质点系动量矩定理动力学
几个实际问题
相对于定点 的质点系动量矩定理
相对于定点 的动量矩定理应用于简单的刚体系统
结论与讨论质点系动量矩定理
刚体平面运动微分方程应用于简单的刚体系统
相对于质心 (平移系 )的质点系动量矩定理
刚体平面运动微分方程
几个有意义的实际问题质点系动量矩定理几个实际问题
？
几个有意义的实际问题谁最先到达顶点
？
几个有意义的实际问题直升飞机如果没有尾翼将发生什么现象
？
几个有意义的实际问题为什么二者转动方向相反
几个有意义的实际问题航天器是怎样实现姿态控制的
相对于定点 的质点系动量矩定理质点系动量矩定理相对于定点 的质点系动量矩定理
相对于定点 的质点系动量矩定理
物理学的已有基础
质点系相对于定点的动量矩定理
质点系相对于定轴的动量矩定理
质点系 动量矩定理的守恒形式要点：
相对于定点 的质点系动量矩定理
普通 物理学的已有基础
1,质点的动量矩
iiiOi m vrL
mi
m1
mnm3
m2
x
z
yO
vi
ri
质点对于点 O的位矢与质点动量叉乘，所得到的矢量称为质点对于点 O
的动量矩。
动量矩矢量是定位矢量。点 O称为矩心。
质点和质点系的动量矩
质点和质点系的动量
2,质点系的动量矩
i
iiiO m vrLm
1
mn
mi
m3
m2
x
z
yO
vi
ri
质点系中所有质点对于点 O的动量矩的矢量和，称为质点系对点 O
的动量矩。
质点和质点系的动量定轴转动刚体的动量矩
mi
mivi
ri?
n
i
iizzx
n
i
iii
n
i
iii
n
i
iixx
rmJJL
rrmrvmvmML
1
2
111
)(
式中：?
Jz称为刚体对于 z轴的转动惯量。
即绕定轴转动刚体对其转轴的动量矩等于刚体对转轴的转动惯量与转动角速度的乘积。
质点系相对于定点的动量矩定理
动量矩定理
质点动量矩定理设质点对定点 O的动量矩为 Mo(mv),作用力 F对同一点的矩为
Mo(F).
x
y
z
mvF
r
)(
)(
mv
dt
d
rvm
dt
rd
vmr
dt
d
x
y
z
mvF
r
根据质点动量定理：
Fvmdtd)(
因 O定点，所以有：
vdtrd?
质点动量矩定理
Frvmvvmrdtd
)(
)( 0 FMFrvmv o,
质点动量矩定理
x
y
z
mvF
r
Frvmvvmrdtd
)(
)( 0 FMFrvmv o,
)()( FMvmM
dt
d
oo
上式即为质点动量矩定理，即质点 对某定点的动量矩对时间的一阶导数，等于作用力对同一点的矩。
质点动量矩定理直角坐标形式的质点动量定理：
)()(
)()(
)()(
FMvmM
dt
d
FMvmM
dt
d
FMvmM
dt
d
zz
yy
xx
即：质点对某定轴的动量矩对时间的一阶导数，等于作用于质点上的力对同轴的矩。
2.质点动量守恒定律：
质点动量矩定理作用于质点的力对于某定点的矩恒等于零，则质点对该点的动量矩保持不变。即：
恒量?)( vmM o
如果作用于质点的力对于某定轴的矩等于零，则质点对该轴的动量矩保持不变。即：
恒量?)( vmM z
相对于定点 的质点系动量矩定理
i
ii
i
iii mt
e
d
d Frvr
m1
mn
mi
m3
m2
x
z
yO
vi
ri
Fi
Fn
F1
F2
质点系对于定点 O的动量矩对时间的一阶导数，等于作用在系统上所有外力对于同一点的主矩 —— 质点系对于定点的动量矩定理。
e
d
d
O
O
t M
L?
相对于定点 的质点系动量矩定理直角坐标形式的质点系动量矩定理：
)(
)(
)(
)(
)(
)(
e
izz
e
iyy
e
ixx
FmL
dt
d
FmL
dt
d
FmL
dt
d
质点系对于某定轴的动量矩对时间的一阶导数，等于作用于质点系的外力对同一轴的矩的代数和。
相对于定点 的质点系动量矩定理
质点系相对于定轴的动量矩定理
相对于定点 的质点系动量矩定理
质点系相对于定轴的动量矩定理
e
d
d
OOt M
L?
vi
ri
mi
F1
F2
Fn
Fi
y
x
z
kjiM eeee OzOyOxO MMM
kjiL OzOyOxO LLL
e
e
e
d
d
d
d
d
d
Oz
Oz
Oy
Oy
Ox
Ox
M
t
L
M
t
L
M
t
L
相对于定点 的质点系动量矩定理
质点系相对于定轴的动量矩定理
e
e
e
d
d
d
d
d
d
Oz
Oz
Oy
Oy
Ox
Ox
M
t
L
M
t
L
M
t
L
质点系对于定轴的动量矩对时间的一阶导数等于作用在系统上的外力主矩在投影轴上的投影 ( 或所有外力在同一轴上投影的代数和 )。
质点系对于定轴的动量矩定理
相对于定点 的质点系动量矩定理
质点系 动量矩定理的守恒形式
相对于定点 的质点系动量矩定理
质点系 动量矩定理的守恒形式
e
d
d
O
O
t M
L?,＝ 0e
OM CL?O
如果外力系对于定点的主矩等于 0，
则质点系对这一点的动量矩守恒 。
相对于定点 的质点系动量矩定理
质点系 动量矩定理的守恒形式
e
e
e
d
d
d
d
d
d
Oz
Oz
Oy
Oy
Ox
Ox
M
t
L
M
t
L
M
t
L
0
0
0
e
e
e
Oz
Oy
Ox
M
M
M
3
2
1
CL
CL
CL
Oz
Oy
Ox
如果外力系对于定轴之矩等于 0，
则质点系对这一轴的动量矩守恒 。
z
i
iii
i
iixiOz JrrmrvmL )()(
刚体定轴转动运动微分方程
vi
ri
mi
F1
F2
Fn
Fi
y
x
z
i
iiz rmJ
2—— 刚体 z轴的转动惯量刚体绕定轴转动的微分方程
相对于定点 的质点系动量矩定理
z
i
iii
i
iixiOz JrrmrvmL )()(
刚体定轴转动运动微分方程
e
d
d
Oz
Oz M
t
L?
zz
zz
zz
MJ
MJ
MJ
＝
＝
＝
—— 刚体定轴转动运动微分方程
相对于定点 的动量矩定理在简单的刚体系统中应用质点系动量矩定理
相对于定点 的动量矩定理应用于简单的刚体系统均质圆轮半径为 R,质量为 m。圆轮在重物 P带动下绕固定轴 O转动，已知重物重量为 W。
求,重物下落的加速度
O
P
W
例题 1
相对于定点 的动量矩定理应用于简单的刚体系统 例 题 1
相对于定点 的动量矩定理应用于简单的刚体系统 例 题解,设圆轮的角速度和角加速度分别为?和?,重物的加速度为 aP。
圆轮对 O轴 的 动量矩重物对 O轴 的 动量矩
21 21 mRJL OO?＝
vRgWm v RL O?＝2
vRgWmRLLL OOO ＋＋＝?221 21?
系统对 O轴 的 总动量矩
P
O
W
aP
相对于定点 的动量矩定理应用于简单的刚体系统 例 题 1
解：
vRgWmRLLL OOO ＋＋＝?221 21?
系统对 O轴 的 总动量矩应用动量矩定理
e
d
d
O
O M
t
L?
WRvRgWmRt )21(dd 2?P
O
W
aP
相对于定点 的动量矩定理应用于简单的刚体系统 例 题 1
解,应用动量矩定理
WRvRgWmRt )21(dd 2?
WRRagWmR P221
其中
aP=R?
g
Wm
Wa
P
2
P
O
W
aP
C
A
l
O
k
相对于定点 的动量矩定理应用于简单的刚体系统例 题 2
扭摆装置中，圆盘 A对通过圆心 C
的铅垂轴的转动惯量为 JC； 弹性杆件
OC 的长度为 l,切变模量为 G,横截面的极惯性矩为 IP,杆件的质量与圆盘相比可以忽略不计。若不考虑空气阻力，求：扭摆的扭转振动周期。
例题 2
C
A
l
O
k
相对于定点 的动量矩定理应用于简单的刚体系统 例 题 2
解,假设圆盘扭过一任意角度
，根据圆轴扭转的变形与扭矩的关系
P
x
P
x
GI
M
lGI
M
x
,
d
d
l
GIk P?
将扭摆看作一扭转弹簧，其刚度系数
相对于定点 的动量矩定理应用于简单的刚体系统 例 题 2
C
A
l
O
k
l
GIk P?
解,将扭摆看作一扭转弹簧，其刚度系数应用刚体定轴转动运动微分方程
kJ C ＝－
0 lJGI
C
P＋
扭摆的周期为
P
C
GI
lJT π2＝
刚体对轴的转动惯量转动惯量的定义, 2
iiz rmJ
1.对简单形状物体的转动惯量：
2.惯性半径的概念：
m
J z
z
3.平行轴定理：
2mdJJ
zcz
即刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对于通过质心并平行于该轴的转动惯量，
加上刚体的质量与两轴之间距离平方的乘积。
质点系动量矩定理
相对于质心 (平移系 )的质点系动量矩定理
相对于质心 (平移系 )的质点系动量矩定理
质点系相对于质心 (平移系 )
的动量矩
质点系相对于质心 (平移系 )
的动量矩定理
相对于质心 (平移系 )的质点系动量矩定理
质点系相对于质心
(平移系 )的动量矩
m1
mnm3
m2 mi
相对于质心 (平移系 )的质点系动量矩定理
质点系相对于质心
(平移系 )的动量矩
C
x
z
yO
vir
ri
x′
z′
y′
质点系中所有质点,在以质心为原点的平移参考系
C’ x ’ y’ z’ 中,相对运动动量对质心 C 之矩的矢量和,
称为质点系相对质心 (平移系 )的动量矩。
i
iiiC m rr vrL
LCr定位矢，作用点在质心。
相对于质心 (平移系 )的质点系动量矩定理
质点系相对于质心
(平移系 )的动量矩定理
相对于质心 (平移系 )的质点系动量矩定理
质点系相对于质心
(平移系 )的动量矩定理
i
iiiC m rr vrL
对时间的相对导数
i
i
ii
i
ii
iC
tmmtt d
d
d
d
d
d r
r
r v
~
rvr
~L~
i
iii
i
iii
C mm
t rrr
r
d
d arvvL~
i
Ciii
i
iiii
C mm
t
)()(0
d
d
aea
r aaraarL
~
aC是质点系质心的加速度
相对于质心 (平移系 )的质点系动量矩定理
质点系相对于质心
(平移系 )的动量矩定理
i
Ciii
C m
t )(d
d
a
r aarL
~
在动系为平移系的情形下，变矢量的相对导数等于绝对导数
tt
OC
d
d
d
d rr LL~?
根据质心的定义，
0r
i
Cii mm rr
er
d
d
C
O
t M
L?
0r?Cr (质心到平移系原点的位矢 )
eciiiaii MFramr ＝
相对于质心 (平移系 )的质点系动量矩定理
质点系相对于质心
(平移系 )的动量矩定理
er
d
d
C
O
t M
L?
质点系相对于质心 ( 平移系 ) 的动量矩的时间的一阶导数，等于作用于质点系上的外力系对质心的主矩,这就是 质点系相对于质心 (平移系 )的动量矩定理 。
相对于质心 (平移系 )的质点系动量矩定理
质点系相对于质心
(平移系 )的动量矩定理
er
d
d
C
O
t M
L?
这一表达式只有将质心取为定点才是正确的。
当外力对质心的主矩为 0时，
CL?rO
质点系相对质心 (平移系 )动量矩定理质点系动量矩定理
刚体平面运动微分方程
S
刚体平面运动微分方程
C x?
y?
F2
F1
Fn
Fi
aC
S－ 平面图形；
C－ 平面图形的质心；
－ 平面图形的角速度；
－ 平面图形的角加速度；
aC － 平面图形质心加速度；
Oxyz－ 定系；
Cx? y? z? － 动系；x
y
O
F1,F2,…,Fi,…,Fn－ 力系
S
C x?
y?
F2
F1
Fn
Fi
aC
x
y
O
miri
vir
刚体平面运动微分方程在平移系中，任意质点 mi
对平面图形质心的动量矩为：
Cii
i
iiiC JrmvmrL )(
i
2
rr ＝
rr iiiiC vmrL?
刚体对平面图形质心的动量矩为：
S
C x?
y?
F2
F1
Fn
Fi
aC
x
y
O
miri
vir
刚体平面运动微分方程
CC JL?r
应用质心运动定理
e
RFFa
i
iCm
应用相对质心动量矩定理定理
eer )()(
d
d
d
d
C
i
iCCC
C MMJJ
tt
L F
刚体平面运动微分方程
e
RFFa
i
iCm
eer )()(
d
d
d
d
C
i
iCCC
C MMJJ
tt
L F
)(
e
i
iCC
i
yC
i
xC
MJ
Fym
Fxm
F
刚体平面运动微分方程质点系动量矩定理
刚体平面运动微分方程应用于简单的刚体系统
刚体平面运动微分方程应用于简单的刚体系统例 题 5
C
半径为 r的均质圆轮，在倾角?
的斜面上，从静止开始向下作无滑动的滚动。
求,1、圆轮滚动到任意位置时，质心的加速度；
2、圆轮在斜面上不发生滑动所需要的最小摩擦因数。
C
刚体平面运动微分方程应用于简单的刚体系统 例 题 5
解,受力分析
C
W＝ mg
FN
1、圆轮质心加速度,圆轮作平面运动，根据平面运动微分方程
W＝ mg－ 圆轮所受重力；
F － 滑动摩擦力；
FN － 斜面约束力。
x?
y?
x
y
O F
FrJ
Fmgym
Fmgmaxm
C
C
CC
Nc o s0
s in
刚体平面运动微分方程应用于简单的刚体系统 例 题 5
1、圆轮质心加速度,圆轮作平面运动，
根据平面运动微分方程
C
W＝ mg
F
FN
x?
y?
x
y
O
FrJ
Fmgym
Fmgmaxm
C
C
CC
Nc o s0
s in
根据圆轮作纯滚动的条件
aC =r?
s in3221 gamaF CC,
刚体平面运动微分方程应用于简单的刚体系统 例 题 5
2、圆轮在斜面上不发生滑动所需要的最小摩擦因数,
C
W＝ mg
F
FN
x?
y?
x
y
O
s in3221 gamaF CC,
s in31 mgF?
纯滚动时，滑动摩擦力一般小于最大静摩擦力 FN fs
sNs in3
1 fFmgF
ta n31s m i n?fFN=mgcosθ
刚体平面运动微分方程的应用例 题 6
R
C?
半径为 r,质量为 m的均质圆柱体，在半径为 R 的刚性圆槽内作纯滚动 。在初始位置?＝?0,由静止向下滚动。
求：
1、圆柱体的运动微分方程；
2、圆槽对圆柱体的约束力；
3、微振动周期与运动规律。
刚体平面运动微分方程的应用 例 题 6
R
C
s=0
s+
mg
FN
Fn
Ca
τCa
解,分析圆柱体受力
mg－ 重力；
F－ 滑动摩擦力；
FN－ 圆槽对圆柱体的约束力。
圆柱体作平面运动，自由度
N＝ 1,广义坐标 q＝?,弧坐标 s与圆柱体质心轨迹重合。
刚体平面运动微分方程的应用 例 题 6
R
C
s=0
s+
mg
FN
Fn
Ca
τCa
解,1、圆柱体的运动微分方程根据自然轴系中，质心运动定理的投影形式，圆柱体的运动微分方程
FrJ
mgFrRmma
mgFrRmma
C
C
C
c o s)-(
s in-)-(
N
2
n
τ
C*
C* 为瞬心，
r rRrrrRv C )()(,
刚体平面运动微分方程的应用 例 题 6
解,1、圆柱体的运动微分方程
FrJ
mgFrRmma
mgFrRmma
C
C
C
c o s)-(
s in)-(
N
2
n
τ
FrRm)(21
r rRrrRv C )()(,
0s in)(23 grR
这是大小?角度都适用的圆柱体非线性运动微分方程。
刚体平面运动微分方程应用于简单的刚体系统 例 题 6
解,2、圆槽对圆柱体的约束力
c o s)-( N2n mgFrRmma C
由第二个运动微分方程
2N )-(c o srRmmgF ＋＝
圆槽对圆柱体的约束力为：
FrRm)(21
—— 法向力
—— 摩擦力
刚体平面运动微分方程应用于简单的刚体系统 例 题 6
解,3、微振动的周期与运动规律
0s in)(23 grR
s in，很小时,非线性微分方程线性化
0)3( 2 rR g
2g
)3(π2
)3(
2 rRT
rR
g
刚体平面运动微分方程应用于简单的刚体系统 例 题 6
解,3、微振动的周期与运动规律
0)3( 2 rR g
2g
)3(π2
)3(
2 rRT
rR
g
线性微分方程的一般解为：
)s in (tA＝
A和?为待定常数，由运动的初始条件确定。
刚体平面运动微分方程应用于简单的刚体系统 例 题 6
解,3、微振动的周期与运动规律线性微分方程的一般解为：
)s in (tA＝
A和?为待定常数，由运动的初始条件确定。
00 00,,t
c o s0s in0 AA,
2
π
0,A
t
rR
g
)-(3
2c o s
0
结论与讨论质点系动量矩定理
结论与讨论
关于质点系的两个矢量系及其相互关系
关于质点系相对非质心动点 ( 平移系 )的动量矩定理
关于突然解除约束问题
关于动量矩定理的应用
与动量矩定理有关的若干实际问题问题
结论与讨论
关于质点系的两个矢量系及其相互关系
结论与讨论? 关于质点系的两个矢量系及其相互关系质点系动力学中的两个矢量系
作用在质点系上的外力系 —— 力系及其基本特征量
,F,.,,,F,.,,,F,FF )( 21 ni?：力系
i iOO )e FMM （主矩
,FF
i i
e
R主矢基本特征量,
结论与讨论? 关于质点系的两个矢量系及其相互关系质点系动力学中的两个矢量系
作用在质点系上的动量系 —— 动量系及其基本特征量
,p,.,,,p,.,,,p,pp )( 21 ni?：动量系
,vpp
i i iii
m质点系动量:主矢基本特征量,
i i iiOiOO m )( vMLL质点系动量矩:主矩
结论与讨论? 关于质点系的两个矢量系及其相互关系外力系与动量系之间的关系之一,质点系动量定理与相对定点或定轴动量矩定理之二,质点系动量定理与相对质心 (平移系 )动量矩定理之三,刚体平面运动微分方程
结论与讨论? 关于质点系的两个矢量系及其相互关系外力系与动量系之间的关系之一,质点系动量定理与相对定点或定轴动量矩定理
e
Rd
d Fp?
t
质点系动量定理
e
d
d
O
O
t M
L?质点系相对定点动量矩定理质点系相对定轴动量矩定理
e
e
e
d
d
d
d
d
d
Oz
Oz
Oy
Oy
Ox
Ox
M
t
L
M
t
L
M
t
L
结论与讨论? 关于质点系的两个矢量系及其相互关系外力系与动量系之间的关系之一,质点系动量定理与相对定点或定轴动量矩定理定轴转动的特殊情形
zz MJ
结论与讨论? 关于质点系的两个矢量系及其相互关系外力系与动量系之间的关系之二,质点系动量定理与相对质心 (平移系 )动量矩定理
e
Rd
d Fp?
t
质点系动量定理
er
d
d
C
C
t M
L?质点系相对质心 (平移系 )动量矩定理
—— 描述质点系质心的运动
—— 描述质点系相对质心的运动
结论与讨论? 关于质点系的两个矢量系及其相互关系外力系与动量系之间的关系之三,刚体平面运动微分方程 —— 动量定理和相对质心动量矩定理描述平面运动刚体的总体运动。
)(
e
i
iCC
i
yC
i
xC
MJ
Fym
Fxm
F
描述刚体质心的运动
－描述刚体相对质心 (平移系 )的转动
结论与讨论? 关于质点系的两个矢量系及其相互关系外力系与动量系之间的关系之三,刚体平面运动微分方程 —— 动量定理和相对质心动量矩定理描述平面运动刚体的总体运动。
)(
e
i
iCC
i
yC
i
xC
MJ
Fym
Fxm
F
0)(
0
0
e
＝
＝
＝
i
iC
i
y
i
x
M
F
F
F
动力学静力学静力学是动力学的特殊情形
结论与讨论? 关于质点系的两个矢量系及其相互关系外力系与动量系之间的关系外力系与动量系的主矢和主矩分别对应相关
结论与讨论
关于动量矩定理的应用
结论与讨论? 关于动量矩定理的应用应用动量矩定理时
一般情形下，应该以定点、定轴或质心 (平移系 )
为矩心，或取矩轴；对质心 (平移系 )动量矩定理与对定点的动量矩定理形式相同。
动量矩定理主要应用于分析具有转动系统的动力学问题。
对于定轴问题,系统各部分对定轴的角速度必须是同一惯性参考系中的角速度，也就是绝对角速度。
计算动量矩以及外力矩时，都要采用相同的正负号规则 —— 右手定则 。
结论与讨论
关于质点系相对非质心动点 ( 平移系 )的动量矩定理
结论与讨论? 关于质点系相对非质心动点 ( 平移系 )的动量矩定理对于 矩心不是质心 ( 平移系 )的情形
er
d
d
C
C
t M
L?质点系相对质心 (平移系 )动量矩定理
er
d
d
A
A
t M
L?
质点系相对非质心 (平移系 )的情形
＋＝ erdd AAt ML？
结论与讨论
关于突然解除约束问题
关于突然解除约束问题? 结论与讨论
关于突然解除约束问题? 结论与讨论
O FOx
FOy
W=mg
FOx
W=mg
解除约束前：
FOx=0,FOy=mg/2
突然解除约束瞬时：
FOx=？,FOy=？
关于突然解除约束问题? 结论与讨论突然解除约束瞬时，杆 OA将绕
O轴转动，不再是静力学问题。
这时, 0, 0。 需要先求出?,再确定约束力。
O FOx
FOy
W=mg
AC 应用定轴转动微分方程
l
glmgml
2
3
23
1 2,
应用质心运动定理
Oy
Ox
Fmg
l
m
F
l
m
2
0
2
2
关于突然解除约束问题? 结论与讨论
Oy
Ox
Fmg
l
m
F
l
m
2
0
2
2
42
0
mglmmgF
F
Oy
Ox
解除约束的前、后瞬时，速度与角速度连续，
加速度与角加速度将发生突变。
突然解除约束问题的特点
系统的自由度一般会增加；
结论与讨论
与动量矩定理有关的若干实际问题问题
结论与讨论? 与动量矩定理有关的若干实际问题问题
？谁最先到 达顶点
结论与讨论? 与动量矩定理有关的若干实际问题问题
？ 直升飞机如果没有尾翼将发生什么现象
结论与讨论? 与动量矩定理有关的若干实际问题问题航天器是怎样实现姿态控制的
？
结论与讨论? 与动量矩定理有关的若干实际问题问题跳远运动员怎样使身体在空中不发生转动
？
结论与讨论? 与动量矩定理有关的若干实际问题问题跳远运动员怎样使身体在空中不发生转动返回本章目录页
几个实际问题
相对于定点 的质点系动量矩定理
相对于定点 的动量矩定理应用于简单的刚体系统
结论与讨论质点系动量矩定理
刚体平面运动微分方程应用于简单的刚体系统
相对于质心 (平移系 )的质点系动量矩定理
刚体平面运动微分方程
几个有意义的实际问题质点系动量矩定理几个实际问题
？
几个有意义的实际问题谁最先到达顶点
？
几个有意义的实际问题直升飞机如果没有尾翼将发生什么现象
？
几个有意义的实际问题为什么二者转动方向相反
几个有意义的实际问题航天器是怎样实现姿态控制的
相对于定点 的质点系动量矩定理质点系动量矩定理相对于定点 的质点系动量矩定理
相对于定点 的质点系动量矩定理
物理学的已有基础
质点系相对于定点的动量矩定理
质点系相对于定轴的动量矩定理
质点系 动量矩定理的守恒形式要点：
相对于定点 的质点系动量矩定理
普通 物理学的已有基础
1,质点的动量矩
iiiOi m vrL
mi
m1
mnm3
m2
x
z
yO
vi
ri
质点对于点 O的位矢与质点动量叉乘，所得到的矢量称为质点对于点 O
的动量矩。
动量矩矢量是定位矢量。点 O称为矩心。
质点和质点系的动量矩
质点和质点系的动量
2,质点系的动量矩
i
iiiO m vrLm
1
mn
mi
m3
m2
x
z
yO
vi
ri
质点系中所有质点对于点 O的动量矩的矢量和，称为质点系对点 O
的动量矩。
质点和质点系的动量定轴转动刚体的动量矩
mi
mivi
ri?
n
i
iizzx
n
i
iii
n
i
iii
n
i
iixx
rmJJL
rrmrvmvmML
1
2
111
)(
式中：?
Jz称为刚体对于 z轴的转动惯量。
即绕定轴转动刚体对其转轴的动量矩等于刚体对转轴的转动惯量与转动角速度的乘积。
质点系相对于定点的动量矩定理
动量矩定理
质点动量矩定理设质点对定点 O的动量矩为 Mo(mv),作用力 F对同一点的矩为
Mo(F).
x
y
z
mvF
r
)(
)(
mv
dt
d
rvm
dt
rd
vmr
dt
d
x
y
z
mvF
r
根据质点动量定理：
Fvmdtd)(
因 O定点，所以有：
vdtrd?
质点动量矩定理
Frvmvvmrdtd
)(
)( 0 FMFrvmv o,
质点动量矩定理
x
y
z
mvF
r
Frvmvvmrdtd
)(
)( 0 FMFrvmv o,
)()( FMvmM
dt
d
oo
上式即为质点动量矩定理，即质点 对某定点的动量矩对时间的一阶导数，等于作用力对同一点的矩。
质点动量矩定理直角坐标形式的质点动量定理：
)()(
)()(
)()(
FMvmM
dt
d
FMvmM
dt
d
FMvmM
dt
d
zz
yy
xx
即：质点对某定轴的动量矩对时间的一阶导数，等于作用于质点上的力对同轴的矩。
2.质点动量守恒定律：
质点动量矩定理作用于质点的力对于某定点的矩恒等于零，则质点对该点的动量矩保持不变。即：
恒量?)( vmM o
如果作用于质点的力对于某定轴的矩等于零，则质点对该轴的动量矩保持不变。即：
恒量?)( vmM z
相对于定点 的质点系动量矩定理
i
ii
i
iii mt
e
d
d Frvr
m1
mn
mi
m3
m2
x
z
yO
vi
ri
Fi
Fn
F1
F2
质点系对于定点 O的动量矩对时间的一阶导数，等于作用在系统上所有外力对于同一点的主矩 —— 质点系对于定点的动量矩定理。
e
d
d
O
O
t M
L?
相对于定点 的质点系动量矩定理直角坐标形式的质点系动量矩定理：
)(
)(
)(
)(
)(
)(
e
izz
e
iyy
e
ixx
FmL
dt
d
FmL
dt
d
FmL
dt
d
质点系对于某定轴的动量矩对时间的一阶导数，等于作用于质点系的外力对同一轴的矩的代数和。
相对于定点 的质点系动量矩定理
质点系相对于定轴的动量矩定理
相对于定点 的质点系动量矩定理
质点系相对于定轴的动量矩定理
e
d
d
OOt M
L?
vi
ri
mi
F1
F2
Fn
Fi
y
x
z
kjiM eeee OzOyOxO MMM
kjiL OzOyOxO LLL
e
e
e
d
d
d
d
d
d
Oz
Oz
Oy
Oy
Ox
Ox
M
t
L
M
t
L
M
t
L
相对于定点 的质点系动量矩定理
质点系相对于定轴的动量矩定理
e
e
e
d
d
d
d
d
d
Oz
Oz
Oy
Oy
Ox
Ox
M
t
L
M
t
L
M
t
L
质点系对于定轴的动量矩对时间的一阶导数等于作用在系统上的外力主矩在投影轴上的投影 ( 或所有外力在同一轴上投影的代数和 )。
质点系对于定轴的动量矩定理
相对于定点 的质点系动量矩定理
质点系 动量矩定理的守恒形式
相对于定点 的质点系动量矩定理
质点系 动量矩定理的守恒形式
e
d
d
O
O
t M
L?,＝ 0e
OM CL?O
如果外力系对于定点的主矩等于 0，
则质点系对这一点的动量矩守恒 。
相对于定点 的质点系动量矩定理
质点系 动量矩定理的守恒形式
e
e
e
d
d
d
d
d
d
Oz
Oz
Oy
Oy
Ox
Ox
M
t
L
M
t
L
M
t
L
0
0
0
e
e
e
Oz
Oy
Ox
M
M
M
3
2
1
CL
CL
CL
Oz
Oy
Ox
如果外力系对于定轴之矩等于 0，
则质点系对这一轴的动量矩守恒 。
z
i
iii
i
iixiOz JrrmrvmL )()(
刚体定轴转动运动微分方程
vi
ri
mi
F1
F2
Fn
Fi
y
x
z
i
iiz rmJ
2—— 刚体 z轴的转动惯量刚体绕定轴转动的微分方程
相对于定点 的质点系动量矩定理
z
i
iii
i
iixiOz JrrmrvmL )()(
刚体定轴转动运动微分方程
e
d
d
Oz
Oz M
t
L?
zz
zz
zz
MJ
MJ
MJ
＝
＝
＝
—— 刚体定轴转动运动微分方程
相对于定点 的动量矩定理在简单的刚体系统中应用质点系动量矩定理
相对于定点 的动量矩定理应用于简单的刚体系统均质圆轮半径为 R,质量为 m。圆轮在重物 P带动下绕固定轴 O转动，已知重物重量为 W。
求,重物下落的加速度
O
P
W
例题 1
相对于定点 的动量矩定理应用于简单的刚体系统 例 题 1
相对于定点 的动量矩定理应用于简单的刚体系统 例 题解,设圆轮的角速度和角加速度分别为?和?,重物的加速度为 aP。
圆轮对 O轴 的 动量矩重物对 O轴 的 动量矩
21 21 mRJL OO?＝
vRgWm v RL O?＝2
vRgWmRLLL OOO ＋＋＝?221 21?
系统对 O轴 的 总动量矩
P
O
W
aP
相对于定点 的动量矩定理应用于简单的刚体系统 例 题 1
解：
vRgWmRLLL OOO ＋＋＝?221 21?
系统对 O轴 的 总动量矩应用动量矩定理
e
d
d
O
O M
t
L?
WRvRgWmRt )21(dd 2?P
O
W
aP
相对于定点 的动量矩定理应用于简单的刚体系统 例 题 1
解,应用动量矩定理
WRvRgWmRt )21(dd 2?
WRRagWmR P221
其中
aP=R?
g
Wm
Wa
P
2
P
O
W
aP
C
A
l
O
k
相对于定点 的动量矩定理应用于简单的刚体系统例 题 2
扭摆装置中，圆盘 A对通过圆心 C
的铅垂轴的转动惯量为 JC； 弹性杆件
OC 的长度为 l,切变模量为 G,横截面的极惯性矩为 IP,杆件的质量与圆盘相比可以忽略不计。若不考虑空气阻力，求：扭摆的扭转振动周期。
例题 2
C
A
l
O
k
相对于定点 的动量矩定理应用于简单的刚体系统 例 题 2
解,假设圆盘扭过一任意角度
，根据圆轴扭转的变形与扭矩的关系
P
x
P
x
GI
M
lGI
M
x
,
d
d
l
GIk P?
将扭摆看作一扭转弹簧，其刚度系数
相对于定点 的动量矩定理应用于简单的刚体系统 例 题 2
C
A
l
O
k
l
GIk P?
解,将扭摆看作一扭转弹簧，其刚度系数应用刚体定轴转动运动微分方程
kJ C ＝－
0 lJGI
C
P＋
扭摆的周期为
P
C
GI
lJT π2＝
刚体对轴的转动惯量转动惯量的定义, 2
iiz rmJ
1.对简单形状物体的转动惯量：
2.惯性半径的概念：
m
J z
z
3.平行轴定理：
2mdJJ
zcz
即刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对于通过质心并平行于该轴的转动惯量，
加上刚体的质量与两轴之间距离平方的乘积。
质点系动量矩定理
相对于质心 (平移系 )的质点系动量矩定理
相对于质心 (平移系 )的质点系动量矩定理
质点系相对于质心 (平移系 )
的动量矩
质点系相对于质心 (平移系 )
的动量矩定理
相对于质心 (平移系 )的质点系动量矩定理
质点系相对于质心
(平移系 )的动量矩
m1
mnm3
m2 mi
相对于质心 (平移系 )的质点系动量矩定理
质点系相对于质心
(平移系 )的动量矩
C
x
z
yO
vir
ri
x′
z′
y′
质点系中所有质点,在以质心为原点的平移参考系
C’ x ’ y’ z’ 中,相对运动动量对质心 C 之矩的矢量和,
称为质点系相对质心 (平移系 )的动量矩。
i
iiiC m rr vrL
LCr定位矢，作用点在质心。
相对于质心 (平移系 )的质点系动量矩定理
质点系相对于质心
(平移系 )的动量矩定理
相对于质心 (平移系 )的质点系动量矩定理
质点系相对于质心
(平移系 )的动量矩定理
i
iiiC m rr vrL
对时间的相对导数
i
i
ii
i
ii
iC
tmmtt d
d
d
d
d
d r
r
r v
~
rvr
~L~
i
iii
i
iii
C mm
t rrr
r
d
d arvvL~
i
Ciii
i
iiii
C mm
t
)()(0
d
d
aea
r aaraarL
~
aC是质点系质心的加速度
相对于质心 (平移系 )的质点系动量矩定理
质点系相对于质心
(平移系 )的动量矩定理
i
Ciii
C m
t )(d
d
a
r aarL
~
在动系为平移系的情形下，变矢量的相对导数等于绝对导数
tt
OC
d
d
d
d rr LL~?
根据质心的定义，
0r
i
Cii mm rr
er
d
d
C
O
t M
L?
0r?Cr (质心到平移系原点的位矢 )
eciiiaii MFramr ＝
相对于质心 (平移系 )的质点系动量矩定理
质点系相对于质心
(平移系 )的动量矩定理
er
d
d
C
O
t M
L?
质点系相对于质心 ( 平移系 ) 的动量矩的时间的一阶导数，等于作用于质点系上的外力系对质心的主矩,这就是 质点系相对于质心 (平移系 )的动量矩定理 。
相对于质心 (平移系 )的质点系动量矩定理
质点系相对于质心
(平移系 )的动量矩定理
er
d
d
C
O
t M
L?
这一表达式只有将质心取为定点才是正确的。
当外力对质心的主矩为 0时，
CL?rO
质点系相对质心 (平移系 )动量矩定理质点系动量矩定理
刚体平面运动微分方程
S
刚体平面运动微分方程
C x?
y?
F2
F1
Fn
Fi
aC
S－ 平面图形；
C－ 平面图形的质心；
－ 平面图形的角速度；
－ 平面图形的角加速度；
aC － 平面图形质心加速度；
Oxyz－ 定系；
Cx? y? z? － 动系；x
y
O
F1,F2,…,Fi,…,Fn－ 力系
S
C x?
y?
F2
F1
Fn
Fi
aC
x
y
O
miri
vir
刚体平面运动微分方程在平移系中，任意质点 mi
对平面图形质心的动量矩为：
Cii
i
iiiC JrmvmrL )(
i
2
rr ＝
rr iiiiC vmrL?
刚体对平面图形质心的动量矩为：
S
C x?
y?
F2
F1
Fn
Fi
aC
x
y
O
miri
vir
刚体平面运动微分方程
CC JL?r
应用质心运动定理
e
RFFa
i
iCm
应用相对质心动量矩定理定理
eer )()(
d
d
d
d
C
i
iCCC
C MMJJ
tt
L F
刚体平面运动微分方程
e
RFFa
i
iCm
eer )()(
d
d
d
d
C
i
iCCC
C MMJJ
tt
L F
)(
e
i
iCC
i
yC
i
xC
MJ
Fym
Fxm
F
刚体平面运动微分方程质点系动量矩定理
刚体平面运动微分方程应用于简单的刚体系统
刚体平面运动微分方程应用于简单的刚体系统例 题 5
C
半径为 r的均质圆轮，在倾角?
的斜面上，从静止开始向下作无滑动的滚动。
求,1、圆轮滚动到任意位置时，质心的加速度；
2、圆轮在斜面上不发生滑动所需要的最小摩擦因数。
C
刚体平面运动微分方程应用于简单的刚体系统 例 题 5
解,受力分析
C
W＝ mg
FN
1、圆轮质心加速度,圆轮作平面运动，根据平面运动微分方程
W＝ mg－ 圆轮所受重力；
F － 滑动摩擦力；
FN － 斜面约束力。
x?
y?
x
y
O F
FrJ
Fmgym
Fmgmaxm
C
C
CC
Nc o s0
s in
刚体平面运动微分方程应用于简单的刚体系统 例 题 5
1、圆轮质心加速度,圆轮作平面运动，
根据平面运动微分方程
C
W＝ mg
F
FN
x?
y?
x
y
O
FrJ
Fmgym
Fmgmaxm
C
C
CC
Nc o s0
s in
根据圆轮作纯滚动的条件
aC =r?
s in3221 gamaF CC,
刚体平面运动微分方程应用于简单的刚体系统 例 题 5
2、圆轮在斜面上不发生滑动所需要的最小摩擦因数,
C
W＝ mg
F
FN
x?
y?
x
y
O
s in3221 gamaF CC,
s in31 mgF?
纯滚动时，滑动摩擦力一般小于最大静摩擦力 FN fs
sNs in3
1 fFmgF
ta n31s m i n?fFN=mgcosθ
刚体平面运动微分方程的应用例 题 6
R
C?
半径为 r,质量为 m的均质圆柱体，在半径为 R 的刚性圆槽内作纯滚动 。在初始位置?＝?0,由静止向下滚动。
求：
1、圆柱体的运动微分方程；
2、圆槽对圆柱体的约束力；
3、微振动周期与运动规律。
刚体平面运动微分方程的应用 例 题 6
R
C
s=0
s+
mg
FN
Fn
Ca
τCa
解,分析圆柱体受力
mg－ 重力；
F－ 滑动摩擦力；
FN－ 圆槽对圆柱体的约束力。
圆柱体作平面运动，自由度
N＝ 1,广义坐标 q＝?,弧坐标 s与圆柱体质心轨迹重合。
刚体平面运动微分方程的应用 例 题 6
R
C
s=0
s+
mg
FN
Fn
Ca
τCa
解,1、圆柱体的运动微分方程根据自然轴系中，质心运动定理的投影形式，圆柱体的运动微分方程
FrJ
mgFrRmma
mgFrRmma
C
C
C
c o s)-(
s in-)-(
N
2
n
τ
C*
C* 为瞬心，
r rRrrrRv C )()(,
刚体平面运动微分方程的应用 例 题 6
解,1、圆柱体的运动微分方程
FrJ
mgFrRmma
mgFrRmma
C
C
C
c o s)-(
s in)-(
N
2
n
τ
FrRm)(21
r rRrrRv C )()(,
0s in)(23 grR
这是大小?角度都适用的圆柱体非线性运动微分方程。
刚体平面运动微分方程应用于简单的刚体系统 例 题 6
解,2、圆槽对圆柱体的约束力
c o s)-( N2n mgFrRmma C
由第二个运动微分方程
2N )-(c o srRmmgF ＋＝
圆槽对圆柱体的约束力为：
FrRm)(21
—— 法向力
—— 摩擦力
刚体平面运动微分方程应用于简单的刚体系统 例 题 6
解,3、微振动的周期与运动规律
0s in)(23 grR
s in，很小时,非线性微分方程线性化
0)3( 2 rR g
2g
)3(π2
)3(
2 rRT
rR
g
刚体平面运动微分方程应用于简单的刚体系统 例 题 6
解,3、微振动的周期与运动规律
0)3( 2 rR g
2g
)3(π2
)3(
2 rRT
rR
g
线性微分方程的一般解为：
)s in (tA＝
A和?为待定常数，由运动的初始条件确定。
刚体平面运动微分方程应用于简单的刚体系统 例 题 6
解,3、微振动的周期与运动规律线性微分方程的一般解为：
)s in (tA＝
A和?为待定常数，由运动的初始条件确定。
00 00,,t
c o s0s in0 AA,
2
π
0,A
t
rR
g
)-(3
2c o s
0
结论与讨论质点系动量矩定理
结论与讨论
关于质点系的两个矢量系及其相互关系
关于质点系相对非质心动点 ( 平移系 )的动量矩定理
关于突然解除约束问题
关于动量矩定理的应用
与动量矩定理有关的若干实际问题问题
结论与讨论
关于质点系的两个矢量系及其相互关系
结论与讨论? 关于质点系的两个矢量系及其相互关系质点系动力学中的两个矢量系
作用在质点系上的外力系 —— 力系及其基本特征量
,F,.,,,F,.,,,F,FF )( 21 ni?：力系
i iOO )e FMM （主矩
,FF
i i
e
R主矢基本特征量,
结论与讨论? 关于质点系的两个矢量系及其相互关系质点系动力学中的两个矢量系
作用在质点系上的动量系 —— 动量系及其基本特征量
,p,.,,,p,.,,,p,pp )( 21 ni?：动量系
,vpp
i i iii
m质点系动量:主矢基本特征量,
i i iiOiOO m )( vMLL质点系动量矩:主矩
结论与讨论? 关于质点系的两个矢量系及其相互关系外力系与动量系之间的关系之一,质点系动量定理与相对定点或定轴动量矩定理之二,质点系动量定理与相对质心 (平移系 )动量矩定理之三,刚体平面运动微分方程
结论与讨论? 关于质点系的两个矢量系及其相互关系外力系与动量系之间的关系之一,质点系动量定理与相对定点或定轴动量矩定理
e
Rd
d Fp?
t
质点系动量定理
e
d
d
O
O
t M
L?质点系相对定点动量矩定理质点系相对定轴动量矩定理
e
e
e
d
d
d
d
d
d
Oz
Oz
Oy
Oy
Ox
Ox
M
t
L
M
t
L
M
t
L
结论与讨论? 关于质点系的两个矢量系及其相互关系外力系与动量系之间的关系之一,质点系动量定理与相对定点或定轴动量矩定理定轴转动的特殊情形
zz MJ
结论与讨论? 关于质点系的两个矢量系及其相互关系外力系与动量系之间的关系之二,质点系动量定理与相对质心 (平移系 )动量矩定理
e
Rd
d Fp?
t
质点系动量定理
er
d
d
C
C
t M
L?质点系相对质心 (平移系 )动量矩定理
—— 描述质点系质心的运动
—— 描述质点系相对质心的运动
结论与讨论? 关于质点系的两个矢量系及其相互关系外力系与动量系之间的关系之三,刚体平面运动微分方程 —— 动量定理和相对质心动量矩定理描述平面运动刚体的总体运动。
)(
e
i
iCC
i
yC
i
xC
MJ
Fym
Fxm
F
描述刚体质心的运动
－描述刚体相对质心 (平移系 )的转动
结论与讨论? 关于质点系的两个矢量系及其相互关系外力系与动量系之间的关系之三,刚体平面运动微分方程 —— 动量定理和相对质心动量矩定理描述平面运动刚体的总体运动。
)(
e
i
iCC
i
yC
i
xC
MJ
Fym
Fxm
F
0)(
0
0
e
＝
＝
＝
i
iC
i
y
i
x
M
F
F
F
动力学静力学静力学是动力学的特殊情形
结论与讨论? 关于质点系的两个矢量系及其相互关系外力系与动量系之间的关系外力系与动量系的主矢和主矩分别对应相关
结论与讨论
关于动量矩定理的应用
结论与讨论? 关于动量矩定理的应用应用动量矩定理时
一般情形下，应该以定点、定轴或质心 (平移系 )
为矩心，或取矩轴；对质心 (平移系 )动量矩定理与对定点的动量矩定理形式相同。
动量矩定理主要应用于分析具有转动系统的动力学问题。
对于定轴问题,系统各部分对定轴的角速度必须是同一惯性参考系中的角速度，也就是绝对角速度。
计算动量矩以及外力矩时，都要采用相同的正负号规则 —— 右手定则 。
结论与讨论
关于质点系相对非质心动点 ( 平移系 )的动量矩定理
结论与讨论? 关于质点系相对非质心动点 ( 平移系 )的动量矩定理对于 矩心不是质心 ( 平移系 )的情形
er
d
d
C
C
t M
L?质点系相对质心 (平移系 )动量矩定理
er
d
d
A
A
t M
L?
质点系相对非质心 (平移系 )的情形
＋＝ erdd AAt ML？
结论与讨论
关于突然解除约束问题
关于突然解除约束问题? 结论与讨论
关于突然解除约束问题? 结论与讨论
O FOx
FOy
W=mg
FOx
W=mg
解除约束前：
FOx=0,FOy=mg/2
突然解除约束瞬时：
FOx=？,FOy=？
关于突然解除约束问题? 结论与讨论突然解除约束瞬时，杆 OA将绕
O轴转动，不再是静力学问题。
这时, 0, 0。 需要先求出?,再确定约束力。
O FOx
FOy
W=mg
AC 应用定轴转动微分方程
l
glmgml
2
3
23
1 2,
应用质心运动定理
Oy
Ox
Fmg
l
m
F
l
m
2
0
2
2
关于突然解除约束问题? 结论与讨论
Oy
Ox
Fmg
l
m
F
l
m
2
0
2
2
42
0
mglmmgF
F
Oy
Ox
解除约束的前、后瞬时，速度与角速度连续，
加速度与角加速度将发生突变。
突然解除约束问题的特点
系统的自由度一般会增加；
结论与讨论
与动量矩定理有关的若干实际问题问题
结论与讨论? 与动量矩定理有关的若干实际问题问题
？谁最先到 达顶点
结论与讨论? 与动量矩定理有关的若干实际问题问题
？ 直升飞机如果没有尾翼将发生什么现象
结论与讨论? 与动量矩定理有关的若干实际问题问题航天器是怎样实现姿态控制的
？
结论与讨论? 与动量矩定理有关的若干实际问题问题跳远运动员怎样使身体在空中不发生转动
？
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