Department of Mathematics
第七章 共形映射第 7.3节 黎曼定理最大模原理：
最大模原理及施瓦茨引理也是解析的基本性质之一,它在复变函数论中有大量应用 。
定理 6.1 如果函数 w=f(z)在区域 D内解析,并且
|f(z)|在 D内某点达到最大值,那么 f(z)在 D内恒等于常数 。
证明：由定理 1.3,假定 f(z)在 D内不恒等于常数
,那么 D1=f(D)是一个区域 。
设 |f(z)|在 D的内部 z0 达到最大值 。 显然,
100 )( Dzfw
而且 w0必有一个充分小的邻域包含在 D1内 。
最大模原理：
于是在这个邻域内可以找到一点 w'满足
|||'| 0ww?
从而在 D内有一点 z'满足 w'=f(z')以及
|)(||)(| 0zfzf?
这与所设矛盾 。 因此 f(z)在 D内恒等于常数 。
注解：
注解 1,此定理表明,在一个区域内不恒等于常数的解析函数,其模不可能在这个区域内达到最大值；
注解 2,此定理的结论具有非常明确的物理意义 。
注解 3,此定理是复变函数论的基础定理之一,证明方法非常多,我们的证明方法是其中较简单的一种 。
最大模原理的推论系 6.1设 D是一个有界区域,其边界为有限条简单闭曲线 C。 设 f(z)在 D及其边界组成的闭区域上连续,在 D内解析,并且不恒等于常数 。 设 M是
|f(z)|在上的最大值,即 f(z)在闭区域上的最大模
,那么 f(z)在边界 C上而且只在边界 C上达到最大模 。
证明：显然 。
施瓦茨引理,
引理 6.1设 f(z)是在开圆盘 |z|<1内的解析函数 。 设
f(0)=0,并且当 |z|<1时,|f(z)|<1。 在这些条件下
,我们有
（ 1） 当 |z|<1时,|;||)(| zzf?
（ 2）,;1|)0('|?f
（ 3）,如果对于某一个复常数
|||)('|),1||0( 0000 zzfzz
或者如果 |f'(0)|=1,那么在 |z|<1内其中
,)( zzf
1||其中 是一个复常数,并且 。
施瓦茨引理的证明：
证明：由于 f(0)=0,f(z)在 |z|<1内有泰勒级数
),(......)( 221 zzgzzzzf nn
其中,,,)(
21 zzg
因为当 |z|<1时,|f(z)|<1,所以对于 |z|=r(0<r<1)
,我们有
,1|)(||)(| rz zfzg
由最大模原理,当 rz?||
,1|)(| rzg?
其中 在 |z|<1内解析 。
由最大模原理,当 时,仍然有施瓦茨引理的证明：
令 1?r
,1|)(|?zg
于是当 0<|z|<1时,
,1|)(|?zzf
即
|||)(| zzf?
由于 f(0)=0,当 z=0时,上式成立,我们就得到引理中的结论 (1)； （ 2） 的结论也显然成立 。
令,我们就得到：当 |z|<1时施瓦茨引理的证明：
设在某一点
|,||)('|),1||0( 0000 zzfzz
那么,或者 |g(z)|在 z0达到它的最大模 1。
或者设 |f'(0)|=1,那么我们有 |g(0)|=| f'(0)|=1,即在 |g(z)|在 0达到它的最大值 1。 因此,由极大模原理,在 |z|<1内,
)( zg
其中?其中 是一个模为 1的复常数 。
注解：
注解 1,此引理表明,设 f(z)在 |z|<1内解析 。 设在映射 w=f(z)下,|z|<1的象在 |w|<1内,并设
f(0)=0,那么
（ 1） |z|<r(0<r<1)的象在 内；rw?||
（ 2） ;1|)0('|?f
（ 3） 如果某一 z0 (0<| z0 |<1)和它的象的模相等
,或者 |f'(0)|=1,那么,)( zzf
其中 是一个模等于 1的复常数 。
注解 2,施瓦茨引理在复变函数论的发展历史上
,曾因和比伯巴赫猜想有关而受到广泛关注 。
其中共形映射的基本问题问题一：对于给定的区域 D和定义在 D上的解析函数 w=f(z)，求象集 G=f(D)，并讨论 f(z)是否将 D保形地映射为 G；
问题二：给定两个区域 D和 G，求一个解析函数 w=f(z)，使得 f(z)将 D保形地映射为 G；
问题二一般称为基本问题，我们一般用单位圆作为一个中间区域。
)(zf )(wg
)(1 wgw
D
平面?z
1||
平面
G
平面?w
))((1 zfgw
图
。闭曲线双方单值地映射成简单且将上解析，在，函数单闭曲线的边界为简域（边界对应原理）设区定理
C
CDDzfwC
D
)(
注解 1、解析函数把区域变成区域；
注解 2、边界对应确定映射函数；
注解 3、注意边界对应的方向性。
。保形映射成区域将为边界的区域，则是以的正向，并令绕行方向定为的正向绕行时，相应的沿当
GDzf
wG
wCz
)(
D
1z
2z
3z
C
1w
3w
2w
D
1w
3w
2w?
图共形映射的存在唯一性
。地映射为保形把函数两点，则一定存在解析它们的边界至少包含意给定的两个连通区域是任与定理）设定理（黎曼存在唯一性
G
Dzfw
GD
)(
,
是唯一的。则映射
，，且满足
，要求函数并且任给一实数
，和内再分别任意指定一点和如果在
)(
)('a r g)()(
)(
0000
00
00
zfw
zfwzfzfw
wzGD
共形映射实例：
在解决某些实际问题以及数学理论问题时,我们往往要把有关解析函数的定义域保形映射成较简单的区域,以便进行研究及计算,我们下面给出几个实例 。
例 1,求作一个单叶函数,把半圆盘 |z|<1，
Imz>0保形映射成上半平面 。
解：因为圆及实轴在 -1及 +1直交,所以作分式线性函数
,
1
1
z
zw
例 1：把 -1及 +1分别映射成 w‘平面上的 0及无穷两点,
于是把 |z|=1及 Imz=0映射成 w‘平面上在原点互相直交上面的两条直线 。
由于分式线性函数中的系数是实数,所以 z平面上的实轴映射成 w‘平面上的实轴；
又由于 z=0映射成 w'=-1,半圆的直径 AC映射成
w'平面上的负半实轴 。
例 1图：
x
y
O
A
D
B C
平面?z
O
)1(?B
)( iD?
)0(A
C
平面?'w
C
)1(?D )1(B)0(A
C
平面?w
显然圆 |z|=1映射成 w'平面上的虚轴；又由于 z=i
映射成 w’=(i+1)/(i-1),半圆 ADC映射成 w'平面上的下半虚轴例 1：
根据在保形映射下区域及其边界之间的对应关系,已给半圆盘映射到 w'平面上的区域,应当在周界 ABC的左方,因此它是第三象限 。
最后作映射,w=w’2
当 w'在第三象限中变化时,argw'在及之间变化
。 因此 w'平面上的第三象限就映照成 w平面上的上半平面 。 因此,所求单叶函数为：
,
1
1
'
2
2?
z
z
ww
例 2：
例 2、求作一个单叶函数，把 z平面上的带形
,Im0 z
保形映射成 w平面上的单位圆 |w|<1。
解：函数
,zew?
把 z平面上的已给带形保形映射成 w'平面上的上半平面。
例 2图：
O
i?
i
平面?'w
x
y
O
i?
平面?z
1
O
平面?w
取 w'平面上关于实轴的对称点 -i及 i，那么函数
,
'
'
iw
iww
例 2：
把的 w'平面上的上半平面保形映射成 w平面上的单位圆 |w|<1。
因此,我们得到所求的单叶函数为：
.
.
ie
iew
z
z
例 3：
例 3,求作一个单叶函数,把扩充 z平面上单位圆的外部 |z|>1保形映射成扩充 w平面上去掉割线
,0Im,1Re1 ww
而得的区域 。
解：容易验证,分式线性函数
,
1
1'
w
ww
把此割线保形映射成 w'平面上的负实轴,把扩充 w平面上已给区域保形映射成 w'平面上除去负实轴 （ 包括 0） 而得的区域 。
例 3图：
x
y
O
平面?z
O
平面
C
平面?w
1? 1
平面?'w
O
另一方面,分式线性函数
,
1
1
z
z?
例 3：
把圆 |z|=1保形映射成复平面上的虚轴 。 由于它把 z=2映射成
3
可见它把扩充 z平面上单位圆的外部 |z|>1保形映射成复平面上的右半平面 。 显然,
,' 2w
把此平面上的这一部分保形映射成 w'平面上除去负实轴而得的区域 。 因此我们得到
,
1
1
1
1
2
z
z
w
w
例 3：
,1
2
1
z
zw
由此可得函数例 4：
例 4,求作一个单叶函数,把 z平面上半带域
,0Im,
2
Re
2
zz
保形映射成 w平面上的上半平面,并且使得
.0)0(,1)
2
( ff?
解：把坐标系按反时针方向旋转一个直角,并且应用指数函数做映射,我们求得函数
,' izew?
例 4：
,
1'
1'
2
1?
iw
iw
w
把上述半带域映射成 w'平面上的半圆盘 。
把坐标系按反时针方向旋转一个直角,并且应用例 1中的映射,得到函数例 4图：
)1(?A )1(C)0(B
平面?w
x
y
O
A
D
B C
平面?z
D
平面?'w
x
y
O
A
D
B
C
)(?A )0(C)1(?B
平面?1w
例 4：
因此,我们得到把以给半带域保形映射成 w1平面的上半平面的单叶函数,不过这时
,2/,0,2/z
分别被映射成
,0,1,1w
作分式线性函数,把上述三点分别映射成 w=-
1,0,+1，
,
1
1
1
1
w
ww
例 4：
最后得到所求的单叶函数：
22
22
)1'()1'(
)1'()1'(
iwiw
iwiw
w
.s in)(
2
1
'2
1' 2 zee
iiw
w iziz
例 5：
例 5,在 z平面的上半平面上,沿虚轴作一长 h为的割线 。 求作一个单叶函数,把上述半平面去掉割线而得的区域保形映射成 w平面上的上半平面 。
解：首先作映射,把割线去掉,使已给区域的全部边界都变到 w'平面的实轴上 。 为此,用在上述区域内的单叶解析函数
2' zw?
例 5图：
x
y
O
平面?z
A
A
B
)(hiC
D 平面?'w
)(?A
)(?A
)0(D
)0(B
)( 2hC?
平面?1w
)(?A
)(?A
)( 2hD
)( 2hB
)0(C 平面?w
)(?A
)(?A
)( hB? )(hD)0(C
例 5：
把 z平面的第一及第二象限分别映射成 w‘平面的上半平面及下半平面 。 这时射线 AD被映射成 w‘
平面上正实轴的上沿,DC被映射成从 0到 h2的线段的上沿,CB被映射成这条线段的下沿,BA被映射成正实轴的下沿,于是 z平面上已给区域被保形映射成 w'平面除去射线
,'Re,0'Im 2hww
例 5：
,' 21 hww
而得的区域 。 显然,函数,
把 w'平面的上述区域映射成 w1平面上除去正实轴所得的区域；而函数
,1ww?
又把这一区域映射成 w平面上的上半平面,其中开方应理解为在正实轴的上沿取正值的一个解析分支 。
结合以上讨论,我们得到所求的单叶函数是：
.' 2221 hzhwww
It’s The End！
Thank You！
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第七章 共形映射第 7.3节 黎曼定理最大模原理：
最大模原理及施瓦茨引理也是解析的基本性质之一,它在复变函数论中有大量应用 。
定理 6.1 如果函数 w=f(z)在区域 D内解析,并且
|f(z)|在 D内某点达到最大值,那么 f(z)在 D内恒等于常数 。
证明：由定理 1.3,假定 f(z)在 D内不恒等于常数
,那么 D1=f(D)是一个区域 。
设 |f(z)|在 D的内部 z0 达到最大值 。 显然,
100 )( Dzfw
而且 w0必有一个充分小的邻域包含在 D1内 。
最大模原理：
于是在这个邻域内可以找到一点 w'满足
|||'| 0ww?
从而在 D内有一点 z'满足 w'=f(z')以及
|)(||)(| 0zfzf?
这与所设矛盾 。 因此 f(z)在 D内恒等于常数 。
注解：
注解 1,此定理表明,在一个区域内不恒等于常数的解析函数,其模不可能在这个区域内达到最大值；
注解 2,此定理的结论具有非常明确的物理意义 。
注解 3,此定理是复变函数论的基础定理之一,证明方法非常多,我们的证明方法是其中较简单的一种 。
最大模原理的推论系 6.1设 D是一个有界区域,其边界为有限条简单闭曲线 C。 设 f(z)在 D及其边界组成的闭区域上连续,在 D内解析,并且不恒等于常数 。 设 M是
|f(z)|在上的最大值,即 f(z)在闭区域上的最大模
,那么 f(z)在边界 C上而且只在边界 C上达到最大模 。
证明：显然 。
施瓦茨引理,
引理 6.1设 f(z)是在开圆盘 |z|<1内的解析函数 。 设
f(0)=0,并且当 |z|<1时,|f(z)|<1。 在这些条件下
,我们有
（ 1） 当 |z|<1时,|;||)(| zzf?
（ 2）,;1|)0('|?f
（ 3）,如果对于某一个复常数
|||)('|),1||0( 0000 zzfzz
或者如果 |f'(0)|=1,那么在 |z|<1内其中
,)( zzf
1||其中 是一个复常数,并且 。
施瓦茨引理的证明：
证明：由于 f(0)=0,f(z)在 |z|<1内有泰勒级数
),(......)( 221 zzgzzzzf nn
其中,,,)(
21 zzg
因为当 |z|<1时,|f(z)|<1,所以对于 |z|=r(0<r<1)
,我们有
,1|)(||)(| rz zfzg
由最大模原理,当 rz?||
,1|)(| rzg?
其中 在 |z|<1内解析 。
由最大模原理,当 时,仍然有施瓦茨引理的证明：
令 1?r
,1|)(|?zg
于是当 0<|z|<1时,
,1|)(|?zzf
即
|||)(| zzf?
由于 f(0)=0,当 z=0时,上式成立,我们就得到引理中的结论 (1)； （ 2） 的结论也显然成立 。
令,我们就得到：当 |z|<1时施瓦茨引理的证明：
设在某一点
|,||)('|),1||0( 0000 zzfzz
那么,或者 |g(z)|在 z0达到它的最大模 1。
或者设 |f'(0)|=1,那么我们有 |g(0)|=| f'(0)|=1,即在 |g(z)|在 0达到它的最大值 1。 因此,由极大模原理,在 |z|<1内,
)( zg
其中?其中 是一个模为 1的复常数 。
注解：
注解 1,此引理表明,设 f(z)在 |z|<1内解析 。 设在映射 w=f(z)下,|z|<1的象在 |w|<1内,并设
f(0)=0,那么
（ 1） |z|<r(0<r<1)的象在 内；rw?||
（ 2） ;1|)0('|?f
（ 3） 如果某一 z0 (0<| z0 |<1)和它的象的模相等
,或者 |f'(0)|=1,那么,)( zzf
其中 是一个模等于 1的复常数 。
注解 2,施瓦茨引理在复变函数论的发展历史上
,曾因和比伯巴赫猜想有关而受到广泛关注 。
其中共形映射的基本问题问题一：对于给定的区域 D和定义在 D上的解析函数 w=f(z)，求象集 G=f(D)，并讨论 f(z)是否将 D保形地映射为 G；
问题二：给定两个区域 D和 G，求一个解析函数 w=f(z)，使得 f(z)将 D保形地映射为 G；
问题二一般称为基本问题，我们一般用单位圆作为一个中间区域。
)(zf )(wg
)(1 wgw
D
平面?z
1||
平面
G
平面?w
))((1 zfgw
图
。闭曲线双方单值地映射成简单且将上解析，在，函数单闭曲线的边界为简域（边界对应原理）设区定理
C
CDDzfwC
D
)(
注解 1、解析函数把区域变成区域；
注解 2、边界对应确定映射函数；
注解 3、注意边界对应的方向性。
。保形映射成区域将为边界的区域，则是以的正向，并令绕行方向定为的正向绕行时，相应的沿当
GDzf
wG
wCz
)(
D
1z
2z
3z
C
1w
3w
2w
D
1w
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2w?
图共形映射的存在唯一性
。地映射为保形把函数两点，则一定存在解析它们的边界至少包含意给定的两个连通区域是任与定理）设定理（黎曼存在唯一性
G
Dzfw
GD
)(
,
是唯一的。则映射
，，且满足
，要求函数并且任给一实数
，和内再分别任意指定一点和如果在
)(
)('a r g)()(
)(
0000
00
00
zfw
zfwzfzfw
wzGD
共形映射实例：
在解决某些实际问题以及数学理论问题时,我们往往要把有关解析函数的定义域保形映射成较简单的区域,以便进行研究及计算,我们下面给出几个实例 。
例 1,求作一个单叶函数,把半圆盘 |z|<1，
Imz>0保形映射成上半平面 。
解：因为圆及实轴在 -1及 +1直交,所以作分式线性函数
,
1
1
z
zw
例 1：把 -1及 +1分别映射成 w‘平面上的 0及无穷两点,
于是把 |z|=1及 Imz=0映射成 w‘平面上在原点互相直交上面的两条直线 。
由于分式线性函数中的系数是实数,所以 z平面上的实轴映射成 w‘平面上的实轴；
又由于 z=0映射成 w'=-1,半圆的直径 AC映射成
w'平面上的负半实轴 。
例 1图：
x
y
O
A
D
B C
平面?z
O
)1(?B
)( iD?
)0(A
C
平面?'w
C
)1(?D )1(B)0(A
C
平面?w
显然圆 |z|=1映射成 w'平面上的虚轴；又由于 z=i
映射成 w’=(i+1)/(i-1),半圆 ADC映射成 w'平面上的下半虚轴例 1：
根据在保形映射下区域及其边界之间的对应关系,已给半圆盘映射到 w'平面上的区域,应当在周界 ABC的左方,因此它是第三象限 。
最后作映射,w=w’2
当 w'在第三象限中变化时,argw'在及之间变化
。 因此 w'平面上的第三象限就映照成 w平面上的上半平面 。 因此,所求单叶函数为：
,
1
1
'
2
2?
z
z
ww
例 2：
例 2、求作一个单叶函数，把 z平面上的带形
,Im0 z
保形映射成 w平面上的单位圆 |w|<1。
解：函数
,zew?
把 z平面上的已给带形保形映射成 w'平面上的上半平面。
例 2图：
O
i?
i
平面?'w
x
y
O
i?
平面?z
1
O
平面?w
取 w'平面上关于实轴的对称点 -i及 i，那么函数
,
'
'
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iww
例 2：
把的 w'平面上的上半平面保形映射成 w平面上的单位圆 |w|<1。
因此,我们得到所求的单叶函数为：
.
.
ie
iew
z
z
例 3：
例 3,求作一个单叶函数,把扩充 z平面上单位圆的外部 |z|>1保形映射成扩充 w平面上去掉割线
,0Im,1Re1 ww
而得的区域 。
解：容易验证,分式线性函数
,
1
1'
w
ww
把此割线保形映射成 w'平面上的负实轴,把扩充 w平面上已给区域保形映射成 w'平面上除去负实轴 （ 包括 0） 而得的区域 。
例 3图：
x
y
O
平面?z
O
平面
C
平面?w
1? 1
平面?'w
O
另一方面,分式线性函数
,
1
1
z
z?
例 3：
把圆 |z|=1保形映射成复平面上的虚轴 。 由于它把 z=2映射成
3
可见它把扩充 z平面上单位圆的外部 |z|>1保形映射成复平面上的右半平面 。 显然,
,' 2w
把此平面上的这一部分保形映射成 w'平面上除去负实轴而得的区域 。 因此我们得到
,
1
1
1
1
2
z
z
w
w
例 3：
,1
2
1
z
zw
由此可得函数例 4：
例 4,求作一个单叶函数,把 z平面上半带域
,0Im,
2
Re
2
zz
保形映射成 w平面上的上半平面,并且使得
.0)0(,1)
2
( ff?
解：把坐标系按反时针方向旋转一个直角,并且应用指数函数做映射,我们求得函数
,' izew?
例 4：
,
1'
1'
2
1?
iw
iw
w
把上述半带域映射成 w'平面上的半圆盘 。
把坐标系按反时针方向旋转一个直角,并且应用例 1中的映射,得到函数例 4图：
)1(?A )1(C)0(B
平面?w
x
y
O
A
D
B C
平面?z
D
平面?'w
x
y
O
A
D
B
C
)(?A )0(C)1(?B
平面?1w
例 4：
因此,我们得到把以给半带域保形映射成 w1平面的上半平面的单叶函数,不过这时
,2/,0,2/z
分别被映射成
,0,1,1w
作分式线性函数,把上述三点分别映射成 w=-
1,0,+1，
,
1
1
1
1
w
ww
例 4：
最后得到所求的单叶函数：
22
22
)1'()1'(
)1'()1'(
iwiw
iwiw
w
.s in)(
2
1
'2
1' 2 zee
iiw
w iziz
例 5：
例 5,在 z平面的上半平面上,沿虚轴作一长 h为的割线 。 求作一个单叶函数,把上述半平面去掉割线而得的区域保形映射成 w平面上的上半平面 。
解：首先作映射,把割线去掉,使已给区域的全部边界都变到 w'平面的实轴上 。 为此,用在上述区域内的单叶解析函数
2' zw?
例 5图：
x
y
O
平面?z
A
A
B
)(hiC
D 平面?'w
)(?A
)(?A
)0(D
)0(B
)( 2hC?
平面?1w
)(?A
)(?A
)( 2hD
)( 2hB
)0(C 平面?w
)(?A
)(?A
)( hB? )(hD)0(C
例 5：
把 z平面的第一及第二象限分别映射成 w‘平面的上半平面及下半平面 。 这时射线 AD被映射成 w‘
平面上正实轴的上沿,DC被映射成从 0到 h2的线段的上沿,CB被映射成这条线段的下沿,BA被映射成正实轴的下沿,于是 z平面上已给区域被保形映射成 w'平面除去射线
,'Re,0'Im 2hww
例 5：
,' 21 hww
而得的区域 。 显然,函数,
把 w'平面的上述区域映射成 w1平面上除去正实轴所得的区域；而函数
,1ww?
又把这一区域映射成 w平面上的上半平面,其中开方应理解为在正实轴的上沿取正值的一个解析分支 。
结合以上讨论,我们得到所求的单叶函数是：
.' 2221 hzhwww
It’s The End！
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