动力学
动力学研究物体的机械运动与作用力之间的关系 。
动力学中物体的抽象模型有质点和质点系。
质点：具有一定质量而几何形状和尺寸可以忽略不计的物体。
质点系：由几个或无数个相互联系的质点所组成的系统。固体是质点系的一种特例 ——
任意两个质点之间的距离保持不变的质点系。
动力学由两个部分组成,质点动力学和质点系动力学。
质点动力学基本方程
主要内容：
本章根据动力学基本定律得出质点动力学基本方程，运用微积分方法，求解一个质点的动力学问题。
工程实际中的动力学问题
舰载飞机在发动机和弹射器推力作用下从甲板上起飞爆破时烟囱怎样倒塌工程实际中的动力学问题载人飞船的 交会与对接
工程实际中的动力学问题工程实际中的动力学问题高速列车的振动问题动力学基本定律
第一定律 （惯性定律）：不受力作用的质点，
将保持静止或作匀速直线运动。
第二定律,质点的质量与加速度的乘积，等于作用在质点的力的大小，加速度的方向与力的方向相同。即：
Fam
第三定律 （作用与反作用定律）
两个物体的作用力与反作用力总是大小相等，方向相反，沿着同一直线，且同时分别作用在两个物体上。
三个基本定律的适用范围
三个基本定律适用于 惯性参考系 。
在一般工程问题中，把固定在地面的坐标系或相对于地面作匀速直线运动的坐标系作为惯性参考系，具有足够的精确度。
研究卫星、洲际导弹等问题时，必须考虑地球的自转，即选取地心为原点、三个坐标轴指向三个恒星的坐标系作为惯性参考系。
约定,如无特别说明，均取固定在地球表面的坐标系作为惯性参考系。
质点的运动微分方程
设质点 M在 F1,F2,F3,…… Fn作用下运动，作用力的合力为 R，加速度为 a。
由第二定律有：
或者写成,
这是 矢量形式的质点运动的微分方程 。
1.质点运动微分方程在直角坐标轴上的投影
把上式向固定坐标系投影可得：
2.质点运动微分方程在自然轴上的投影
点的全加速度 a在切线与主法线构成的密切面内，点的加速度在副法线上的投影为零。
即：
0?
b
n
a
naaa
bi
ni
i
F
v
m
F
dt
dv
m
F0
2
＝
质点动力学的两类基本问题
1.第一类问题
已知质点的运动，求质点的受力。
设质点的运动方程为：
x=x(t)
y=y(t)
z=z(t)
将上式求导两次，就可以得到加速度在直角坐标轴上的三个投影。利用质点运动微分方程白难求出质点的受力。
求解第一类问题，可以归结为 微分问题 。
2.第二类问题
已知质点的受力，求质点的运动。
质点运动微分方程为：
质点动力学的两类基本问题
求质点的运动，就是求微分方程的解。
微分方程中的力，它可能是不变的，如重力；也可能是时间、坐标、速度的函数。
这三个二阶微分方程积分后，得到包含 6个积分常数的通解。
质点动力学的两类基本问题
C由质点运动的初始条件确定。
所谓初始条件，就是质点运动的初位置和初速度。
当 t=0时,x=x0,y=y0,z=z0,x'=v0x,y'=v0y,z'=v0z
如果初始条件不同，即使质点受到的力相同，其运动也可能不同。
因此，解决第二类问题，除了要给定力的函数外，还要知道运动的初始条件。求解第二类问题，可以归结为 积分问题 。当力的函数较复杂时，往往得不到解析解，只能求得近似的数值解。
质点动力学的两类基本问题求解质点动力学问题的一般步骤：
1.确定研究对象，选择坐标轴。
2.分析受力（包括主动力和约束反力）。
3.分析运动情况，如运动规律已知，则求出其加速度。
4.列出质点动力学的基本方程，进行求解。
下面举例说明两类动力学问题的求解。
质点相对运动动力学的基本方程
设一质量为 m
的质点，相对于非惯性系运动。 M受力为
F，相对加速度为 ar,牵连点的加速度为
ae，科氏加速度为 ac。
根据第二定律：
有,maa＝ F
因为,aa＝ ar+ae+ac，
由此得：
）（
式改写为：于是令：
711
611
611
gcger
cgcege
cer
cer
FFFam
amFamF
amamFam
Famamam
（ 11-7）式称为质点相对运动动力学基本方程。 Fge称为牵连惯性力,Fgc称为科氏惯性力,此两项可以理解为在非惯性系中对于牛顿第二定律的修正项。它们同样具有力的量纲，且与质点的质量有关，因而称为惯性力。还可以把（ 11-7）式改写为：
）（ 811 2
2
gcge FFFdt rdm
在（ 11-8）式中,r’是质点 M在动参考系中的矢径。（ 11-8）式称为 质点相对运动微分方程 。运用时，同样要取适当的坐标轴投影。
几种特例讨论几种特例讨论
1.动系相对定系平动,ak＝ 0，则 Fgk＝ 0，因此有：
geFF
ram
2.当动系相对于定系作匀速直线平动时，因为
ak＝ 0,ae＝ 0，则有 Fgc＝ Fge＝ 0，于是有：
Fram
可见，对于这样的参考系，牛顿定律也是适用的。即所有相对于惯性系作匀速直线平动的参考系都是惯性系。
3.当质点相对于动系静止时，即 ar＝ 0,vr＝ 0，
此时,Fgk＝ 0，因此有：
F+Fge＝ 0
上式称为 质点相对静止的平衡方程,即当质点在非惯性系中保持相对静止时，作用在质点上的力与质点的牵连惯性力相互平衡。
几种特例讨论
4.当质点相对于动系作等速直线运动时,ar＝ 0，
于是有：
F+Fge+Fgk＝ 0
上式为 质点相对平衡方程。
几种特例讨论非惯性系中的质点动力学应用举例
应用举例
O
非惯性系中的质点动力学
P
k
k
例 题 1
开有矩形槽的大盘以等角速度?绕 O轴旋转。矩形槽内安置物块 -弹簧系统，物块 P的质量为 m,弹簧的刚度系数为 k。
初始状态下，物块处于大盘圆心 O,这时弹簧不变形。
求,1、物块的相对运动微分方程；
2、物块对槽壁的侧压力。
应用举例非惯性系中的质点动力学? 应用举例例 题 1
解：
1、非惯性参考系－ O x′ y′
动点－物块 P
2、分析相对速度和各种加速度：
相对速度 vr － 沿着 x′正向牵连加速度 aen－ 由大盘转动引起科氏加速度 aIC－ 2vr
P
k
k
k
kP x′
y′
O
vr a
en
aIC
非惯性系中的质点动力学
k
kP
x′
vr a
en
aIk
x′
y′
O
FIen
F F
N
FIC
例 题 1
解：
3、分析质点 (物块 )受力：
F －弹簧力 F＝ 2k x′
FN －槽对物块的约束力
FIk －科氏力
FIen －法向牵连惯性力
FIen＝ m?2 x′
应用举例非惯性系中的质点动力学
k
kP
x′
vr a
en
aIC
x′
y′
O
FIen
F F
N
FIk
例 题 1
解：
4、建立质点 (物块 )的相对运动微分方程：
xmxkFFxm 2Ie 2
0)2( 2 xmkx
xmF2N
应用举例非惯性系中的质点动力学例 题 1
解,4、计算结果分析与讨论
0)2( 2 xmkx
物块在 x′＝ 0处的平衡位置 为稳定平衡位置。
当 时牵连惯性力小于弹簧的弹性恢复力，
物块的相对运动为自由振动，其固有频率为
m
k22
2
0
2
k
m
应用举例非惯性系中的质点动力学例 题 1
解,4、计算结果分析与讨论
0)2( 2 xmkx
当 牵连惯性力大于弹簧的弹性恢复力，
物块不能在 x′＝ 0处附近作 自由振动，物块在 x′＝ 0处的平衡是不稳定的。
m
k22
当 mk22 牵连惯性力等于弹簧的弹性恢复力物块在 x′＝ 0处为随遇的平衡位置。
应用举例
a
例题 2
已知一个单摆，摆长 l，小求质量为 m，
悬挂点 O以加速度 a
向上运动时，求单摆作微振动的周期解：在 O点上固结一个平动参考系 Ox’y’。
X’
Y’
O’
受力分析：
τ
p
Fge
m
a
X’
Y’
O’
重力,P＝ mg
绳子张力,F
F 牵连惯性力,Fge＝ ma
建立相对运动动力学方程：
ger FPFam
将上式投影到切向轴 τ上，得：
s in)(2
2
geFPdt
sdm
例题 2
s in)( 02
2
agmdt sdm 因为摆幅很小，所以有上式改写为：且,s i n ls
lagmdt
dm
o?
)(
2
2
0
,
ag
2
2
2
o2
dt
d
l
由上式得到：＝令：
例题 2
方程的解为,)s in (
0 A
摆的振动周期为：
oag
lT
2/2 0
例题 2
动力学研究物体的机械运动与作用力之间的关系 。
动力学中物体的抽象模型有质点和质点系。
质点：具有一定质量而几何形状和尺寸可以忽略不计的物体。
质点系：由几个或无数个相互联系的质点所组成的系统。固体是质点系的一种特例 ——
任意两个质点之间的距离保持不变的质点系。
动力学由两个部分组成,质点动力学和质点系动力学。
质点动力学基本方程
主要内容：
本章根据动力学基本定律得出质点动力学基本方程，运用微积分方法，求解一个质点的动力学问题。
工程实际中的动力学问题
舰载飞机在发动机和弹射器推力作用下从甲板上起飞爆破时烟囱怎样倒塌工程实际中的动力学问题载人飞船的 交会与对接
工程实际中的动力学问题工程实际中的动力学问题高速列车的振动问题动力学基本定律
第一定律 （惯性定律）：不受力作用的质点，
将保持静止或作匀速直线运动。
第二定律,质点的质量与加速度的乘积，等于作用在质点的力的大小，加速度的方向与力的方向相同。即：
Fam
第三定律 （作用与反作用定律）
两个物体的作用力与反作用力总是大小相等，方向相反，沿着同一直线，且同时分别作用在两个物体上。
三个基本定律的适用范围
三个基本定律适用于 惯性参考系 。
在一般工程问题中，把固定在地面的坐标系或相对于地面作匀速直线运动的坐标系作为惯性参考系，具有足够的精确度。
研究卫星、洲际导弹等问题时，必须考虑地球的自转，即选取地心为原点、三个坐标轴指向三个恒星的坐标系作为惯性参考系。
约定,如无特别说明，均取固定在地球表面的坐标系作为惯性参考系。
质点的运动微分方程
设质点 M在 F1,F2,F3,…… Fn作用下运动，作用力的合力为 R，加速度为 a。
由第二定律有：
或者写成,
这是 矢量形式的质点运动的微分方程 。
1.质点运动微分方程在直角坐标轴上的投影
把上式向固定坐标系投影可得：
2.质点运动微分方程在自然轴上的投影
点的全加速度 a在切线与主法线构成的密切面内，点的加速度在副法线上的投影为零。
即：
0?
b
n
a
naaa
bi
ni
i
F
v
m
F
dt
dv
m
F0
2
＝
质点动力学的两类基本问题
1.第一类问题
已知质点的运动，求质点的受力。
设质点的运动方程为：
x=x(t)
y=y(t)
z=z(t)
将上式求导两次，就可以得到加速度在直角坐标轴上的三个投影。利用质点运动微分方程白难求出质点的受力。
求解第一类问题，可以归结为 微分问题 。
2.第二类问题
已知质点的受力，求质点的运动。
质点运动微分方程为：
质点动力学的两类基本问题
求质点的运动，就是求微分方程的解。
微分方程中的力，它可能是不变的，如重力；也可能是时间、坐标、速度的函数。
这三个二阶微分方程积分后，得到包含 6个积分常数的通解。
质点动力学的两类基本问题
C由质点运动的初始条件确定。
所谓初始条件，就是质点运动的初位置和初速度。
当 t=0时,x=x0,y=y0,z=z0,x'=v0x,y'=v0y,z'=v0z
如果初始条件不同，即使质点受到的力相同，其运动也可能不同。
因此，解决第二类问题，除了要给定力的函数外，还要知道运动的初始条件。求解第二类问题，可以归结为 积分问题 。当力的函数较复杂时，往往得不到解析解，只能求得近似的数值解。
质点动力学的两类基本问题求解质点动力学问题的一般步骤：
1.确定研究对象，选择坐标轴。
2.分析受力（包括主动力和约束反力）。
3.分析运动情况，如运动规律已知，则求出其加速度。
4.列出质点动力学的基本方程，进行求解。
下面举例说明两类动力学问题的求解。
质点相对运动动力学的基本方程
设一质量为 m
的质点，相对于非惯性系运动。 M受力为
F，相对加速度为 ar,牵连点的加速度为
ae，科氏加速度为 ac。
根据第二定律：
有,maa＝ F
因为,aa＝ ar+ae+ac，
由此得：
）（
式改写为：于是令：
711
611
611
gcger
cgcege
cer
cer
FFFam
amFamF
amamFam
Famamam
（ 11-7）式称为质点相对运动动力学基本方程。 Fge称为牵连惯性力,Fgc称为科氏惯性力,此两项可以理解为在非惯性系中对于牛顿第二定律的修正项。它们同样具有力的量纲，且与质点的质量有关，因而称为惯性力。还可以把（ 11-7）式改写为：
）（ 811 2
2
gcge FFFdt rdm
在（ 11-8）式中,r’是质点 M在动参考系中的矢径。（ 11-8）式称为 质点相对运动微分方程 。运用时，同样要取适当的坐标轴投影。
几种特例讨论几种特例讨论
1.动系相对定系平动,ak＝ 0，则 Fgk＝ 0，因此有：
geFF
ram
2.当动系相对于定系作匀速直线平动时，因为
ak＝ 0,ae＝ 0，则有 Fgc＝ Fge＝ 0，于是有：
Fram
可见，对于这样的参考系，牛顿定律也是适用的。即所有相对于惯性系作匀速直线平动的参考系都是惯性系。
3.当质点相对于动系静止时，即 ar＝ 0,vr＝ 0，
此时,Fgk＝ 0，因此有：
F+Fge＝ 0
上式称为 质点相对静止的平衡方程,即当质点在非惯性系中保持相对静止时，作用在质点上的力与质点的牵连惯性力相互平衡。
几种特例讨论
4.当质点相对于动系作等速直线运动时,ar＝ 0，
于是有：
F+Fge+Fgk＝ 0
上式为 质点相对平衡方程。
几种特例讨论非惯性系中的质点动力学应用举例
应用举例
O
非惯性系中的质点动力学
P
k
k
例 题 1
开有矩形槽的大盘以等角速度?绕 O轴旋转。矩形槽内安置物块 -弹簧系统，物块 P的质量为 m,弹簧的刚度系数为 k。
初始状态下，物块处于大盘圆心 O,这时弹簧不变形。
求,1、物块的相对运动微分方程；
2、物块对槽壁的侧压力。
应用举例非惯性系中的质点动力学? 应用举例例 题 1
解：
1、非惯性参考系－ O x′ y′
动点－物块 P
2、分析相对速度和各种加速度：
相对速度 vr － 沿着 x′正向牵连加速度 aen－ 由大盘转动引起科氏加速度 aIC－ 2vr
P
k
k
k
kP x′
y′
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非惯性系中的质点动力学
k
kP
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aIk
x′
y′
O
FIen
F F
N
FIC
例 题 1
解：
3、分析质点 (物块 )受力：
F －弹簧力 F＝ 2k x′
FN －槽对物块的约束力
FIk －科氏力
FIen －法向牵连惯性力
FIen＝ m?2 x′
应用举例非惯性系中的质点动力学
k
kP
x′
vr a
en
aIC
x′
y′
O
FIen
F F
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FIk
例 题 1
解：
4、建立质点 (物块 )的相对运动微分方程：
xmxkFFxm 2Ie 2
0)2( 2 xmkx
xmF2N
应用举例非惯性系中的质点动力学例 题 1
解,4、计算结果分析与讨论
0)2( 2 xmkx
物块在 x′＝ 0处的平衡位置 为稳定平衡位置。
当 时牵连惯性力小于弹簧的弹性恢复力，
物块的相对运动为自由振动，其固有频率为
m
k22
2
0
2
k
m
应用举例非惯性系中的质点动力学例 题 1
解,4、计算结果分析与讨论
0)2( 2 xmkx
当 牵连惯性力大于弹簧的弹性恢复力，
物块不能在 x′＝ 0处附近作 自由振动，物块在 x′＝ 0处的平衡是不稳定的。
m
k22
当 mk22 牵连惯性力等于弹簧的弹性恢复力物块在 x′＝ 0处为随遇的平衡位置。
应用举例
a
例题 2
已知一个单摆，摆长 l，小求质量为 m，
悬挂点 O以加速度 a
向上运动时，求单摆作微振动的周期解：在 O点上固结一个平动参考系 Ox’y’。
X’
Y’
O’
受力分析：
τ
p
Fge
m
a
X’
Y’
O’
重力,P＝ mg
绳子张力,F
F 牵连惯性力,Fge＝ ma
建立相对运动动力学方程：
ger FPFam
将上式投影到切向轴 τ上，得：
s in)(2
2
geFPdt
sdm
例题 2
s in)( 02
2
agmdt sdm 因为摆幅很小，所以有上式改写为：且,s i n ls
lagmdt
dm
o?
)(
2
2
0
,
ag
2
2
2
o2
dt
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l
由上式得到：＝令：
例题 2
方程的解为,)s in (
0 A
摆的振动周期为：
oag
lT
2/2 0
例题 2
