Department of Mathematics
第三章 复变函数的积分第 3.1节 柯西定理
1,复变函数的积分
2,几个引理
3,柯西定理复变函数的积分设在复平面 C上有一条连接 及 Z两点的简单曲线 C。 设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是在 C上的连续函数 。 其中 u(x,y)及 v(x,y)是 f(z)的实部及虚部 。
把曲线 C用分点分成 n个更小的弧,在这里分点是在曲线 C上按从 到 Z的次序排列的 。
0z
如果 是 到 的弧上任意一点,那么考虑和式
Zzzzzz nn,...,,,1210
),...,2,1,0( nkz k?
0z
k? 1?kzkz
))((
1
1
1 k
n
k
kk zzf
复变函数的积分
0z
1z
1?kz
k?
kz
Zzn?
1?nz
C
复变函数的积分分实部与虚部,有或者
)]())] [(,(),([ 1
1
1
1 kk
n
k
kkkkkk yyixxivu
在这里 分别表示的实部与虚部 。
,))(,())(,([
))(,())(,(
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
n
k
kkkk
n
k
kkkk
n
k
kkkk
n
k
kkkk
yyuxxvi
yyvxxu
kkkk yx,及,kkz?与复变函数的积分按照关于实变函数的线积分的结果,当曲线 C
上的分点个数无穷增加,而且时,上面的四个式子分别有极限：
0}1,.,,,2,1,0|0
)()(|m a x { | 21211
nk
yyxxzz kkkkkk
这时,我们说原和式有极限
,d),(,d),(,d),(,d),( CCCC yyxuxyxvyyxvxyxu
,d),(d),(d),(d),( yyxuxyxviyyxvxyxu CC
复变函数的积分这个极限称为函数 f(z)沿曲线 C的积分,记为
.d)(?C zzf
因此,我们有
,d),(d),(d),(d),(
d)(
yyxuxyxviyyxvxyxu
zzf
CC
C
复变函数的积分如果 C是简单光滑曲线：
,并且,那么上式右边的积分可以写成黎曼积分的形式,例如其中第一个可以写成因此,我们有
))((),( 0 Ttttytx
ZzTt 及相应于及 00
Tt ttu0 d)('),(
ttitivuzzf TtC d)](')(')][,(),([d)(
0
复变函数的积分我们可以看到,把 dz形式地换成微分,就直接得到上式,因此有
ttztzfzzf
T
tC
d)('))((d)(
0
当是分段光滑简单曲线时,我们仍然可以得到这些结论 。
复变函数的积分的性质：
复变函数积分的基本性质：设 f(z)及 g(z)在简单曲线 C上连续,则有
（ 1）
（ 2）
是一个复常数；其中,d)(d)( CC zzfzzf;d)(d)(d)]()([ CCC zzgzzfzzgzf
（ 3）
其中曲线 C是由光滑的曲线 连接而成；
（ 4）
nCCCC zzfzzfzzfzzf d)(.,,d)(d)(d)( 21
nCCC,...,,21
,d)(d)( CC zzfzzf
积分是在相反的方向上取的 。
复变函数的积分的性质：
如果 C是一条简单闭曲线,那么可取 C上任意一点作为取积分的起点,而且积分当沿 C取积分的方向改变时,所得积分相应变号 。
（ 5） 如果在 C上,|f(z)|<M,而 L是曲线 C的长度,其中 M及 L都是有限的正数,那么有,
MLzzfC |d)(|
证明：因为两边取极限即可得结论 。
MLzzMzzf k
n
k
kk
n
k
kk
|||))((|
1
1
1
1
1
1?
例 1
例 1,设 C是连接 及 Z两点的简单曲线,那么如果是 C闭曲线,即,那么积分都是零 。
0z
0d zZzC
).(
2
1d 2
0
2 zZzz
C
0zZ?
例 2
例 2,设 C是圆,其中 是一个复数,是一个正数,那么按反时针方向所取的积分证明：令于是从而
|| z?
iz z
C
2d
iez
dd iiez?
.2dd 2
0
iiz z
C
几个引理引理 2.1 设 f(z)是在单连通区域 D内的解析函数 。 设 C是 D内的一个多角形的周界 。 那么
0d)(C zzf
在这里沿 C的积分是按反时针方向取的 。
证明：先对 C是三角形周界的情形进行证明,
然后证明一般情形 。
引理的证明
（ 1） C为三角形的周界设下面证明 M=0。
等分给定的三角形的每一边,两两连接这些分点,给定的三角形被分成四个全等的三角形,
Mzzf |d)(|
我们显然有,4321,,,
4321
d)(d)(d)(d)(
d)(
zzfzzfzzfzzf
zzf
引理的证明因此,沿周界 的积分中,至少有一个的模不小于 M/4。 不妨假设这个周界为对于这个三角形周界为,我们也把它等分成四个全等的三角形,其中一个的周界 满足
4321,,,
1?
,4|d)(|
1
Mzzf
把这种作法一直进行下去,我们得到具有周界：
1?
)2(?
,4|d)(| 2)2( Mzzf
一个三角形序列,其中每一个包含后一个,而且有下面的不等式：
,...,...,,,)()2()1(1)0( n
引理的证明用 U表示周界 的长度,于是周界 的长度是
,.,,)2,1,0(,4|d)(| )(
nMzzf nn
现在估计 的模 。
)(n
,...)2,1(2?nU n
由于三角形序列中每一个每一个包含它后面的全部三角形,而且
)( d)(n zzf
因此由数学分析中的闭区域套定理,得存在着一点 属于序列中的所有三角形 。
)(02 nU n
0z
引理的证明又因为 f(z)在 有导数,所以使得当 时于是当 时
0z )(' 0zf
0,0 ||0 0zzDz 并且
)(')()( 0
0
0 zf
zz
zfzf
显然,当 n充分大时,
所确定的圆盘内,因此当 时,上式成立 。
||0 0zzDz 并且
||)(')()()( 0000 zzzfzzzfzf
|| 0)( zzn 包含在
)( nz
引理的证明且有,所以其次,由于,我们有于是当 n充分大时,
n
Uzz
2|| 0
nUzfzzzfzf 2)(')()()( 000
,0d,0d )()( nn zzz
,)]d(')()()([d )()( 000 nn zzfzzzfzfz
nnn
UUU
zzfzzzfzfz
nn
422
|)]d(')()()([||d|
2
000)()(
引理的证明因此由于的任意性,我们得到 M=0。
nn UM
44
2
即
2UM?
引理的证明
(2) C为一个多角形的周界
P：如图,用对角线把以 P为周界的多角形分成若干个三角形,就可以把沿 P的积分表示成沿这些三角形周界的积分之和：
P
C
D
B
A
E
因此每条对角线上积分彼此相互抵消,再利用第一步的证明,有
A D E AA C D AA B C AP zzfzzfzzfzzf d)(d)(d)(d)(
0d)(P zzf
原函数设 f(z)及 F(z)是区域 D内确定的函数,
F(z)是 D内的一个解析函数,并且在 D内,有
F’(z)=f(z),那么函数 F(z)称为 f(z)在区域是 D
内的一个不定积分或原函数；除去可能相差一个常数外,原函数是唯一确定的 。 即 f(z)的任意两个不定积分或原函数的差是一个常数 。 事实上,设 F(z)及 G(z)都是 f(z)在区域是 D内的原函数,则有
0)(')]'()([ zzGzF
原函数其中,我们已经证明,在 D内
,有,
)()()( zzGzF
)( z
因此
)()( zGzF
凸区域：区域 D是一个凸区域,如果连接 D中任意两点的线段也包含在 D内,即
DtttDD ]}1,0[|)1{(,
引理 2.2
引理 2.2 设 f(z)是凸区域 D内的解析函数,那么 f(z)在 D内有原函数 。
证明：取定,任取,由区域 D的凸性,有连接 及 z的线段一定包含在 D中 。 令
D Dz?
10 ])1[()()( dttztfzzF
记为 。 则 F(z)是在 D内确定的一个函数 。
下面证明 F是 f在 D内的一个原函数 。
za df )(
取,连接 及 z的线段一定包含在 D中。
考虑顶点为 的三角形，由引理 2.1，得其中所以
Dz?0 0z
zz,,0?
z
z
zz
df
dfdfzFzF
0
0
)(
)()()()( 0
10 00 ])1[()()(0 dttzztfzzdzzfzz
zz dzffzfzzzFzF 0 )]()([)()()()( 0000
由于 f(z)在 连续,,使得于是,
从而有
0,00z
|)()(|,}|||{ 00 zfzfDzzzz
)0|(|
),(|)()()()(
0
0000
zz
zzozfzzzFzF
).()(' 00 zfzF?
引理 2.3
引理 2.3 设 f(z)是区域 D内的连续函数，并且在 D内有原函数 F(z)。如果,并且 C
是 D连接 的一条曲线，那么注解 1,此引理说明,如果某一个区域内的连续函数有原函数,那么它沿这个区域内曲线的积分可以用原函数来计算,这是数学分析中牛顿 -莱布尼茨公式的推广；
注解 2,这时,积分值只与曲线的起点,终点有关,而与积分路径无关 。
D,
,
)()(d)( FFzzfC
引理 2.3的证明：
证明：如果曲线是 C光滑曲线那么有
)(,)(),)(( bzazbtatzz
因为，并且因为微积分基本定理对实变量复值函数显然成立，所以
baC dttztzFzzf )('))(('d)(
如果曲线是分段光滑的曲线，那么分段计算，
也可以证明结论成立。
)()(
))(())(())((d)(
FF
bzFazFtzFzzf ba
C
柯西定理定理 3.1 设 f(z)是单连通区域 D的解析函数,
（ 1） 设 C是 D内任一条简单闭曲线,那么其中,沿曲线 C的积分是按反时针方向取的 。
（ 2） C是在 D内连接 及 z两点的任一条简单曲线,那么沿 C从 到 z的积分值由 及 z所确定,
而不依赖于曲线 C,这时,积分记为,
0)(C dzzf
0z
0z 0z
z
z
df
0
)(
柯西定理的证明：
证明：先证明 (1)成立 。 在 C上任取一点,可以作出圆盘：
因为圆盘是凸区域,由引理 2.2,f(z)在内有原函数 。
*?
)0(}|||{ 00*0 DzzK
0K
)(0 zF
由于 C是一个紧集,由数学分析中的有限覆盖定理,存在有限个圆盘覆盖了 C；把这些圆盘按反时针方向依次排列为
121,.,,,,?nKKK
柯西定理的证明：
并且用
)(),.,,,(),( 121 zFzFzF n?
表示 f(z)在这些圆盘中的原函数 。 取
11121
21211
,.,,,
,,
KKCKKC
KKCKC
nnnnn
其中是 C上依序按反时针方向取的 。 由引理 2.3,有
1121,,...,, nn?
),( )()([)()(
1
1111
1 1
n
k
nnkkkk
n
kC
FFFFdfdzzf
kk
柯西定理的证明这里,用 表示沿 C从 的弧上的积分,用 表示从 的线段上的积分 。 由引理 2.3,有
1kk 1?kk 到
1kk 1?kk 到
n
kC kk
dfdzzf
1 1
)()(
因为构成中的一条闭合折线,所以由引理 2.1
,得;0)(
C
dzzf
柯西定理证明下面证明 （ 2） 成立 。 设 是在 D内连接 及 z
两点的另一条简单曲线 。 则 是 D内的一条简单闭曲线,由 （ 1）,有
1C 0z
1' CCC
0)('C dzzf
而所以定理的结论成立 。
11
1
)()()()(
)()(
'
CCCC
CCC
dzzfdzzfdzzfdzzf
dzzfdzzf
定理 3.1‘
定理 3.1’ 设 C是一条简单闭曲线,函数 f(z)在以 C为边界的有界闭区域 D上解析,那么
0)(C dzzf
定理 3.2 设 f(z)是单连通区域 D的解析函数,
那么 f(z)在 D内有原函数 。
证明：取定,由定理 3.1,得是在 D内确定的一个函数 。 取充分接近,把
DzD 任取,?
z dfzF )()(
00,zDzDz 与并取
0 )()()()( 0 zz dfdfzFzF
定理 3.2的证明：
D中两个积分看作沿两条简单曲线取的,而其中一条是另一条曲线 与连接及 z的线段的并集 。 于是有
0z
这里积分是沿 及 z的联线取的,同样可证,
有
0z
zz dzffzfzzzFzF 0 )]()([)()()()( 0000
).()(' 00 zfzF?
例 1
例 1,设 D是不含 a的一个单连通区域,并且那么其中 m是不等于 1的整数 。 另外,还设 D在复平面上沿从 a出发的任何射线割开而得得区域内
,我们有
Dzz?,0
])( 1)( 1[1 1)( 1
0
1
0
mm
z
z m azazma
d
),ln ()ln ( 0
0
azazadz
z
其中对数应理解为 Ln(z-a)在 D内的一个解析分支在 z及 的值 。0z
柯西定理的注解：
注解 1,我们可以用原函数求解析函数的积分；
注解 2,区域的单连通性不能直接取掉 。
注解 3,柯西定理可以推广到多连通区域：设有
n+1条简单闭曲线曲线 中每一条都在其余曲线的外区域内,而且所有这些曲线都在 的内区域,
,,...,,10 nCCC
nCC,...,1
0C
nCCC,.,,,,10
围成一个有界多连通区域 D,D及其边界构成一个闭区域 。D
柯西定理的注解：
设 f(z)在 上解析,那么令 C表示 D的全部边界,
我们有
D
0)(
C
dzzf
其中积分是沿 C按关于区域 D的正向取的 。 即沿按反时针方向,沿 按顺时针方向取积分；或者说当点沿着 C按所选定取积分的方向一同运动时,区域 D总在它的左侧 。 因此
0C
nCC,...,1
0)(
...)()()(
10
nC
CCC
dzzf
dzzfdzzfdzzf
柯西定理的注解：
也有：
nCCC dzzfdzzfdzzf )(.,,)()( 10
柯西定理的注解：
注解 4,上面规定区域 D的方向称为正向,以后,
我们总是规定取正向,除非另有说明；
注解 5,多连通区域内的不定积分与多值函数：
设 f(z)是多连通区域 D的解析函数 。 在 D内作连接及 z两点的任一条简单曲线 。 在某两条这样的曲线所包成的闭区域上,f(z)可能不解析,因此不能应用柯西定理,所以 f(z)沿这两条曲线的积分可能不相等 。 假定这两个积分不相等 。 那么函数：
是多值的 。
0z
zz dfzF 0 )()(
柯西定理的注解：
可是 z当属于包含在 D内的某一单连通区域 D’时
,取曲线如下：从 沿一个固定的简单曲线到
D’内一点,然后从沿 在 D’内一条简单曲线到
z。 沿这种曲线取积分所得的函数 F(z)在 D’内解析 。 改变从 的曲线,我们能够得到不同的解析函数；它们是 F(z)在 D’内的不同解析分支 。
0z
1z
10 zz 到作连接 的两条简单曲线,取定
Argz在 的值为 。
例 2：
例 2,在圆环内解析,在 D内取定两点
),0(||,2121 RRRzRD
zzf
1)(?
21 CC 及
.10 zz 及
10 zz 及
0z 0arg z
当 z沿 从 连续变动到 时,z的幅角从连续变动到 。
于是当 z沿 从 连续变动到 时,z的幅角从 连续变动到 。
1C 0z 1z
0arg z 1argz
0z 1z
0arg z
2C
2ar g 1?z
例 2
现在求 沿的 积分 。 令,则
1
1C
ie?
deided ii
01
0101
lnln
)a r g( a r g||ln||ln
111
zz
zzizz
di
dd
CCC
从而例 2：
同样求得
.2lnln 01
2
izzd
C
这样,在含 的一个单连通区域 （ 在 D内 ） 内
,相应,多值函数
1z?
21 CC 及
z
z
dzF
0
)(
有两个不同的解析分支相应于连接 的其它曲线,还可得到 F(z)
在 D内的其它解析分支,F(z)就是对数函数 。
)2,1()1(2lnln
11
01 kik
dzzdd z
zC
z
zk
10 zz 及
It’s The End！
Thank You！
Complex Function Theory Department of Mathematics
第三章 复变函数的积分第 3.1节 柯西定理
1,复变函数的积分
2,几个引理
3,柯西定理复变函数的积分设在复平面 C上有一条连接 及 Z两点的简单曲线 C。 设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是在 C上的连续函数 。 其中 u(x,y)及 v(x,y)是 f(z)的实部及虚部 。
把曲线 C用分点分成 n个更小的弧,在这里分点是在曲线 C上按从 到 Z的次序排列的 。
0z
如果 是 到 的弧上任意一点,那么考虑和式
Zzzzzz nn,...,,,1210
),...,2,1,0( nkz k?
0z
k? 1?kzkz
))((
1
1
1 k
n
k
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复变函数的积分
0z
1z
1?kz
k?
kz
Zzn?
1?nz
C
复变函数的积分分实部与虚部,有或者
)]())] [(,(),([ 1
1
1
1 kk
n
k
kkkkkk yyixxivu
在这里 分别表示的实部与虚部 。
,))(,())(,([
))(,())(,(
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
n
k
kkkk
n
k
kkkk
n
k
kkkk
n
k
kkkk
yyuxxvi
yyvxxu
kkkk yx,及,kkz?与复变函数的积分按照关于实变函数的线积分的结果,当曲线 C
上的分点个数无穷增加,而且时,上面的四个式子分别有极限：
0}1,.,,,2,1,0|0
)()(|m a x { | 21211
nk
yyxxzz kkkkkk
这时,我们说原和式有极限
,d),(,d),(,d),(,d),( CCCC yyxuxyxvyyxvxyxu
,d),(d),(d),(d),( yyxuxyxviyyxvxyxu CC
复变函数的积分这个极限称为函数 f(z)沿曲线 C的积分,记为
.d)(?C zzf
因此,我们有
,d),(d),(d),(d),(
d)(
yyxuxyxviyyxvxyxu
zzf
CC
C
复变函数的积分如果 C是简单光滑曲线：
,并且,那么上式右边的积分可以写成黎曼积分的形式,例如其中第一个可以写成因此,我们有
))((),( 0 Ttttytx
ZzTt 及相应于及 00
Tt ttu0 d)('),(
ttitivuzzf TtC d)](')(')][,(),([d)(
0
复变函数的积分我们可以看到,把 dz形式地换成微分,就直接得到上式,因此有
ttztzfzzf
T
tC
d)('))((d)(
0
当是分段光滑简单曲线时,我们仍然可以得到这些结论 。
复变函数的积分的性质：
复变函数积分的基本性质：设 f(z)及 g(z)在简单曲线 C上连续,则有
（ 1）
（ 2）
是一个复常数；其中,d)(d)( CC zzfzzf;d)(d)(d)]()([ CCC zzgzzfzzgzf
（ 3）
其中曲线 C是由光滑的曲线 连接而成；
（ 4）
nCCCC zzfzzfzzfzzf d)(.,,d)(d)(d)( 21
nCCC,...,,21
,d)(d)( CC zzfzzf
积分是在相反的方向上取的 。
复变函数的积分的性质：
如果 C是一条简单闭曲线,那么可取 C上任意一点作为取积分的起点,而且积分当沿 C取积分的方向改变时,所得积分相应变号 。
（ 5） 如果在 C上,|f(z)|<M,而 L是曲线 C的长度,其中 M及 L都是有限的正数,那么有,
MLzzfC |d)(|
证明：因为两边取极限即可得结论 。
MLzzMzzf k
n
k
kk
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|||))((|
1
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1
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例 1
例 1,设 C是连接 及 Z两点的简单曲线,那么如果是 C闭曲线,即,那么积分都是零 。
0z
0d zZzC
).(
2
1d 2
0
2 zZzz
C
0zZ?
例 2
例 2,设 C是圆,其中 是一个复数,是一个正数,那么按反时针方向所取的积分证明：令于是从而
|| z?
iz z
C
2d
iez
dd iiez?
.2dd 2
0
iiz z
C
几个引理引理 2.1 设 f(z)是在单连通区域 D内的解析函数 。 设 C是 D内的一个多角形的周界 。 那么
0d)(C zzf
在这里沿 C的积分是按反时针方向取的 。
证明：先对 C是三角形周界的情形进行证明,
然后证明一般情形 。
引理的证明
（ 1） C为三角形的周界设下面证明 M=0。
等分给定的三角形的每一边,两两连接这些分点,给定的三角形被分成四个全等的三角形,
Mzzf |d)(|
我们显然有,4321,,,
4321
d)(d)(d)(d)(
d)(
zzfzzfzzfzzf
zzf
引理的证明因此,沿周界 的积分中,至少有一个的模不小于 M/4。 不妨假设这个周界为对于这个三角形周界为,我们也把它等分成四个全等的三角形,其中一个的周界 满足
4321,,,
1?
,4|d)(|
1
Mzzf
把这种作法一直进行下去,我们得到具有周界：
1?
)2(?
,4|d)(| 2)2( Mzzf
一个三角形序列,其中每一个包含后一个,而且有下面的不等式：
,...,...,,,)()2()1(1)0( n
引理的证明用 U表示周界 的长度,于是周界 的长度是
,.,,)2,1,0(,4|d)(| )(
nMzzf nn
现在估计 的模 。
)(n
,...)2,1(2?nU n
由于三角形序列中每一个每一个包含它后面的全部三角形,而且
)( d)(n zzf
因此由数学分析中的闭区域套定理,得存在着一点 属于序列中的所有三角形 。
)(02 nU n
0z
引理的证明又因为 f(z)在 有导数,所以使得当 时于是当 时
0z )(' 0zf
0,0 ||0 0zzDz 并且
)(')()( 0
0
0 zf
zz
zfzf
显然,当 n充分大时,
所确定的圆盘内,因此当 时,上式成立 。
||0 0zzDz 并且
||)(')()()( 0000 zzzfzzzfzf
|| 0)( zzn 包含在
)( nz
引理的证明且有,所以其次,由于,我们有于是当 n充分大时,
n
Uzz
2|| 0
nUzfzzzfzf 2)(')()()( 000
,0d,0d )()( nn zzz
,)]d(')()()([d )()( 000 nn zzfzzzfzfz
nnn
UUU
zzfzzzfzfz
nn
422
|)]d(')()()([||d|
2
000)()(
引理的证明因此由于的任意性,我们得到 M=0。
nn UM
44
2
即
2UM?
引理的证明
(2) C为一个多角形的周界
P：如图,用对角线把以 P为周界的多角形分成若干个三角形,就可以把沿 P的积分表示成沿这些三角形周界的积分之和：
P
C
D
B
A
E
因此每条对角线上积分彼此相互抵消,再利用第一步的证明,有
A D E AA C D AA B C AP zzfzzfzzfzzf d)(d)(d)(d)(
0d)(P zzf
原函数设 f(z)及 F(z)是区域 D内确定的函数,
F(z)是 D内的一个解析函数,并且在 D内,有
F’(z)=f(z),那么函数 F(z)称为 f(z)在区域是 D
内的一个不定积分或原函数；除去可能相差一个常数外,原函数是唯一确定的 。 即 f(z)的任意两个不定积分或原函数的差是一个常数 。 事实上,设 F(z)及 G(z)都是 f(z)在区域是 D内的原函数,则有
0)(')]'()([ zzGzF
原函数其中,我们已经证明,在 D内
,有,
)()()( zzGzF
)( z
因此
)()( zGzF
凸区域：区域 D是一个凸区域,如果连接 D中任意两点的线段也包含在 D内,即
DtttDD ]}1,0[|)1{(,
引理 2.2
引理 2.2 设 f(z)是凸区域 D内的解析函数,那么 f(z)在 D内有原函数 。
证明：取定,任取,由区域 D的凸性,有连接 及 z的线段一定包含在 D中 。 令
D Dz?
10 ])1[()()( dttztfzzF
记为 。 则 F(z)是在 D内确定的一个函数 。
下面证明 F是 f在 D内的一个原函数 。
za df )(
取,连接 及 z的线段一定包含在 D中。
考虑顶点为 的三角形，由引理 2.1，得其中所以
Dz?0 0z
zz,,0?
z
z
zz
df
dfdfzFzF
0
0
)(
)()()()( 0
10 00 ])1[()()(0 dttzztfzzdzzfzz
zz dzffzfzzzFzF 0 )]()([)()()()( 0000
由于 f(z)在 连续,,使得于是,
从而有
0,00z
|)()(|,}|||{ 00 zfzfDzzzz
)0|(|
),(|)()()()(
0
0000
zz
zzozfzzzFzF
).()(' 00 zfzF?
引理 2.3
引理 2.3 设 f(z)是区域 D内的连续函数，并且在 D内有原函数 F(z)。如果,并且 C
是 D连接 的一条曲线，那么注解 1,此引理说明,如果某一个区域内的连续函数有原函数,那么它沿这个区域内曲线的积分可以用原函数来计算,这是数学分析中牛顿 -莱布尼茨公式的推广；
注解 2,这时,积分值只与曲线的起点,终点有关,而与积分路径无关 。
D,
,
)()(d)( FFzzfC
引理 2.3的证明：
证明：如果曲线是 C光滑曲线那么有
)(,)(),)(( bzazbtatzz
因为，并且因为微积分基本定理对实变量复值函数显然成立，所以
baC dttztzFzzf )('))(('d)(
如果曲线是分段光滑的曲线，那么分段计算，
也可以证明结论成立。
)()(
))(())(())((d)(
FF
bzFazFtzFzzf ba
C
柯西定理定理 3.1 设 f(z)是单连通区域 D的解析函数,
（ 1） 设 C是 D内任一条简单闭曲线,那么其中,沿曲线 C的积分是按反时针方向取的 。
（ 2） C是在 D内连接 及 z两点的任一条简单曲线,那么沿 C从 到 z的积分值由 及 z所确定,
而不依赖于曲线 C,这时,积分记为,
0)(C dzzf
0z
0z 0z
z
z
df
0
)(
柯西定理的证明：
证明：先证明 (1)成立 。 在 C上任取一点,可以作出圆盘：
因为圆盘是凸区域,由引理 2.2,f(z)在内有原函数 。
*?
)0(}|||{ 00*0 DzzK
0K
)(0 zF
由于 C是一个紧集,由数学分析中的有限覆盖定理,存在有限个圆盘覆盖了 C；把这些圆盘按反时针方向依次排列为
121,.,,,,?nKKK
柯西定理的证明：
并且用
)(),.,,,(),( 121 zFzFzF n?
表示 f(z)在这些圆盘中的原函数 。 取
11121
21211
,.,,,
,,
KKCKKC
KKCKC
nnnnn
其中是 C上依序按反时针方向取的 。 由引理 2.3,有
1121,,...,, nn?
),( )()([)()(
1
1111
1 1
n
k
nnkkkk
n
kC
FFFFdfdzzf
kk
柯西定理的证明这里,用 表示沿 C从 的弧上的积分,用 表示从 的线段上的积分 。 由引理 2.3,有
1kk 1?kk 到
1kk 1?kk 到
n
kC kk
dfdzzf
1 1
)()(
因为构成中的一条闭合折线,所以由引理 2.1
,得;0)(
C
dzzf
柯西定理证明下面证明 （ 2） 成立 。 设 是在 D内连接 及 z
两点的另一条简单曲线 。 则 是 D内的一条简单闭曲线,由 （ 1）,有
1C 0z
1' CCC
0)('C dzzf
而所以定理的结论成立 。
11
1
)()()()(
)()(
'
CCCC
CCC
dzzfdzzfdzzfdzzf
dzzfdzzf
定理 3.1‘
定理 3.1’ 设 C是一条简单闭曲线,函数 f(z)在以 C为边界的有界闭区域 D上解析,那么
0)(C dzzf
定理 3.2 设 f(z)是单连通区域 D的解析函数,
那么 f(z)在 D内有原函数 。
证明：取定,由定理 3.1,得是在 D内确定的一个函数 。 取充分接近,把
DzD 任取,?
z dfzF )()(
00,zDzDz 与并取
0 )()()()( 0 zz dfdfzFzF
定理 3.2的证明：
D中两个积分看作沿两条简单曲线取的,而其中一条是另一条曲线 与连接及 z的线段的并集 。 于是有
0z
这里积分是沿 及 z的联线取的,同样可证,
有
0z
zz dzffzfzzzFzF 0 )]()([)()()()( 0000
).()(' 00 zfzF?
例 1
例 1,设 D是不含 a的一个单连通区域,并且那么其中 m是不等于 1的整数 。 另外,还设 D在复平面上沿从 a出发的任何射线割开而得得区域内
,我们有
Dzz?,0
])( 1)( 1[1 1)( 1
0
1
0
mm
z
z m azazma
d
),ln ()ln ( 0
0
azazadz
z
其中对数应理解为 Ln(z-a)在 D内的一个解析分支在 z及 的值 。0z
柯西定理的注解：
注解 1,我们可以用原函数求解析函数的积分；
注解 2,区域的单连通性不能直接取掉 。
注解 3,柯西定理可以推广到多连通区域：设有
n+1条简单闭曲线曲线 中每一条都在其余曲线的外区域内,而且所有这些曲线都在 的内区域,
,,...,,10 nCCC
nCC,...,1
0C
nCCC,.,,,,10
围成一个有界多连通区域 D,D及其边界构成一个闭区域 。D
柯西定理的注解：
设 f(z)在 上解析,那么令 C表示 D的全部边界,
我们有
D
0)(
C
dzzf
其中积分是沿 C按关于区域 D的正向取的 。 即沿按反时针方向,沿 按顺时针方向取积分；或者说当点沿着 C按所选定取积分的方向一同运动时,区域 D总在它的左侧 。 因此
0C
nCC,...,1
0)(
...)()()(
10
nC
CCC
dzzf
dzzfdzzfdzzf
柯西定理的注解：
也有：
nCCC dzzfdzzfdzzf )(.,,)()( 10
柯西定理的注解：
注解 4,上面规定区域 D的方向称为正向,以后,
我们总是规定取正向,除非另有说明；
注解 5,多连通区域内的不定积分与多值函数：
设 f(z)是多连通区域 D的解析函数 。 在 D内作连接及 z两点的任一条简单曲线 。 在某两条这样的曲线所包成的闭区域上,f(z)可能不解析,因此不能应用柯西定理,所以 f(z)沿这两条曲线的积分可能不相等 。 假定这两个积分不相等 。 那么函数：
是多值的 。
0z
zz dfzF 0 )()(
柯西定理的注解：
可是 z当属于包含在 D内的某一单连通区域 D’时
,取曲线如下：从 沿一个固定的简单曲线到
D’内一点,然后从沿 在 D’内一条简单曲线到
z。 沿这种曲线取积分所得的函数 F(z)在 D’内解析 。 改变从 的曲线,我们能够得到不同的解析函数；它们是 F(z)在 D’内的不同解析分支 。
0z
1z
10 zz 到作连接 的两条简单曲线,取定
Argz在 的值为 。
例 2：
例 2,在圆环内解析,在 D内取定两点
),0(||,2121 RRRzRD
zzf
1)(?
21 CC 及
.10 zz 及
10 zz 及
0z 0arg z
当 z沿 从 连续变动到 时,z的幅角从连续变动到 。
于是当 z沿 从 连续变动到 时,z的幅角从 连续变动到 。
1C 0z 1z
0arg z 1argz
0z 1z
0arg z
2C
2ar g 1?z
例 2
现在求 沿的 积分 。 令,则
1
1C
ie?
deided ii
01
0101
lnln
)a r g( a r g||ln||ln
111
zz
zzizz
di
dd
CCC
从而例 2：
同样求得
.2lnln 01
2
izzd
C
这样,在含 的一个单连通区域 （ 在 D内 ） 内
,相应,多值函数
1z?
21 CC 及
z
z
dzF
0
)(
有两个不同的解析分支相应于连接 的其它曲线,还可得到 F(z)
在 D内的其它解析分支,F(z)就是对数函数 。
)2,1()1(2lnln
11
01 kik
dzzdd z
zC
z
zk
10 zz 及
It’s The End！
Thank You！
Complex Function Theory Department of Mathematics
