速度分析－速度合成定理的应用
A?
0
O
B
例 题 2－ B
已知,曲柄－滑块机构中，曲柄
OA＝ r,以等角速度?0绕 O轴转动,
曲柄处于水平位置； 连杆 AB＝ l。
求,1、滑块的速度 vB；
2,连杆 AB的角速度?AB 。
速度分析－速度合成定理的应用
B
A?
0
O
vA
x′
y′
vB
2、建立平移系 A x′ y′
解,1、选择基点 A(速度已知 )
vA=r?0
3、将滑块沿铅垂方向的运动 (绝对运动 )分解为：
跟随基点的平移－牵连运动；
以 O点为圆心 AB为半径的圆周运动－相对运动。
基点法
vA
例 题 2－ B
速度分析－速度合成定理的应用
x′
y′
解,
3、将滑块沿铅垂方向的运动 (绝对运动 )分解为：
跟随基点的平移－牵连运动；
以 O点为圆心 AB为半径的圆周运动－相对运动。
基点法由于 vA与 vB共线,vAB垂直于
AB,根据速度合成定理所形成的平行四边形，只能是一种特殊情形－一条直线。
vA
A?
0
O
vA vB
B
4、应用速度合成定理例 题 2－ B
速度分析－速度合成定理的应用解,4、应用速度合成定理基点法由于 vA与 vB共线,vBA垂直于
AB,根据速度合成定理所形成的平行四边形，只能是一种特殊情形 —— 一条直线。
vB＝ vA＝ r?0 j
vBA = 0,0?
AB?
瞬时平移
vA
A?
0
O
vA vB
B
例 题 2－ B
速度分析－速度合成定理的应用速度投影法
vA
A?
0
O
vA vB
B
瞬时平移
0
解,应用速度投影定理
c o s c o s BA vv?
vA=r?0,? ＝?＝?0
0?rvv BA ＝?
vAB = 0,0?
AB?
例 题 2－ B
瞬时速度中心及其应用
瞬时速度中心的概念
0
A
x′
y′
S
P
vA
vA
平面图形 S,基点 A,基点速度 vA,平面图形角速度?。
过 A点作 vA的垂直线 PA,P
A上各点的速度由两部分组成：
跟随基点平移的速度 vA －
牵连速度，各点相同；
相对于平移系的速度 vPA－
相对速度,自 A点起线性分布。
0
A
S
P
vA
vA
x′
y′ v
C?A C?
瞬时速度中心及其应用
瞬时速度中心的概念在直线 PA上存在一点 C?，
这一点的相对速度 v C? A与牵连速度 vA矢量大小相等、方向相反。因此 C?点的绝对速度 v C?
＝ 0。 C?点称为瞬时速度中心，
简称为速度瞬心。
AvAC ＝?
0
A
S
P
vA
vA
x′
y′ v
C?A C?
瞬时速度中心及其应用
瞬时速度中心的概念速度瞬心的特点
1、瞬时性－不同的瞬时，有不同的速度瞬心；
2、唯一性－某一瞬时只有一个速度瞬心；
3、瞬时转动特性－平面图形在某一瞬时的运动都可以视为绕这一瞬时的速度瞬心作瞬时转动,
45o
90o
瞬时速度中心及其应用例 题 3
90oω 0 O1
O
BA D 已知,四连杆机构中
DBADlABlBO,,231
OA以 ω0绕 O轴转动。
求,1,B和 D点的速度；
2,AB杆的角速度。
例 题 3? 瞬时速度中心及其应用
90o
90o
45o? 0 O1
O
BA D
C?
vA
vB
AB 解,机构作平面运动,OA和 O
1B都作定轴转动,A,B
二点的速度 vA和 vB的方向都可以确定。作二者的垂直线，
相交于 C?,此即速度瞬心。
图中的几何关系：
lDClAC 4 532 23,
,,lBCABlOA 232＝
例 题 3? 瞬时速度中心及其应用
90o
90o
45o? 0 O1
O
BA D
C?
vA
vB
AB 解,机构作平面运动,OA和 O
1B都作定轴转动,A,B
二点的速度 vA和 vB的方向都可以确定。作二者的垂直线，
相交于 C?,此即速度瞬心。
00 2 lOAv A
0
0
3
2
2
23
2

l
l
AC
v A
AB
例 题 3? 瞬时速度中心及其应用解,机构作平面运动,OA
和 O1B都作定轴转动,A,B
二点的速度 vA和 vB的方向都可以确定。作二者的垂直线，
相交于 C?,此即速度瞬心。
0
0
3
2
2
23
2

l
l
AC
v A
AB
90o
90o
45o? 0 O1
O
BA D
C?
vA
vB
AB
003
2
2
3 ll
AC
vBCv A
ABB
例 题 3? 瞬时速度中心及其应用解,机构作平面运动,OA
和 O1B都作定轴转动,A,B
二点的速度 vA和 vB的方向都可以确定。作二者的垂直线，
相交于 C?,此即速度瞬心。
0
0
3
2
2
23
2

l
l
AC
v A
AB
90o
90o
45o? 0 O1
O
BA D
C?
vA
vB
AB
vD
00 2
5
3
2
2
53 llDCv
ABD
O
例 题 4
瞬时速度中心及其应用
D
C
B
A
vO
已知,半径为 R的 圆轮在直线轨道上作纯滚动。轮心速度为
vO 。
求,轮缘上 A,B,C,D四点的速度。
O D
C
B
A
vO
例 题 4? 瞬时速度中心及其应用
C?
解,圆轮与地面接触点 A，由于没有相对滑动，因而在这一瞬时，
A点的速度 vA＝ 0。 A点即为速度瞬心 C?。 假设这一瞬时的角速度为
ω 。
由 vO ＝ R ω 得到
R
vO
00 22 vvvv DC,
020 vvv BA,
例 题 4? 瞬时速度中心及其应用
加速度分析
—— 用基点法求平面图形内各点的加速度合成定理的应用刚体的平面运动用基点法求平面图形内各点的加速度
A
ω ε
aA
B
aBAτ
aA
aBAn
aBA
aB
将平面图形的运动分解为,1.随基点的 A的平动； 2.绕基点 A的转动。
图形中 B点的运动可看成两个运动的合成，其加速度可以用点的合成运动的加速度合成定理求出。
BAnBAAB aaaa
S
A 点的绝对运动轨迹
B 点的绝对运动轨迹 B
A
y′
x′
aA
如果已知平面图形上一点 (A)的加速度 aA,图形的角速度 ω与角加速度 ε,应用加速度合成定理，
可以确定平面图形上任意点的加速度：
1、选择加速度已知的点为基点；
2、建立平移系；
3、应用牵连运动为平移的加速度合成定理 aa=ae+ar
可以确定图形上任意点的加速度。这时，
aa ＝ aB,ae＝ aA,ar＝ aBA
用基点法求平面图形内各点的加速度
S
A 点的绝对运动轨迹
B 点的绝对运动轨迹 B
A
y′
x′
B
A
aA
aA

B
A?
a?BA
anBA
aBA
aA
aBA
aA
aB
aB?
)rω(ωra ABABA
rea aaaaB
nτ BABAABAA aaaaa
BAABA vωra
用基点法求平面图形内各点的加速度
)rω(ωra ABABA
rea aaaaB nτ BABAABAA aaaaa
BAABA vωra
平面图形上任意一点的加速度等于基点的加速度与这一点对于以基点为坐标原点的平动参考系的相对 切向加速度 和 法向加速度 的矢量和。
用基点法求平面图形内各点的加速度例 题 5
ω 0
曲柄－滑块机构,OA＝ r,AB＝ l,曲柄以等角速度 ω0绕
O轴旋转。求：图示瞬时，滑块 B的加速度 aB和连杆 AB的角加速度 ε AB
90o
30o
O B
A
用基点法求平面图形内各点的加速度例 题 5
解,1、确定连杆的角速度：
以 A为基点，建立平移系 A x′y′，? 0 O B
A
90o
30o
x′
y′v
A
vA
vB v
BA
3t a n 3 0
0
0

l
r
l
v AB
AB
t a n 3 0t a n 3 0 00 rvvrv AABA,
用基点法求平面图形内各点的加速度例 题 5
0
O B
A
90o
30o
解,
3
0
ABx
′
y′
a?BA
aB
2、加速度分析
aA
aA
anBA
A点的加速度
20?ra A?
B点的加速度：根据加速度合成定理 nτ BABAAB aaaa ＋＋?
la ABBA 沿着水平方向Ba
9
2
02n lABa
ABBA
用基点法求平面图形内各点的加速度例 题 5
0
O B
A
90o
30o
解,2、角速度分析x′y
′
anBA
aB
aA
aA
a?BA
B点的加速度：根据加速度合成定理
nτ BABAAB aaaa ＋＋?
la ABBA ε
沿着水平方向Ba
9
2
02n lABa
ABBA
将加速度合成定理中各项向 AB方向投影
2
0
2
0n
27
32
930c o s?
lalaa
BABB,＝
用基点法求平面图形内各点的加速度例 题 5
0
O B
A
90o
30o
解,2、角速度分析x′y
′
anBA
aB
aA
aA
a?BA
B点的加速度：根据加速度合成定理
nτ BABAAB aaaa ＋＋?
la ABBA ε
将加速度合成定理中各项向 a?BA方向投影
2
0
2
0
2
0
τ )
27
3(
27
330s i n lrlraaaa
BAABAB,＝
2
0
2
0 27
38)
27
3-
3
3(
l
a BA
AB
用基点法求平面图形内各点的加速度例 题 5
0
O B
A
90o
30o
解,3、关于约束的作用x′
y′
anBA
aB
aA
aA
a?BA
B点的加速度：根据加速度合成定理
nτ BABAAB aaaa ＋＋? )rω(ωra ABBABAABBAA
Ba一般情形下 的大小和方向都是未知的。因此，确定角加速度?BA至关重要。本例利用了滑块的约束条件，确定了滑块的加速度 aB的方向。
用基点法求平面图形内各点的加速度例 题 6
OB
A
vO
aO
已知,半径为 R的 圆轮在直线轨道上作纯滚动。轮心速度为
vO,加速度为 aO 。
求,轮缘上 A,B二 点的速度和加速度。
用基点法求平面图形内各点的加速度
OB
A
vO aO
例 题 6
解,1、基点法的速度分析：
确定圆轮的转动角速度以 O点为基点，建立平移系
O x′y′。 轮缘上任意点 P的运动可以分解为：
s
P
P
跟随 基点 O的平移－牵连运动；
相对于平移系 O x′y′、
绕 O点的转动－相对运动 。
为建立转动角速度与轮心速度之间的关系，考察圆轮滚动时
P点转过的角度?与轮心移动的距离 s之间的关系。
x′
y′
用基点法求平面图形内各点的加速度例 题 6
解,1、基点法的速度分析：
确定圆轮的转动角速度为建立转动角速度与轮心速度之间的关系，考察圆轮滚动时 P点转过的角度?与轮心移动的距离 s之间的关系。
O
s
P
P
x′
y′
vO
B
A
R
vRvRsRs O
OOO,,,进而求得圆轮滚动时的角加速度
R
a
R
v OO
OO ＝

aO
用基点法求平面图形内各点的加速度
x′
y′
O
例 题 6
解,2、加速度分析：
R
vRa O
OAO
2
2n
R
a O
O
aO
a?AO
anAO
A点：
O
O
A
R
v O
O
ja Rv OA
2
nAOAOOA aaaa
OOAO aRa
vO aO
aA
用基点法求平面图形内各点的加速度
x′
y′
O vO aO
例 题 6
解,2、加速度分析：
R
vRa O
OBO
2
2n
R
a O
O
B点：
O
O R
v O
O
jia OOOB aRva )(
2
nBOBOOB aaaa
OOBO aRa
B
anBO
a?BO
aO
用基点法求平面图形内各点的加速度
瞬时加速度中心概念刚体的平面运动
瞬时加速度中心概念
x′
y′
A
aA
aA
a?CA
anC
A
C
aCA
在某一瞬时，运动的平面图形上，唯一存在加速度为零的点，这一点称为这一瞬时的瞬时加速度中心，简称为加速度瞬心。用 C表示。
瞬时加速度中心概念
x′
y′
A
aA
aAa
CA
anC
A
C
aCA
加速度瞬心的坐标根据加速度合成定理
nτ ACACAC aaaa ＋＋




ACACA
ACACA
ω rrαa
rωωrαa
2
)(
－＝
0
0
2
2


yxa
xya
yA
xA

C(x′,y′)
瞬时加速度中心概念根据加速度瞬心求得任意点的加速度如果已知加速度瞬心的位置，
以及这一瞬时绕加速度瞬心的角速度和角加速度，根据加速度合成定理，可以求得平面图形上任意一点的加速度：
PCPCPCPCP rrαaaa 2nτ?＝＋
P
B
C

a?PC
aPanPC?
aB?
点的复合运动
刚体平面运动分解为转动和转动
刚体平面运动分解为转动和转动
一种运动的两种分解方法
刚体绕平行轴转动时的 角速度合成定理
刚体平面运动分解为转动和转动
一种运动的两种分解方法
刚体平面运动分解为转动和转动?一种运动的两种分解方法
刚体平面运动分解为转动和转动?一种运动的两种分解方法
r?
e
a
BC先跟随平移系转动，再相对平移系转动
A B C′
x
y
x′
y′
B′ C′ x
y
C′′
B′ ′
′
x
y
刚体平面运动分解为转动和转动?一种运动的两种分解方法
A B C′
x
y
C′′
B′
x2′y2′
x′
y′
C′
B′ x′
y′
r?
e
a
BC先跟随转动系转动，再相对平移系转动
刚体平面运动分解为转动和转动?一种运动的两种分解方法
e>0,?r>0
a=?e +?r
刚体平面运动分解为转动和转动?一种运动的两种分解方法
e>0,?r<0
a=?e －?r
刚体平面运动分解为转动和转动
刚体绕平行轴转动时的 角速度合成定理
刚体平面运动分解为转动和转动
刚体绕平行轴转动时的 角速度合成定理
O x
y
O x
y
z
O′
C* C*
O′x′
y′
z′
x′
y′
C*
O′
C*
O′
平 面 立 体瞬 心 瞬 轴角速度代数量 角速度矢量
刚体平面运动分解为转动和转动
刚体绕平行轴转动时的 角速度合成定理
O x
y
z
C*
O′
z′
x′
y′
C*
O′ 刚体绕两平行轴转动时，刚体的绝对角速度矢量等于转动系的牵连角速度矢量与刚体相对于转动系的相对角速度的矢量和。
rea ωωω
刚体平面运动分解为转动和转动例 题 6
刚体平面运动分解为转动和转动 例 题 6
O
R
r
0
行星轮在固定的大齿轮上作纯滚动，曲柄 OA以等角速度?0
绕 O轴转动,求,行星轮的绝对角速度。
刚体平面运动分解为转动和转动 例 题 7
A
y 1′
x 1′
x 2′
y 2′
O P
P′?r
0?
0
A
y 1′
x 1′
解,建立平移系 A x1′ y1′、
转动系 O x2′ y2′。
当转动系转过?0时,行星轮上的 P点运动到 P′点，这时行星轮相对于平移系转过
r； 行星轮相对于定系转过?a 。
a ＝?r＋?e
其中?e ＝? 0 。 根据 R?e= r
r
得到
0er r
R
r
R
0rea r
rR
结论与讨论刚体的平面运动
结论与讨论
刚体复合运动与点的复合运动的关系
关于转动偶的概念
关于开链与闭链系统
关于运动学的正问题与反问题
关于滑动矢量向一点平移的概念
结论与讨论
刚体复合运动与点的复合运动的关系
结论与讨论? 刚体复合运动与点的复合运动的关系刚体复合运动分析是点的复合运动分析的延伸和扩展要注意运动的相对性；
基点的选择；
两种特殊的动参考系 —— 平移系与转动系；
特殊问题 —— 速度瞬心与角速度瞬心，相同点与不同点 (瞬时性，二者不在同一点 )。
结论与讨论
关于转动偶的概念
结论与讨论? 关于转动偶的概念
结论与讨论? 关于转动偶的概念
A B x
y
r
y' x'
e
再相对于转动系反向转过?r,而且有
e= -?r
于是
a=?e +?r =0
这表明刚体 B作平移。
这样两种转动的组合称为转动偶刚体 B跟随转动系转过
e；
结论与讨论
关于滑动矢量向一点平移的概念
结论与讨论? 关于滑动矢量向一点平移的概念
A
O
S
S
M rOA
A点,矢量 S
O点,矢量 S
矢量偶矢量 M＝ rOA?S
A
O
M? rOA
A点：角速度 矢量?
O点：角速度 矢量?
角速度偶矢量 M? ＝ rOA
结论与讨论
关于开链与闭链系统
结论与讨论? 关于开链与闭链系统
结论与讨论? 关于开链与闭链系统
结论与讨论
关于运动学的正问题与反问题
结论与讨论? 关于运动学的正问题与反问题已知运动学系统以及输入运动 求输出运动运动学正问题运动学反问题已知运动学系统的输出运动求输入运动设计运动系统返回本章目录页