Department of Mathematics
第五章
1,解析函数的洛朗展式
2,解析函数的孤立奇点
3,解析函数在无穷远点的性质
4,整函数与亚纯函数的概念解析函数的洛朗展式,
在本节中,我们讲述解析函数的另一种重要的级数展式,即在圆环内解析函数的一种级数展式 。 首先考虑级数
.,,)(.,,
)()(
0
2
02010


n
n
n
zz
zzzz

其中 是复常数 。,...,.,,,,,100 nz
此级数可以看成变量 的幂级数；
0
1
zz?
设这幂级数的收敛半径是 R。 如果 R0
解析函数的洛朗展式,
那么不难看出,此级数在 内绝对收敛并且内闭一致收敛,R
zz 1|| 0
在 内发散 。
Rzz
1||
0
同样,如果,那么此级数在内绝对收敛并且内闭一致收敛；
R 0|| 0 zz
如果 R=0,那么此级数在每一点发散 。 在上列情形下,此级数在 没有意义 。 于是根据定理 2.3,按照不同情形,此级数分别在0
zz?
0||)0(1|| 010 zzRRRzz 及内收敛于一个解析函数 。
解析函数的洛朗展式,
更一般地,考虑级数
,)( 0?


n
n
n zz?
这里 是复常数 。 当级数,...)2,1,0(,0nz n?
,)()(
1
0
0
0




n
n
n
n
n
n zzzz 及都收敛时,我们说原级数收敛,并且它的和等于上式中两个级数的和函数相加 。
设上式中第一个级数在 内绝对收敛并且内闭一致收敛； 20
|| Rzz
解析函数的洛朗展式,
第二个级数在 内绝对收敛并且内闭一致收敛 。 10
|| Rzz
于是两级数的和函数分别在
1020 |||| RzzRzz 和又设,那么这两个级数都在圆环
21 RR?
201 ||,RzzRD
内绝对收敛并且内闭一致收敛,于是我们说级数

n
n
n zz )( 0?
解析函数的洛朗展式,


n
n
n zz )( 0?
在这个圆环内绝对收敛并且内闭一致收敛；显然它的和函数是一个解析函数 。 我们称级数为洛朗级数 。 因此,洛朗级数的和函数是圆环 D
内的解析函数,我们也有下面的洛朗定理：
定理 7.1：
定理 7.1 设函数 f(z)在圆环：
)0(||,21201 RRRzzRD
内解析，那么在 D内
,)()( 0?



n
n
n zzzf?
其中，
,.,,)2,1,0(,
)(
)(
2
1
1
0


nd
z
f
i nn
是圆 是一个满足的任何数。
,|| 0 zz 21 RR
定理 7.1的证明,
证明：设 z是圆环 D内任一点，在 D内作圆环，
'||':' 201 RzzRD
使得,这里'Dz?,'' 2211 RRRR
用 分别表示圆'2'1 及
'||'|| 2010 RzzRzz 及由于 在闭圆环 上解析，根据柯西定理
，有 )(?f
'D
'
1
'
2
)(
2
1)(
2
1)(?
d
z
f
i
d
z
f
i
zf
定理 7.1的证明,
其中积分分别是沿 关于它们所围成圆盘的正向取的 。
'2'1及当 时,级数'2
0
0000 1
11
)(
11
z
zzzzzzz





0
1
0
0
)(
)(
n
n
n
z
zz
一致收敛；
定理 7.1的证明,
而当 时,级数'1


0
1
0
0
0
0
0
)(
)(
)1)((
11
n
n
n
zz
z
zz
z
zz
z

一致收敛 。 把这两个式子代入前面的式子,然后逐项积分,我们就看到 f(z)有展式
,)()( 0?



n
n
n zzzf?
定理 7.1的证明,
其中,
,.,,)2,1,0(,
)(
)(
2
1
'
2
1
0
ndzfi nn
,.,,)2,1(,
)(
)(
2
1
'
1
1
0
ndzfi nn
由柯西定理,上面两式中的积分可以换成沿圆的积分,于是定理的结论成立 。
注解,
注解 1,由于函数 f(z)的解析区域不是单连通区域,所以公式
,.,,)2,1,0(,
)(
)(
2
1
1
0


nd
z
f
i nn
不能写成,.
!
)( 0)(
n
zf n
n
注解 2,我们称 为 f(z)的解析部分,?

0
0 )(
n
n
n zz?
而称 为其主要部分 。


1
0 )(
n
n
n zz?
注解 3,我们称 为 f(z)的洛朗展式 。


n
n
n zz )( 0?
定理 7.2：
定理 7.2 设洛朗级数 在圆环?


n
n
n zz )( 0?
)0(||,21201 RRRzzRD
中内闭一致收敛于和函数 g(z),那么此展式就是
g(z)在 D内的洛朗展式,。
.)()( 0?



n
n
n zzzg?
定理 7.2的证明,
证明：现在把系数用 g(z)计算出来 。 在 D内任取一圆,
)(|:| 210 RRzz
用 乘以定理中展式的两边,10 )(
2
1 kzz
i?
然后沿 求积分 。 由于所讨论的级数在 上一致收敛,在求积分时,对有关级数可以逐项积分,于是我们有

,.,,)2,1,0(
)(
2
1
)(
)(
2
1 1
01
0






k
dzzz
i
dz
zz
zg
i k
kn
kk
定理 7.2的证明,
这里因为上式中求和记号 后各项只有在
n=k时不为零,因此定理的结论成立 。


注解：此定理表明,洛朗级数的系数可以用它的和函数来计算,同时,这也表明,g(z)在 D内不可能有其他形式的洛朗展式,因此我们有下面的解析函数洛朗展式的唯一性定理：
系 4.1 在定理 7.1的假设下,f(z)在 D的洛朗展式式唯一的 。
例 1：
例 1,求函数 分别在圆环 1<|z|<2及内的洛朗级数展式 。
)2)(1(
1
zz
||2 z
解：如果 1<|z|<2,那么,1|1|,1|2| zz
利用当 时的幂级数展式1||
.,,.,,1
1
1 2
n
我们得
1
1
2
1
)2)(1(
1
zzzz
例 1：
如果,那么;
1
2)11(
1
)
2
1(2
1
10
1



n
n
n
n
n
z
z
z
z
z
我们有
||2 z,1|1|,1|2| zz
1
1
2
1
)2)(1(
1
zzzz
.
1212
)
1
1(
1
)
2
1(
1
2
1
11
1






n
n
n
n
n
n
n
n
zzz
z
z
z
z
例 2
例 2,及 在2sin
z
z
z
zsin ||0 z
内的洛朗级数展式是：
...
)!12(
)1(...
!5!3
1s i n 123
2

n
zzz
zz
z nn
.,,
)!12(
)1(.,,
!5!3
1s i n
242

n
zzz
z
z nn
例 3：
例 3,在 内的洛朗级数展式是：ze1 ||0 z
.,,1
!
1.,,1
!2
111
2
1
nz
znzz
e
例,
例,求函数 在圆环 1<|z|<3
内的洛朗级数展式 。
)3)(1(
1
2 zz
解：由于 1<|z|<3,那么,1|
3|,1|
1| z
z
利用当 时的幂级数展式1||
.,,.,,1
1
1 2
n
我们得
)
1
3
3
1(
8
1
)3)(1(
1
22?

z
z
zzz
例,;
33
1
)
3
1(3
1
3
1
0

n n
nz
zz
)
1
3
13
1(
8
1
22 zz
z
z;
11
)
1
1(
1
1
1
0
22
2
2
2?

n nzz
z
zz
).31
3
(
8
1
)3)(1(
1
0 0
2212
0
12





n n
nn
n
n
n
zz
z
zz
It’s The End！
Thank You！
Complex Function Theory Department of Mathematics