Department of Mathematics
第六章 留数理论及应用第 6.2节 留数定理的应用留数定理的应用 --积分的计算,
在数学分析中,以及许多实际问题中,往往要求计算出一些定积分或反常积分的值,而这些积分中的被积函数的原函数,不能用初等函数表示出来；例如
,1c o s,,s in 22 dxx xdxedxx x x
或者有时可以求出原函数,但计算也往往非常复杂,例如
,)1( 1 22 dxx
留数定理的应用 --积分的计算,
（ 2）,利用留数计算积分,没有一些通用的方法,我们主要通过例子进行讨论；
（ 3） 我们只讨论应用单值解析函数来计算积分
,应用多值解析函数来计算积分在课本中有讨论 。 由于时间的关系,我们不讨论应用多值解析函数来计算积分的问题,同学们可以自学 。
利用留数计算积分的特点：
（ 1）,利用留数定理,我们把计算一些积分的问题,转化为计算某些解析函数在孤立奇点的留数,从而大大化简了计算；
例 1、例 1,计算积分
2
0
,
s i n ta
dtI
其中常数 a>1。
解：令 zeit?
iz
dzdt
z
z
i
t ),1(
2
1s i n
而且当 t从 0增加到?2
解：令,那么时,z按反时针方向绕圆 C:|z|=1一周 。
例 1、因此
,1222
C i a zz
dzI
于是应用留数定理,只需计算
12
2
2 ia zz
在 |z|<1内极点处的留数,就可求出 I。
上面的被积函数有两个极点：
121 aiiaz 122 aiiaz
显然 1||,1|| 21 zz
例 1、因此被积函数在 |z|<1内只有一个极点 z
1,而它在这点的留数是：
.
1
1
22
2),(R e s
2
1
1 aiiazzf
于是求得
.
1
2
1
12
22 aaiiI
注解：
注解 1,应用同样得方法,我们可以计算一般形如
,)c o s,( s i n2
0?
dtttRI
的积分,其中 R(x,y)是有理分式,并且在圆
C:|z|=1上,分母不等于零 。
例 2：例 2,计算积分
0 22
,
)1( x
dxI
解：首先,这是一个广义积分,它显然是收敛的 。 我们应用留数定理来计算它 。 考虑函数
22 )1(
1
z?
这个函数有两个二阶极点
,在上半平面上的一个是
z=i。 作以 O为心,r为半径的圆盘 。
例 2：
考虑这一圆盘在上半平面的部分,设其边界为
Cr。 取 r>1,那么 z=i包含在 Cr的内区域内 。 沿
Cr取
22 )1(
1
z?
r
r r z
dz
x
dx
2222 )1()1(
其中 r?
.
24
12),
)1(
1(R e s2
22
i
ii
z
i
其中 表示 Cr上的圆弧部分,沿它的积分是按幅角增加的方向取的 。
的积分,得例 2：
现在估计积分?
r z
dz
22 )1(
我们有
,
)1(
1|
)1(
| 2222 r
rz
dz
r
因此,0)1(lim 22
r z
dz
r
令,就得到r,
2)1( 22
x
dx
从而
.
4)1(2
1
22
x
dxI
注解：
注解 1,我们计算所得的值这个广义积分的柯西主值,但由于此积分收敛,所以积分值等于主值 。
注解 2,应用同样得方法,我们可以计算一般形如
,)(
dxxRI
的积分,其中 R(x)是有理分式,分母在实轴上不为零,并且分母的次数比分子的次数至少高 2次
,即积分绝对收敛 。
引理 3.1：
引理 3.1设 f(z)是闭区域
),0,0(||,210021 rzrA r g z
上连续的复变函数,并且设 r?
)( 0rr?
,0)(lim zfz
那么我们有
.0)(lim
r
dzezf iz
r
是以 O为心,r
为半径的圆弧在这闭区域上的一段 如果当 z在这闭区域上时,
引理 3.1：
证明：设 M(r)是 f(z)在 r?
.)(2)(
)(|)(|
2
0
s i n
0
s i n
s i n
rderMrderM
rderMdzezf
rr
tiz
rr
因为当 20
,1
s i n2
证明：设 是 在 上的最大值,则有因为当 时,
引理 3.1：
所以
2
0
2
2
0
s i n
rderde rr
.
20
2?
rde
r
又因为,0)(lim?
zfz
.0)(lim
r
dzezf iz
r
,0)(l i m
||
rM
z
又因为 所以,
例 3：
例 3,计算积分
0 2,1
c o s dx
x
xI
解：取 r>0,则有
,
12
1
)1(21
c o s
20 20 2
r
r
ixr ixixr
dx
x
edx
x
eedx
x
x
函数 12?ze
iz
0?y函数 在函数 在去有一阶极点 z=i外,在其他每一点都解析 。 取积分区域如图,而只要取
r>1。 于是我们有例 3：于是我们有
,),
1
(Re2
11
2
22
e
i
z
e
si
dz
z
e
dx
x
e
iz
iz
r
r
ix
r
其中 r?其中 表示 Cr上的圆弧部分,沿它的积分是按幅角增加的方向取的 。
例 3：现在应用引理 3.1,取
2,,0,
1
1)(
0212 rzzf
那么在这引理中所设各条件显然成立 。
因此,令r
,
1
lim 2
e
dx
x
er
r
ix
r
从而可见积分 I收敛,并且,
2 e
I
因此,令,就得到注解：
注解 1,应用同样得方法,我们可以计算一般形如
,)(
dtexfI ix
的积分,其中 f(x)在 0Im?z
0Im?z
注解 2,同样,上面求出的广义积分也是其柯西主值 。
上可能有有限个孤立奇点外,在其他每一点解析,而且当 z在上时,引理中的条件满足 。
说明：
如果函数 f(x)在上上半平面可能有有限个孤立奇点外,在其他每一点解析,而且在实轴上有孤立奇点,我们也可以计算某些广义积分,
同样,所求出的广义积分 （ 无限积分与瑕积分
） 也是其柯西主值,如下面的例子 。
函数 只是在 z=0有一个一阶极点 。
例 4：
例 4,计算积分
0
,s i n dxx xI
解：取 r及? 0r
],[
2
2
s i n
r
ix
r
ix
r
ixix
r
dx
x
e
dx
x
ei
dx
ix
ee
dx
x
x
函数
z
eiz
解：取,使解：取,使,我们有例 4：
作积分路径如下图 。 在上半平面上作以原点为心,
r与? r 与?
于是我们有
,0
dzzedxxedzzedxxe
izr ixizr ix
r
在这里沿 r 与?
现在求当
dzze
iz
为半径的半圆的积分分别是按幅角减小与增加的方向取的 。
现在求当 趋近于 0时,现在求当 趋近于 时,的极限 。
例 4：
由于,h(z)在 z=0的解析,在 z=0的一个邻域内,
| f(z)|有上界当 0?z ),(1 zh
zz
e iz
其中 h(z)是在 z=0的解析函数 。 因此
,)()(1
dzzhidzzhdz
z
dz
z
e iz
M
于是当?
,2|)(|
Mdzzh
当 时于是当 充分小时例 4：从而
,lim
0
idz
z
e iz?
令 r,0?
2
I
令,应用引理 3.1,可以得到所求积分收敛,并且留数定理的应用 --儒歇定理,
应用留数定理,我们也可以解决有关零点与极点的个数问题,因为教学时间的关系,我们只介绍儒歇定理,并应用它来决定方程在一些区域内根的个数 。
儒歇定理 （ 定理 5.2） 设 D是在复平面上的一个有界区域,其边界 C是一条或有限条简单闭曲线
。 设函数 f(z)及 g(z)在 D及 C所组成的闭区域上解析,并且在 C上,|f(z)|<|g(z)|,那么在 D上,f(z)
及 f(z)+g(z)的零点的个数相同 。
注解：
注解 1,应用此定理时,我们只要估计和在区域边界上模的值 。
注解 2,f(z)及 g(z)选择的原则是,f(z)在内的零点个数好计算 。
例 1:
例 1,求方程,0125 58 zzz
在 |z|<1内根的个数 。
解：令
,2)(,15)( 85 zzzgzzf
由于当 |z|=1时,我们有
,41|5||)(| 5 zzf
而
,3|2||||)(| 8 zzzg
已给方程在 |z|<1内根的个数与 -z5+1在 |z|<1内根的个数相同,即 5个 。
例 2:
例 2,如果 a>e,求证方程 nz aze?
单位圆内有 n个根 。
证明：令,)(,)( nz azzfezg
由于当 1||||iez
,|||)(|,|||)(| c o s eaazzfeeezg nz
azn-ez在 |z|<1内的零点的个数与 azn相同,即 n个
,因此方程在单位圆内有 n个根 。
nz aze?
由于当 时,
It’s The End！
Thank You！
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第六章 留数理论及应用第 6.2节 留数定理的应用留数定理的应用 --积分的计算,
在数学分析中,以及许多实际问题中,往往要求计算出一些定积分或反常积分的值,而这些积分中的被积函数的原函数,不能用初等函数表示出来；例如
,1c o s,,s in 22 dxx xdxedxx x x
或者有时可以求出原函数,但计算也往往非常复杂,例如
,)1( 1 22 dxx
留数定理的应用 --积分的计算,
（ 2）,利用留数计算积分,没有一些通用的方法,我们主要通过例子进行讨论；
（ 3） 我们只讨论应用单值解析函数来计算积分
,应用多值解析函数来计算积分在课本中有讨论 。 由于时间的关系,我们不讨论应用多值解析函数来计算积分的问题,同学们可以自学 。
利用留数计算积分的特点：
（ 1）,利用留数定理,我们把计算一些积分的问题,转化为计算某些解析函数在孤立奇点的留数,从而大大化简了计算；
例 1、例 1,计算积分
2
0
,
s i n ta
dtI
其中常数 a>1。
解：令 zeit?
iz
dzdt
z
z
i
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2
1s i n
而且当 t从 0增加到?2
解：令,那么时,z按反时针方向绕圆 C:|z|=1一周 。
例 1、因此
,1222
C i a zz
dzI
于是应用留数定理,只需计算
12
2
2 ia zz
在 |z|<1内极点处的留数,就可求出 I。
上面的被积函数有两个极点：
121 aiiaz 122 aiiaz
显然 1||,1|| 21 zz
例 1、因此被积函数在 |z|<1内只有一个极点 z
1,而它在这点的留数是：
.
1
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2
1
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于是求得
.
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注解：
注解 1,应用同样得方法,我们可以计算一般形如
,)c o s,( s i n2
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的积分,其中 R(x,y)是有理分式,并且在圆
C:|z|=1上,分母不等于零 。
例 2：例 2,计算积分
0 22
,
)1( x
dxI
解：首先,这是一个广义积分,它显然是收敛的 。 我们应用留数定理来计算它 。 考虑函数
22 )1(
1
z?
这个函数有两个二阶极点
,在上半平面上的一个是
z=i。 作以 O为心,r为半径的圆盘 。
例 2：
考虑这一圆盘在上半平面的部分,设其边界为
Cr。 取 r>1,那么 z=i包含在 Cr的内区域内 。 沿
Cr取
22 )1(
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其中 表示 Cr上的圆弧部分,沿它的积分是按幅角增加的方向取的 。
的积分,得例 2：
现在估计积分?
r z
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22 )1(
我们有
,
)1(
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| 2222 r
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因此,0)1(lim 22
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令,就得到r,
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x
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从而
.
4)1(2
1
22
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注解：
注解 1,我们计算所得的值这个广义积分的柯西主值,但由于此积分收敛,所以积分值等于主值 。
注解 2,应用同样得方法,我们可以计算一般形如
,)(
dxxRI
的积分,其中 R(x)是有理分式,分母在实轴上不为零,并且分母的次数比分子的次数至少高 2次
,即积分绝对收敛 。
引理 3.1：
引理 3.1设 f(z)是闭区域
),0,0(||,210021 rzrA r g z
上连续的复变函数,并且设 r?
)( 0rr?
,0)(lim zfz
那么我们有
.0)(lim
r
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是以 O为心,r
为半径的圆弧在这闭区域上的一段 如果当 z在这闭区域上时,
引理 3.1：
证明：设 M(r)是 f(z)在 r?
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证明：设 是 在 上的最大值,则有因为当 时,
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例 3：
例 3,计算积分
0 2,1
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解：取 r>0,则有
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20 20 2
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0?y函数 在函数 在去有一阶极点 z=i外,在其他每一点都解析 。 取积分区域如图,而只要取
r>1。 于是我们有例 3：于是我们有
,),
1
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其中 r?其中 表示 Cr上的圆弧部分,沿它的积分是按幅角增加的方向取的 。
例 3：现在应用引理 3.1,取
2,,0,
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1)(
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那么在这引理中所设各条件显然成立 。
因此,令r
,
1
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从而可见积分 I收敛,并且,
2 e
I
因此,令,就得到注解：
注解 1,应用同样得方法,我们可以计算一般形如
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的积分,其中 f(x)在 0Im?z
0Im?z
注解 2,同样,上面求出的广义积分也是其柯西主值 。
上可能有有限个孤立奇点外,在其他每一点解析,而且当 z在上时,引理中的条件满足 。
说明：
如果函数 f(x)在上上半平面可能有有限个孤立奇点外,在其他每一点解析,而且在实轴上有孤立奇点,我们也可以计算某些广义积分,
同样,所求出的广义积分 （ 无限积分与瑕积分
） 也是其柯西主值,如下面的例子 。
函数 只是在 z=0有一个一阶极点 。
例 4：
例 4,计算积分
0
,s i n dxx xI
解：取 r及? 0r
],[
2
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函数
z
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解：取,使解：取,使,我们有例 4：
作积分路径如下图 。 在上半平面上作以原点为心,
r与? r 与?
于是我们有
,0
dzzedxxedzzedxxe
izr ixizr ix
r
在这里沿 r 与?
现在求当
dzze
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为半径的半圆的积分分别是按幅角减小与增加的方向取的 。
现在求当 趋近于 0时,现在求当 趋近于 时,的极限 。
例 4：
由于,h(z)在 z=0的解析,在 z=0的一个邻域内,
| f(z)|有上界当 0?z ),(1 zh
zz
e iz
其中 h(z)是在 z=0的解析函数 。 因此
,)()(1
dzzhidzzhdz
z
dz
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M
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,2|)(|
Mdzzh
当 时于是当 充分小时例 4：从而
,lim
0
idz
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令 r,0?
2
I
令,应用引理 3.1,可以得到所求积分收敛,并且留数定理的应用 --儒歇定理,
应用留数定理,我们也可以解决有关零点与极点的个数问题,因为教学时间的关系,我们只介绍儒歇定理,并应用它来决定方程在一些区域内根的个数 。
儒歇定理 （ 定理 5.2） 设 D是在复平面上的一个有界区域,其边界 C是一条或有限条简单闭曲线
。 设函数 f(z)及 g(z)在 D及 C所组成的闭区域上解析,并且在 C上,|f(z)|<|g(z)|,那么在 D上,f(z)
及 f(z)+g(z)的零点的个数相同 。
注解：
注解 1,应用此定理时,我们只要估计和在区域边界上模的值 。
注解 2,f(z)及 g(z)选择的原则是,f(z)在内的零点个数好计算 。
例 1:
例 1,求方程,0125 58 zzz
在 |z|<1内根的个数 。
解：令
,2)(,15)( 85 zzzgzzf
由于当 |z|=1时,我们有
,41|5||)(| 5 zzf
而
,3|2||||)(| 8 zzzg
已给方程在 |z|<1内根的个数与 -z5+1在 |z|<1内根的个数相同,即 5个 。
例 2:
例 2,如果 a>e,求证方程 nz aze?
单位圆内有 n个根 。
证明：令,)(,)( nz azzfezg
由于当 1||||iez
,|||)(|,|||)(| c o s eaazzfeeezg nz
azn-ez在 |z|<1内的零点的个数与 azn相同,即 n个
,因此方程在单位圆内有 n个根 。
nz aze?
由于当 时,
It’s The End！
Thank You！
Complex Function Theory Department of Mathematics
