运动学运动学：研究物体运动的几何性质的学科。
学习运动学的目的：
为学习运动学打基础
为分析机构的运动打好基础主要内容,研究 点 和 刚体 的运动规律第六章 点的运动
点的运动学是研究一般物体运动的基础，
其本身也有独立的意义。
主要内容：
点的简单运动点相对某个参考系的几何位置随时间的变化规律 。
6-1 矢量法
1.点的速度动点 M在某瞬时 t 相对于固定系的位置，
可用矢量 OM=r 表示,r 完全确定了动点
M的位置。 r 称为矢径。其模和方向随时间变化。
如右图：
r = r(t)
上式为动点的矢量形式的运动方程。
动点 M在运动过程中，其矢径 r的末端描绘出一条连续的曲线，称为 矢端曲线 。
显然，矢径 r的矢端曲线就是动点 M的运动轨迹。
点的速度是矢量。动点的速度矢等于它的矢径 r对时间的一阶导数。即：
动点的速度矢沿着矢径 r的矢端曲线的切线，即沿运动轨迹的切线。
2.点的加速度
速度对时间的变化率称为加速度。
动点的加速度等于它的速度对时间的一阶导数，
也等于矢径对时间的二阶导数。即：
6-2直角坐标法设动点 M,t瞬时，坐标为
x,y,z，则有：
M点的坐标是时间的函数：
上式是动点 M的直角坐标形式的运动方程。
以上公式中消去时间 t，得到 x,y,z 之间的两个关系式，它们代表一条空间曲线，即是动点
M的轨迹方程,f(x,y,z)=0。
直角坐标形式下的点的速度矢为：
可见，动点速度在固定直角坐标轴上的投影分别等于坐标对时间的一阶导数。即：
速度的大小和方向的余弦为：
同理，有：
由公式可见，动点加速度在固定直角坐标轴上的投影分别等于对应速度对时间的一阶导数，或对应坐标对时间的二阶导数。
即：
加速度的大小和方向导数：
从上可知：
1.如果已知点的运动方程，即可通过对时间求导得出点的速度、加速度 。
2.若已知点的速度或加速度的变化规律，
需要通过积分才能求点的运动方程。此外，还要利用初始条件来确定积分常数 。
归纳以上：
6-3 自然法
利用点的运动轨迹建立弧坐标及自然轴系，并用来描述和分析点的运动的方法，
称为自然法。
1.弧坐标
如右图弧坐标完全确定了动点 M在轨迹上的位置。
动点 M沿已知轨迹的运动方程,S=S(t)
速度：
当时间间隔趋于零时，
rddsrd?
,1?
的方向趋于轨迹在 M点的切线方向。
设切线方向的单位矢为,并规定它指向 s增加的一方。则：
上式表明，动点速度沿轨迹在该点的切线方向，它在切线方向的投影等于弧坐标对时间的一阶导数。
2.加速度动点 M的加速度为：
△ T的模为：
式中,为轨迹在 M点的曲率。
当时,△ T与 T 的夹角趋于直角。即 △ T 趋近于轨迹在 M点的法线方向，指向曲率中心。即 △ T 趋近于轨迹在 M点的法线方向，指向曲率中心。
用 n 记为法向单位矢。则
nvdtTd?
自然轴系下：
naTanvTdtdva nt?
2
加速度方向说明
法向加速度和切向加速度的方向说明：
法向加速度总是指向轨迹曲线的曲率中心 C,而切向加速度则需视具体问题而定。
例? 椭圆规的曲柄ＯＣ可绕定轴Ｏ轴转动，其端点
Ｃ与规尺ＡＢ的中点以铰链连接，而规尺Ａ、
Ｂ两端分别在相互垂直的滑槽中运动。已知Ｏ
Ｃ＝ＡＣ＝ＢＣ＝ｌ，ＭＣ＝ａ,φ＝ ωｔ，
求规尺上的Ｍ点的运动方程、运动轨迹、速度和角速度。
解：求Ｍ点的轨迹，可先用直角坐标法确定它的运动方程。然后消去时间ｔ，得到轨迹方程。
建立坐标如图，得以下运动方程：
圆方程。 可见，这是一 个椭到轨迹方程：上式中，消去ｔ，可得
1
)()(
s i n)(A M s i ny
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2
2
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2
al
y
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x
tal
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Ｍ点的速度：
talal
vvv
M
tal
dt
dy
v
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dx
v
y
x
y
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2c o s2
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22
22
点的速度的大小：
talal
tal
v
v
jv
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tal
v
v
iv
y
x
2c o s2
c o s)(
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速度的方向余弦：
Ｍ点的角速度：
tal
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yd
dt
dv
a
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xd
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a
y
y
x
x
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22
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加速度的方向余弦：
点的角速度大小：
学习运动学的目的：
为学习运动学打基础
为分析机构的运动打好基础主要内容,研究 点 和 刚体 的运动规律第六章 点的运动
点的运动学是研究一般物体运动的基础，
其本身也有独立的意义。
主要内容：
点的简单运动点相对某个参考系的几何位置随时间的变化规律 。
6-1 矢量法
1.点的速度动点 M在某瞬时 t 相对于固定系的位置，
可用矢量 OM=r 表示,r 完全确定了动点
M的位置。 r 称为矢径。其模和方向随时间变化。
如右图：
r = r(t)
上式为动点的矢量形式的运动方程。
动点 M在运动过程中，其矢径 r的末端描绘出一条连续的曲线，称为 矢端曲线 。
显然，矢径 r的矢端曲线就是动点 M的运动轨迹。
点的速度是矢量。动点的速度矢等于它的矢径 r对时间的一阶导数。即：
动点的速度矢沿着矢径 r的矢端曲线的切线，即沿运动轨迹的切线。
2.点的加速度
速度对时间的变化率称为加速度。
动点的加速度等于它的速度对时间的一阶导数，
也等于矢径对时间的二阶导数。即：
6-2直角坐标法设动点 M,t瞬时，坐标为
x,y,z，则有：
M点的坐标是时间的函数：
上式是动点 M的直角坐标形式的运动方程。
以上公式中消去时间 t，得到 x,y,z 之间的两个关系式，它们代表一条空间曲线，即是动点
M的轨迹方程,f(x,y,z)=0。
直角坐标形式下的点的速度矢为：
可见，动点速度在固定直角坐标轴上的投影分别等于坐标对时间的一阶导数。即：
速度的大小和方向的余弦为：
同理，有：
由公式可见，动点加速度在固定直角坐标轴上的投影分别等于对应速度对时间的一阶导数，或对应坐标对时间的二阶导数。
即：
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从上可知：
1.如果已知点的运动方程，即可通过对时间求导得出点的速度、加速度 。
2.若已知点的速度或加速度的变化规律，
需要通过积分才能求点的运动方程。此外，还要利用初始条件来确定积分常数 。
归纳以上：
6-3 自然法
利用点的运动轨迹建立弧坐标及自然轴系，并用来描述和分析点的运动的方法，
称为自然法。
1.弧坐标
如右图弧坐标完全确定了动点 M在轨迹上的位置。
动点 M沿已知轨迹的运动方程,S=S(t)
速度：
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设切线方向的单位矢为,并规定它指向 s增加的一方。则：
上式表明，动点速度沿轨迹在该点的切线方向，它在切线方向的投影等于弧坐标对时间的一阶导数。
2.加速度动点 M的加速度为：
△ T的模为：
式中,为轨迹在 M点的曲率。
当时,△ T与 T 的夹角趋于直角。即 △ T 趋近于轨迹在 M点的法线方向，指向曲率中心。即 △ T 趋近于轨迹在 M点的法线方向，指向曲率中心。
用 n 记为法向单位矢。则
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加速度方向说明
法向加速度和切向加速度的方向说明：
法向加速度总是指向轨迹曲线的曲率中心 C,而切向加速度则需视具体问题而定。
例? 椭圆规的曲柄ＯＣ可绕定轴Ｏ轴转动，其端点
Ｃ与规尺ＡＢ的中点以铰链连接，而规尺Ａ、
Ｂ两端分别在相互垂直的滑槽中运动。已知Ｏ
Ｃ＝ＡＣ＝ＢＣ＝ｌ，ＭＣ＝ａ,φ＝ ωｔ，
求规尺上的Ｍ点的运动方程、运动轨迹、速度和角速度。
解：求Ｍ点的轨迹，可先用直角坐标法确定它的运动方程。然后消去时间ｔ，得到轨迹方程。
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