力偶理论力偶 是个特殊的力系,它具有其自身的特性 。 力偶系与汇交力系一样也是一个基本力系,是研究一般力系的基础 。
本章主要介绍力偶矩失的 概念,力偶的 等效条件,力偶系的 合成 和 平衡条件 。
力偶 力偶矩
1,两个平行力的合成
1,1两个同向平行力的合成合力 R的作用线与原两力作用线平行，
指向相同，并内分两力作用点的连线为两个线段，此两线段的长度与两个力的大小成反比。
1.2两个反向平行力的合成合力的作用线外分两力作用点的连线为两线段,这两线段的长度与两个力的大小成反比 。
2.力偶 力偶矩
2.1力偶的概念：由两个大小相等,作用线不重合的两个反向平行力组成的特殊力系,称为力偶 。
力偶的特点因为力偶的合力 R=0,所以,AC=∞,可见,
这样一对力,既不能平衡,也不能合成为一个力,是不能进一步简化的力系 。
实践证明,力偶的作用效应是使物体转动 。
2.2有关力偶的几个概念：
1,力偶作用面：力偶所在的平面称为力偶作用面 。
2,力偶臂：力偶两个力作用线之间的垂直距离 d,称为力偶臂 。
3,力偶矩：力偶中的一个力的大小和力偶臂的乘积,称为力偶矩 。 即力偶矩可记为：,式中的正负号表示力偶的转向 。
规定：以逆时针转向为正,顺时针转向为负 。
力偶的矢量表示返回力偶的转向
2.3等效力偶作用在刚体上效应相同的两个力偶互称为等效力偶 。
力偶的等效变换 — 定理 1
定理 1：只要保持 力偶矩的大小 和 力偶的转向不变,作用在刚体上的力偶可以在其作用面内任意转移而不改变它对刚体的效应 。
定理 1证明设一个力偶
m(F,F1)，力偶臂为 d。力偶的两个力的作用点为 A,B
点。
在 AB连线上加上一个平衡力系 Q,Q1。
且 Q＝－ Q1
证明（续）
从上图可见：
因为,两个三角形同底等高,所以面积相等,另外,
两个力偶的转向相同,可见两个力偶的力偶矩相等,
即 。
推论,同平面内的两个力偶,只要其力偶矩大小相等,
转向相同,则此两力偶彼此等效 。
定理 2
力偶在同一刚体上可以搬移到与其作用面平行的任意平面内,而不改变它对刚体的效应 。
定理 2证明
cd与 ab平行且相等,bc\ad交于 E点，并在 E点上加一对平衡力 P\\P1,P=P1=2F1=2F,PF1合成为 F2’,P1/F合成为
F2,F2与 F2’等值反向但不共线,，组成一个力偶。此力偶与原；；力偶等效。
力偶等效的条件力偶等效的条件,
作用在刚体上两个力偶的等效条件是,力偶矩大小相等，力偶作用面平行，力偶的转向相同。
力偶矩的矢量表示 相交平面内两个力偶的合成
1,力偶矩的矢量表示：
1,1力偶的三要素：力偶矩的大小；力偶作用面的方位 （ 以作用面的法线表示 ） ；力偶的旋转方向 。
1.2力偶矩的矢量表示：
用力偶矩矢量表示力偶的三要素：在力偶作用面的法线上,按一定比例截取一线段代表力偶矩的大小,根据右手法则,按力偶的转向确定矢量的指向 。 这种矢量称为 力偶矩矢量 。 用 m表示 。
只要不改变 力偶矩矢量 大小和方向,可以在空间任意平行移动,所以,力偶矩矢量是自由矢量 。
2,相交平面内两个力偶的合成示意图两个力偶合成示意图几何意义,合力偶矩矢等于由各分力偶矩矢为边所做矢量多边形的封闭边。
nmmmm
21
4.空间力偶系合成的解析法根据合矢量投影定理：合力偶矩矢在任一坐标轴上的投影等于各分力偶矩矢在同轴上投影的代数和 。
合力偶矩矢的模为：
方向余弦为：
设直角坐标系单位矢量为，则合力偶矩矢可以表示为：
4.空间力偶系合成的解析法平面力偶系的合成在平面力偶系的情形下,各力偶矩矢彼此平行,因此,力偶矩只需用代数量表示 。 平面力偶系合成结果也是一个合力偶,合力偶矩等于力偶系中各力偶矩的代数和 。 即：
力偶系的平衡条件
2,平面力偶系的平衡在平面力偶系的情形下,上式变为：
0,0,0m zyx mm
1,空间力偶系平衡：
空间力偶系平衡的必要充分条件是合力偶矩矢等于零。
即：力偶系中各力偶矩矢在三个直角坐标轴上的投影的代数和都等于零。即：
即：平面力偶系平衡的必要充分条件是，作用在刚体上各力偶矩的代数和等于零。
0zm
力偶实例力偶实例 (续 1)
解,1.取立方体为研究对象,
2.受力分析,立方体上受到两个主动力偶 (P.P’)和 (Q,Q’)
的作用,由于 AA1和 BB1为二力构件,且不考虑立方体的自重,故约束反力 N/N’均沿直杆方向,并构成力偶 (N,N’),其力偶矩矢为 m.
m1\m2\m3力偶矩矢是共面的,
设立方体的边长为 a,则 m1=Pa,m2=Qa,
3.建立坐标、列平衡方程：
Nam 2?
045s in,0
045c o s,0
0
1
0
2
＝
＝
mmm
mmm
y
x
力偶实例 （续 2）
从上述方程组中容易解得：
PN
NamPamm
QPQaPa
mm
,
2,245s in/
:,
0
1
21
所以又解得
本章主要介绍力偶矩失的 概念,力偶的 等效条件,力偶系的 合成 和 平衡条件 。
力偶 力偶矩
1,两个平行力的合成
1,1两个同向平行力的合成合力 R的作用线与原两力作用线平行，
指向相同，并内分两力作用点的连线为两个线段，此两线段的长度与两个力的大小成反比。
1.2两个反向平行力的合成合力的作用线外分两力作用点的连线为两线段,这两线段的长度与两个力的大小成反比 。
2.力偶 力偶矩
2.1力偶的概念：由两个大小相等,作用线不重合的两个反向平行力组成的特殊力系,称为力偶 。
力偶的特点因为力偶的合力 R=0,所以,AC=∞,可见,
这样一对力,既不能平衡,也不能合成为一个力,是不能进一步简化的力系 。
实践证明,力偶的作用效应是使物体转动 。
2.2有关力偶的几个概念：
1,力偶作用面：力偶所在的平面称为力偶作用面 。
2,力偶臂：力偶两个力作用线之间的垂直距离 d,称为力偶臂 。
3,力偶矩：力偶中的一个力的大小和力偶臂的乘积,称为力偶矩 。 即力偶矩可记为：,式中的正负号表示力偶的转向 。
规定：以逆时针转向为正,顺时针转向为负 。
力偶的矢量表示返回力偶的转向
2.3等效力偶作用在刚体上效应相同的两个力偶互称为等效力偶 。
力偶的等效变换 — 定理 1
定理 1：只要保持 力偶矩的大小 和 力偶的转向不变,作用在刚体上的力偶可以在其作用面内任意转移而不改变它对刚体的效应 。
定理 1证明设一个力偶
m(F,F1)，力偶臂为 d。力偶的两个力的作用点为 A,B
点。
在 AB连线上加上一个平衡力系 Q,Q1。
且 Q＝－ Q1
证明（续）
从上图可见：
因为,两个三角形同底等高,所以面积相等,另外,
两个力偶的转向相同,可见两个力偶的力偶矩相等,
即 。
推论,同平面内的两个力偶,只要其力偶矩大小相等,
转向相同,则此两力偶彼此等效 。
定理 2
力偶在同一刚体上可以搬移到与其作用面平行的任意平面内,而不改变它对刚体的效应 。
定理 2证明
cd与 ab平行且相等,bc\ad交于 E点，并在 E点上加一对平衡力 P\\P1,P=P1=2F1=2F,PF1合成为 F2’,P1/F合成为
F2,F2与 F2’等值反向但不共线,，组成一个力偶。此力偶与原；；力偶等效。
力偶等效的条件力偶等效的条件,
作用在刚体上两个力偶的等效条件是,力偶矩大小相等，力偶作用面平行，力偶的转向相同。
力偶矩的矢量表示 相交平面内两个力偶的合成
1,力偶矩的矢量表示：
1,1力偶的三要素：力偶矩的大小；力偶作用面的方位 （ 以作用面的法线表示 ） ；力偶的旋转方向 。
1.2力偶矩的矢量表示：
用力偶矩矢量表示力偶的三要素：在力偶作用面的法线上,按一定比例截取一线段代表力偶矩的大小,根据右手法则,按力偶的转向确定矢量的指向 。 这种矢量称为 力偶矩矢量 。 用 m表示 。
只要不改变 力偶矩矢量 大小和方向,可以在空间任意平行移动,所以,力偶矩矢量是自由矢量 。
2,相交平面内两个力偶的合成示意图两个力偶合成示意图几何意义,合力偶矩矢等于由各分力偶矩矢为边所做矢量多边形的封闭边。
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4.空间力偶系合成的解析法根据合矢量投影定理：合力偶矩矢在任一坐标轴上的投影等于各分力偶矩矢在同轴上投影的代数和 。
合力偶矩矢的模为：
方向余弦为：
设直角坐标系单位矢量为，则合力偶矩矢可以表示为：
4.空间力偶系合成的解析法平面力偶系的合成在平面力偶系的情形下,各力偶矩矢彼此平行,因此,力偶矩只需用代数量表示 。 平面力偶系合成结果也是一个合力偶,合力偶矩等于力偶系中各力偶矩的代数和 。 即：
力偶系的平衡条件
2,平面力偶系的平衡在平面力偶系的情形下,上式变为：
0,0,0m zyx mm
1,空间力偶系平衡：
空间力偶系平衡的必要充分条件是合力偶矩矢等于零。
即：力偶系中各力偶矩矢在三个直角坐标轴上的投影的代数和都等于零。即：
即：平面力偶系平衡的必要充分条件是，作用在刚体上各力偶矩的代数和等于零。
0zm
力偶实例力偶实例 (续 1)
解,1.取立方体为研究对象,
2.受力分析,立方体上受到两个主动力偶 (P.P’)和 (Q,Q’)
的作用,由于 AA1和 BB1为二力构件,且不考虑立方体的自重,故约束反力 N/N’均沿直杆方向,并构成力偶 (N,N’),其力偶矩矢为 m.
m1\m2\m3力偶矩矢是共面的,
设立方体的边长为 a,则 m1=Pa,m2=Qa,
3.建立坐标、列平衡方程：
Nam 2?
045s in,0
045c o s,0
0
1
0
2
＝
＝
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y
x
力偶实例 （续 2）
从上述方程组中容易解得：
PN
NamPamm
QPQaPa
mm
,
2,245s in/
:,
0
1
21
所以又解得
