Department of Mathematics
第一节 级数和序列的基本性质 (2)
复变函数项级数设 {fn(n)}(n=1,2,… ),在复平面点集 E上有定义,
那么：
.,,)(.,,)()( 21 zfzfzf n
是定义在点集 E上的复变函数项级数,记为
，或
)()(
1
zfzf n
n
n
设函数 f(z)在 E上有定义,如果在 E上每一点 z，
此级数都收敛于 f(z),那么我们说它在 E上收敛
（ 于 f(z)）,或者此级数在 E上有和函数 f(z),记作 ),()(
1
zfzf
n
n
复变函数序列设
),.,,(),.,,,(),( 21 zfzfzf n
是 E上的复变函数列,记作 或 。1)}({ nn zf )}({ zfn
设函数 在 E上有定义,如果在 E上每一点 z，)(z?
序列 都收敛 （ 于 ）,那么我们说此序列在 E上收敛 （ 于 ）,或者此序列在 E上有极限函数,记作
)}({ zfn )(z?
)(z?
)(z?
),()(lim zzf n
n
注解：
注解 1,复变函数项级数 收敛于 f(z)的定义可以叙述为：
)( zfn
N
有时使得当,,0,0 NnN
注解 2,复变函数序列 {fn(n)}收敛于 的定义可以叙述为：
.|)()(|
1
zfzf
n
k
k
)(z?
N
有时使得当,,0,0 NnN
.|)()(| zzf n
一致收敛如果任给,可以找到一个只与 有关,而与 z无关的正整数,使得当时,有
0
EzNn,
)(?NN?
.|)()(| zzf n
.|)()(|
1
zfzf
n
k
k
或那么我们说级数 或序列 在 E上一致收敛 （ 于 f(z)或 ） 。
)( zfn )}({ zfn
)(z?
注解：注解 1,和实变函数项级数和序列一样,我们也有相应的柯西一致收敛原理：
柯西一致收敛原理 （ 复变函数项级数 ）,复变函数项级数 在 E上一致收敛的必要与充分条件是：任给,可以找到一个只与 有关
,而与 z无关的正整数,使得当
,p=1,2,3,… 时,有
0
)(?NN?
EzNn,
.|)(.,,)()(| 21 zfzfzf pnnn
)(zfn
柯西一致收敛原理 （ 复变函数序列 ）,复变函数序列 {fn(n)}在 E上一致收敛必要与充分条件是
：任给,可以找到一个只与 有关,而与 z无关的正整数,使得当时,有注解：
0
)(?NN? EzNnm,,
.|)()(| zfzf mn
注解：
注解 2,一致收敛的魏尔斯特拉斯判别法 （ M-判别法 ）,设在复平面点集 E上,.,,)2,1)} (({?nzf n
有定义,并且设
......21 naaa
是一个收敛的正项级数 。 设在 E上,
)( zf n
,.,,),2,1( |)(| nazf nn
那么级数 在 E上一致收敛 。
定理 1,2：
定理 2.1 设复平面点集 E表示区域,闭区域或简单曲线 。 设在集 E上 {fn(n)}(n=1,2,… ),
连续,并且级数 或序列 在 E上一致收敛于 f(z)或,那么 f(z)或 在 E上连续 。
)( zfn )}({ zfn
)(z? )(z?
定理 2.2 设在简单曲线 C上 {fn(n)}(n=1,2,… ),
连续,并且级数 或序列 {fn(n)}在 C上一致收敛于 f(z)或,那么
)( zfn
)(z?
或,)()(
1
Cn C
n dzzfdzzf,)()( CC n dzzdzzf?
注解：
注解 1,在研究复变函数项级数和序列的逐项求导的问题时,我们一般考虑解析函数项级数和序列；
注解 2,我们主要用莫勒拉定理及柯西公式来研究和函数与极限函数的解析性及其导数 。
内闭一致收敛：
设函数序列
,.,,)2,1)} (({?nzf n
在复平面 C上的区域 D内解析 。 如果级数? )( zfn
序列 {fn(n)}在 D内任一有界闭区域 （ 或在一个紧集 ） 上一致收敛于 f(z)或,那么我们说此级数或序列在 D中内闭 （ 或内紧 ） 一致收敛于
f(z)或 。
)(z?
)(z?
定理 3：
定理 2.3（ 魏尔斯特拉斯定理 ） 设函数
,.,,)2,1)} (({?nzf n
在区域 D内解析,并且级数 或序列 {fn(n)}? )(zfn
在 D内闭一致收敛于函数 f(z)或,那么 f(z)或)(z?
在区域 D内解析,并且在 D内)(z?
或
,)()(
1
)()(?
n
k
n
k zfzf
,.,,),3,2,1(),(li m)( )()(
kzfz kn
n
k?
定理 3的证明（级数）：
证明：先证明 f(z)在 D内任一点 z0解析，取 z0
的一个邻域 U，使其包含在 D内，在 U内作一条简单闭曲线 C。由定理 2.2以及柯西定理
,0)()(
1
n C
nC dzzfdzzf
因为根据莫勒拉定理，可见 f(z)在 U内解析。再由于 z0是 D内任意一点，因此 f(z)在 D内解析。
其次，设 U的边界即圆 K也在 D内，于是
1
1
0 )(
)(
n
k
n
zz
zf
定理 3的证明（级数）：
对于 一致收敛于 。 由定理 2.2，
我们有
Kz? 1
0 )(
)(
kzz
zf
,)( )(2 1)( )(2 1
1
1
0
1
0
n K
k
n
K k
dzzz zfidzzz zfi
也就是
,.,,)3,2,1(,)()(
1
)()(
kzfzf
n
k
n
k
因此,定理中关于级数的部分证明结束 。
定理 3的证明（序列）：
对于序列,我们也先证明 在 D内任一点 z0)(z?
取它的一个邻域 U,使其包含在 D内,在 U内作一条简单闭曲线 C。 由定理 2.2以及柯西定理
,0)(l i m)(l i m)( C nnC nnC dzzfdzzfdzzf
因为根据莫勒拉定理,可见 在 U内解析 。 再由于 z0是 D内任意一点,因此 在 D内解析 。
)(z?
)(z?
其次,设 U的边界即圆 K也在 D内,于是
1
0 )(
)(
k
n
zz
zf
定理 3的证明：
对于 一致收敛于 。 由定理
2.2,我们有
Kz? 1
0 )(
)(
kzz
z?
dzzz zfidzzz zi
K k
n
nK k
1
0
1
0 )(
)(lim
2
1
)(
)(
2
1
也就是
dzzz zfi
K k
n
n
1
0 )(
)(
2
1lim
,.,,),3,2,1(),(li m)( )()(
kzfz kn
n
k?
因此,定理中关于序列的部分证明结束 。
It’s The End！
Thank You！
Complex Function Theory Department of Mathematics
第一节 级数和序列的基本性质 (2)
复变函数项级数设 {fn(n)}(n=1,2,… ),在复平面点集 E上有定义,
那么：
.,,)(.,,)()( 21 zfzfzf n
是定义在点集 E上的复变函数项级数,记为
，或
)()(
1
zfzf n
n
n
设函数 f(z)在 E上有定义,如果在 E上每一点 z，
此级数都收敛于 f(z),那么我们说它在 E上收敛
（ 于 f(z)）,或者此级数在 E上有和函数 f(z),记作 ),()(
1
zfzf
n
n
复变函数序列设
),.,,(),.,,,(),( 21 zfzfzf n
是 E上的复变函数列,记作 或 。1)}({ nn zf )}({ zfn
设函数 在 E上有定义,如果在 E上每一点 z，)(z?
序列 都收敛 （ 于 ）,那么我们说此序列在 E上收敛 （ 于 ）,或者此序列在 E上有极限函数,记作
)}({ zfn )(z?
)(z?
)(z?
),()(lim zzf n
n
注解：
注解 1,复变函数项级数 收敛于 f(z)的定义可以叙述为：
)( zfn
N
有时使得当,,0,0 NnN
注解 2,复变函数序列 {fn(n)}收敛于 的定义可以叙述为：
.|)()(|
1
zfzf
n
k
k
)(z?
N
有时使得当,,0,0 NnN
.|)()(| zzf n
一致收敛如果任给,可以找到一个只与 有关,而与 z无关的正整数,使得当时,有
0
EzNn,
)(?NN?
.|)()(| zzf n
.|)()(|
1
zfzf
n
k
k
或那么我们说级数 或序列 在 E上一致收敛 （ 于 f(z)或 ） 。
)( zfn )}({ zfn
)(z?
注解：注解 1,和实变函数项级数和序列一样,我们也有相应的柯西一致收敛原理：
柯西一致收敛原理 （ 复变函数项级数 ）,复变函数项级数 在 E上一致收敛的必要与充分条件是：任给,可以找到一个只与 有关
,而与 z无关的正整数,使得当
,p=1,2,3,… 时,有
0
)(?NN?
EzNn,
.|)(.,,)()(| 21 zfzfzf pnnn
)(zfn
柯西一致收敛原理 （ 复变函数序列 ）,复变函数序列 {fn(n)}在 E上一致收敛必要与充分条件是
：任给,可以找到一个只与 有关,而与 z无关的正整数,使得当时,有注解：
0
)(?NN? EzNnm,,
.|)()(| zfzf mn
注解：
注解 2,一致收敛的魏尔斯特拉斯判别法 （ M-判别法 ）,设在复平面点集 E上,.,,)2,1)} (({?nzf n
有定义,并且设
......21 naaa
是一个收敛的正项级数 。 设在 E上,
)( zf n
,.,,),2,1( |)(| nazf nn
那么级数 在 E上一致收敛 。
定理 1,2：
定理 2.1 设复平面点集 E表示区域,闭区域或简单曲线 。 设在集 E上 {fn(n)}(n=1,2,… ),
连续,并且级数 或序列 在 E上一致收敛于 f(z)或,那么 f(z)或 在 E上连续 。
)( zfn )}({ zfn
)(z? )(z?
定理 2.2 设在简单曲线 C上 {fn(n)}(n=1,2,… ),
连续,并且级数 或序列 {fn(n)}在 C上一致收敛于 f(z)或,那么
)( zfn
)(z?
或,)()(
1
Cn C
n dzzfdzzf,)()( CC n dzzdzzf?
注解：
注解 1,在研究复变函数项级数和序列的逐项求导的问题时,我们一般考虑解析函数项级数和序列；
注解 2,我们主要用莫勒拉定理及柯西公式来研究和函数与极限函数的解析性及其导数 。
内闭一致收敛：
设函数序列
,.,,)2,1)} (({?nzf n
在复平面 C上的区域 D内解析 。 如果级数? )( zfn
序列 {fn(n)}在 D内任一有界闭区域 （ 或在一个紧集 ） 上一致收敛于 f(z)或,那么我们说此级数或序列在 D中内闭 （ 或内紧 ） 一致收敛于
f(z)或 。
)(z?
)(z?
定理 3：
定理 2.3（ 魏尔斯特拉斯定理 ） 设函数
,.,,)2,1)} (({?nzf n
在区域 D内解析,并且级数 或序列 {fn(n)}? )(zfn
在 D内闭一致收敛于函数 f(z)或,那么 f(z)或)(z?
在区域 D内解析,并且在 D内)(z?
或
,)()(
1
)()(?
n
k
n
k zfzf
,.,,),3,2,1(),(li m)( )()(
kzfz kn
n
k?
定理 3的证明（级数）：
证明：先证明 f(z)在 D内任一点 z0解析，取 z0
的一个邻域 U，使其包含在 D内，在 U内作一条简单闭曲线 C。由定理 2.2以及柯西定理
,0)()(
1
n C
nC dzzfdzzf
因为根据莫勒拉定理，可见 f(z)在 U内解析。再由于 z0是 D内任意一点，因此 f(z)在 D内解析。
其次，设 U的边界即圆 K也在 D内，于是
1
1
0 )(
)(
n
k
n
zz
zf
定理 3的证明（级数）：
对于 一致收敛于 。 由定理 2.2，
我们有
Kz? 1
0 )(
)(
kzz
zf
,)( )(2 1)( )(2 1
1
1
0
1
0
n K
k
n
K k
dzzz zfidzzz zfi
也就是
,.,,)3,2,1(,)()(
1
)()(
kzfzf
n
k
n
k
因此,定理中关于级数的部分证明结束 。
定理 3的证明（序列）：
对于序列,我们也先证明 在 D内任一点 z0)(z?
取它的一个邻域 U,使其包含在 D内,在 U内作一条简单闭曲线 C。 由定理 2.2以及柯西定理
,0)(l i m)(l i m)( C nnC nnC dzzfdzzfdzzf
因为根据莫勒拉定理,可见 在 U内解析 。 再由于 z0是 D内任意一点,因此 在 D内解析 。
)(z?
)(z?
其次,设 U的边界即圆 K也在 D内,于是
1
0 )(
)(
k
n
zz
zf
定理 3的证明：
对于 一致收敛于 。 由定理
2.2,我们有
Kz? 1
0 )(
)(
kzz
z?
dzzz zfidzzz zi
K k
n
nK k
1
0
1
0 )(
)(lim
2
1
)(
)(
2
1
也就是
dzzz zfi
K k
n
n
1
0 )(
)(
2
1lim
,.,,),3,2,1(),(li m)( )()(
kzfz kn
n
k?
因此,定理中关于序列的部分证明结束 。
It’s The End！
Thank You！
Complex Function Theory Department of Mathematics
