,即：
FFFFFFFFFR nn,...........` 321``32`1`
力系中各力的矢量和称为力系的主矢,用 表示,,因为,平面汇交力系的合力作用在简化中心上,其大小和方向等于原力系的主矢 。
主矢与简化中心无关
主矢的大小和方向为：
*
*
*
*
2222*
321
*
321
*
),c os (
),c os (
)()()()(
...
...
R
Y
jR
R
X
iR
YXRRR
YYYYYR
XXXXXR
YX
iny
inX
根据力偶理论,平面附加力偶系可以合成为一个力偶,合力偶矩等于各附加力偶矩的代数和,即：
)()(...)()()(
...
321
3210
ionooooo
n
FmFmFmFmFmM
mmmmM
力系各力对点 O的力矩的和称为力系对点的主矩 。
主矩一般与矩心的位置有关,当矩心的位置改变时,一般也随之改变,因此,
提到力系的主矩时,必须指主矩的矩心 。
用 Mo表示对点 O的主矩,则有：
可见,附加力偶系的合力偶矩等于原力系对简化中心 O的主矩
)( ioo FmM
结论平面力系向其作用面内任意点简化的结果是,
使原力系简化为一个通过简化中心的主矢量和一个主 矩 。
主矢量等于原力系中各力的矢量和主矩等于原力系中各力对简化中心的矩的代数和 。
工程应用：
如固定端约束及其反力 。
固定端插入部分受到了与墙接触点的作用,使梁既不能移动也不能转动 。 约束反力实际上是一未知的分布力系,但可以向指定点 A简化,得到一个约束反力
RA和一个力偶矩为 MA的约束反力偶 。 再将 RA分解为水平和垂直方向的两分力 XA、
YA。 （ 如下图 ）
平面一般力系简化结果讨论
根据主矢量和主矩是否为零,可以得出平面力系简化的三种结果 。
1.力系简化为一个力偶
2.力系简化为一个力
3.力系平衡一,力系简化为一个力偶
如果主矢 Ｒ ’ =0,而主矩 Mo≠0,则原力系简化为一力偶,力偶的矩等于主矩 。
在此情形下,主矩与简化中心无关 。
为什么？ 力偶的性质是什么？ …… 力偶可以在力偶的作用面内任意移动而不会改变力偶对原刚体的作用效应 ……
二,力系简化为一个力
如果主矩等于零,而主矢不等于零,则力系简化为通过简化中心的一个力,此力也就是原力系的合力,大小和方向与主矢相同 。
如果力系的主矢，主矩均不为零，则力系可进一步合成为一个合力。但这个合力的大小和方向与力系的主矢相同，合力的作用线到简化中心的距离为：
*R
M
R
Md oo?
三,力系平衡
如果力系简化的主矢为零,主矩也为零,
则力系平衡 。
四,合力矩定理可见,平面力系的合力对其作用面内任一点的矩,
等于各分力对同点之矩的代数和 。
即：
从 上图 可以看出：
)()( ioo FmRm
五,合力矩定理的应用 —— 举例在某些情况下，利用合力矩定理计算力矩显得相当方便。譬如计算力对点的矩。 。
平面一般力系的平衡方程
（ 本章重点 ）
引言,平面一般力系简化后得到一个平面汇交力系和一个平面力偶系，但这两个基本力系是不能相互平衡的，所以，如果平面一般力系平衡，则须这两个基本力系分别平衡。
平面汇交力系的平衡条件为合力为零，平面力偶系的平衡条件是合力偶矩为零。所以，平面一般力系平衡的必要充分条件是：力系的主矢和力系对任意点的主矩分别为零。
一,平面一般力系的平衡条件
平面汇交力系的平衡条件为合力为零，平面力偶系的平衡条件是合力偶矩为零。所以，平面一般力系平衡的必要充分条件是：
力系的主矢和力系对任意点的主矩分别为零。
即：
0
0*
oM
R
二,平面一般力系的平衡方程的几种形式：
1,基本式：
力系中各力在两个任选的直角坐标轴上的投影的代数和分别为零,并且各力对任一点的矩的代数和也为零 。
0)(
0
0
Fm
Y
X
o
2,两力矩式：
0
0
0
b
A
m
m
X
适用条件,A,B两点的连线不能与 X轴垂直 。
3.三力矩式：
0
0
0
c
B
A
m
m
m
适用条件,A,B,C三点不能共线 。
平面一般力系可以列出三个方程,可以且只能求解三个未知力 。
平面平行力系的平衡方程
假设力系各力平行与 Y轴,则自然满足,所以平衡方程为, 0X?
0
0
Am
F
平面平行力系平衡的必要和充分条件是：力系中各力的代数和等于零，并且各力对平面内任一点的矩的代数和等于零。
平衡条件的应用
三根均质等长同重为Ｗ的杆，在铅垂面内以铰链和ＥＦ
绳子构成正方形。
已知Ｅ、Ｆ是ＡＢ、
ＢＣ的中点，ＡＢ
水平，求绳子的张力。
（ａ）
（ｂ）
实例分析 2：
已知：梁的跨度为 4a，梁重为 P,AC段受均布载荷 q作用，
M=Pa。求,A,B处的支座反力。
实例分析 3：
T字型刚架 ABD，置于铅垂平面内，载荷如图。
M=20KN.m,F=400KN,q=20KN/m,l=1m,求固定端 A的反力,
解,1.取刚架为研究对象
2.受力分析,如有图所示,
3.建立坐标,
4.列平衡方程,
060s in,0 01 FFFX AX
060c o s0,Y 0FPF AY
0360s in60c o s,0M 001A lFlFlFMM A
平面一般力系概述
1,何谓平面一般力系各力作用线在同一平面内任意分布的力系 。
有些构件,虽然形式上不是平面力系,但由于其结构和所承受的载荷都有一个对称平面,
因此作用在这些构件上的力系可以简化为对称平面内的平面一般力系 。
一,何谓平面一般力系各力作用线在同一平面内任意分布的力系 。
有些构件 (如下面的小汽车,简易吊车 ）,
虽然形式上不是平面力系,但由于其结构和所承受的载荷都有一个对称平面,因此作用在这些构件上的力系可以简化为对称平面内的平面一般力系 。
二,平面一般力系实例三,力对点的矩
1,力矩的概念和计算在平面力系情形下,力对点的矩是代数量 。 矩的大小等于力的大小与力臂的乘积 。 符号规定：
该力使静止物体绕矩心逆时针方向转动,记为正,反之为负 。
推论：
① 力沿作用线滑动时,力臂不变,因而力对点的矩也不变 。
② 力作用线通过矩心时,力臂为零,因而力对该点的矩也为零 。
推论
2,力对点的矩的解析式
力对坐标原点的矩
yr
xr
sin
c os
YFXF s in,c o s
—— 力矩的解析表达式,yXxYFm o)(?
3,力偶的矩
组成力偶的两个力，对力偶作用面内任意点的矩的代数和等于力偶矩。
上图中,设 O为力偶作用面内的任意点,
则三,力的平移定理力的平移定理：把作用在刚体上一点的力平移到该刚体上任一指定点,,须附加一适当的力偶,此附加力偶的力偶矩等于原力对该指定点的矩 。 即：
)( FmFdm o
问题：丝锥攻螺纹时,为什么要求双手同时在丝锥铰手的两端均匀用力？ 单手攻螺纹可以吗？ 有什么不妥？
注意：
1.力偶没有合力,力偶只能与力偶平衡,而不能与力相平衡 。
2.力的平移原则上只能适用于刚体 。
四,平面一般力系向一点简化 主矢和主矩
概念：
根据力的平移原理,将平面力系的各力平移到作用面内任一点 。 从而将原力系化为一个平面汇交力系和一个平面力偶系 。
平面任意力系简化结果 分析
利用力的平移定理,将力系向作用面内某点 O简化,得到两个力系：一个是作用于点 O的平面汇交力系 F,1,F,2,F，
3…… F,n,另一个是力偶矩分别为 m1、
m2,m3…… mn的附加平面力偶矩 。
平面汇交力系合成为一个合理,作用点在 O点,等于 F,1,F,2,F,3…… F,n矢量和,即：
FFFFFFFFFR nn,...........` 321``32`1`
力系中各力的矢量和称为力系的主矢,用 表示,,因为,平面汇交力系的合力作用在简化中心上,其大小和方向等于原力系的主矢 。
主矢与简化中心无关
主矢的大小和方向为：
*
*
*
*
2222*
321
*
321
*
),c os (
),c os (
)()()()(
...
...
R
Y
jR
R
X
iR
YXRRR
YYYYYR
XXXXXR
YX
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inX
根据力偶理论,平面附加力偶系可以合成为一个力偶,合力偶矩等于各附加力偶矩的代数和,即：
)()(...)()()(
...
321
3210
ionooooo
n
FmFmFmFmFmM
mmmmM
力系各力对点 O的力矩的和称为力系对点的主矩 。
主矩一般与矩心的位置有关,当矩心的位置改变时,一般也随之改变,因此,
提到力系的主矩时,必须指主矩的矩心 。
用 Mo表示对点 O的主矩,则有：
可见,附加力偶系的合力偶矩等于原力系对简化中心 O的主矩
)( ioo FmM
结论平面力系向其作用面内任意点简化的结果是,
使原力系简化为一个通过简化中心的主矢量和一个主 矩 。
主矢量等于原力系中各力的矢量和主矩等于原力系中各力对简化中心的矩的代数和 。
工程应用：
如固定端约束及其反力 。
固定端插入部分受到了与墙接触点的作用,使梁既不能移动也不能转动 。 约束反力实际上是一未知的分布力系,但可以向指定点 A简化,得到一个约束反力
RA和一个力偶矩为 MA的约束反力偶 。 再将 RA分解为水平和垂直方向的两分力 XA、
YA。 （ 如下图 ）
平面一般力系简化结果讨论
根据主矢量和主矩是否为零,可以得出平面力系简化的三种结果 。
1.力系简化为一个力偶
2.力系简化为一个力
3.力系平衡一,力系简化为一个力偶
如果主矢 Ｒ ’ =0,而主矩 Mo≠0,则原力系简化为一力偶,力偶的矩等于主矩 。
在此情形下,主矩与简化中心无关 。
为什么？ 力偶的性质是什么？ …… 力偶可以在力偶的作用面内任意移动而不会改变力偶对原刚体的作用效应 ……
二,力系简化为一个力
如果主矩等于零,而主矢不等于零,则力系简化为通过简化中心的一个力,此力也就是原力系的合力,大小和方向与主矢相同 。
如果力系的主矢，主矩均不为零，则力系可进一步合成为一个合力。但这个合力的大小和方向与力系的主矢相同，合力的作用线到简化中心的距离为：
*R
M
R
Md oo?
三,力系平衡
如果力系简化的主矢为零,主矩也为零,
则力系平衡 。
四,合力矩定理可见,平面力系的合力对其作用面内任一点的矩,
等于各分力对同点之矩的代数和 。
即：
从 上图 可以看出：
)()( ioo FmRm
五,合力矩定理的应用 —— 举例在某些情况下，利用合力矩定理计算力矩显得相当方便。譬如计算力对点的矩。 。
平面一般力系的平衡方程
（ 本章重点 ）
引言,平面一般力系简化后得到一个平面汇交力系和一个平面力偶系，但这两个基本力系是不能相互平衡的，所以，如果平面一般力系平衡，则须这两个基本力系分别平衡。
平面汇交力系的平衡条件为合力为零，平面力偶系的平衡条件是合力偶矩为零。所以，平面一般力系平衡的必要充分条件是：力系的主矢和力系对任意点的主矩分别为零。
一,平面一般力系的平衡条件
平面汇交力系的平衡条件为合力为零，平面力偶系的平衡条件是合力偶矩为零。所以，平面一般力系平衡的必要充分条件是：
力系的主矢和力系对任意点的主矩分别为零。
即：
0
0*
oM
R
二,平面一般力系的平衡方程的几种形式：
1,基本式：
力系中各力在两个任选的直角坐标轴上的投影的代数和分别为零,并且各力对任一点的矩的代数和也为零 。
0)(
0
0
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Y
X
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2,两力矩式：
0
0
0
b
A
m
m
X
适用条件,A,B两点的连线不能与 X轴垂直 。
3.三力矩式：
0
0
0
c
B
A
m
m
m
适用条件,A,B,C三点不能共线 。
平面一般力系可以列出三个方程,可以且只能求解三个未知力 。
平面平行力系的平衡方程
假设力系各力平行与 Y轴,则自然满足,所以平衡方程为, 0X?
0
0
Am
F
平面平行力系平衡的必要和充分条件是：力系中各力的代数和等于零，并且各力对平面内任一点的矩的代数和等于零。
平衡条件的应用
三根均质等长同重为Ｗ的杆，在铅垂面内以铰链和ＥＦ
绳子构成正方形。
已知Ｅ、Ｆ是ＡＢ、
ＢＣ的中点，ＡＢ
水平，求绳子的张力。
（ａ）
（ｂ）
实例分析 2：
已知：梁的跨度为 4a，梁重为 P,AC段受均布载荷 q作用，
M=Pa。求,A,B处的支座反力。
实例分析 3：
T字型刚架 ABD，置于铅垂平面内，载荷如图。
M=20KN.m,F=400KN,q=20KN/m,l=1m,求固定端 A的反力,
解,1.取刚架为研究对象
2.受力分析,如有图所示,
3.建立坐标,
4.列平衡方程,
060s in,0 01 FFFX AX
060c o s0,Y 0FPF AY
0360s in60c o s,0M 001A lFlFlFMM A
