Department of Mathematics
第三节、泰勒展式解析函数的零点设函数 f(z)在 的邻域 U内解析,并且0z
0)( 0?zf
那么称 为 f(z)的零点 。 设 f(z)在 U内的泰勒展式是,0
z
.,,)(.,,)()()( 020201 nn zzzzzzzf
现在可能有下列两种情形：
（ 1） 如果当 n=1,2,3,… 时,0?n?
那么 f(z)在 U内恒等于零 。
解析函数的零点
（ 2） 如果,...,.,,,,21 n
不全为零,并且对于正整数 m，,0?m?
而对于 n<m,那么我们说 是 f(z)的 m阶零点 。
,0?n? 0z
按照 m=1,或 m>1,我们说 是 f(z)的单零点或 m阶零点 。 0
z
如果 是解析函数 f(z)的一个 m阶零点,那么显然在它的一个邻域 U内0
z
,0)(),()()( 00 zzzzzf m
其中 在 U内解析 。)(z?
解析函数的零点定理 5.1 设函数 f(z)在 解析,并且 是它的一个零点,那么或者 f(z)在 的一个邻域内恒等于零,或者存在着 的一个邻域,在其中 是
f(z)的唯一零点 。
因此存在一个正数,使得当0 ||0 0zz
时,。 于是0)(?z?,0)(?zf
换而言之,存在着 的一个邻域,其中 是
f(z)的唯一零点 。 0
z 0z
0z
0z 0z
0z 0z
注解：此性质我们称为解析函数零点的孤立性 。
解析函数的唯一性我们知道,已知一般有导数或偏导数的单实变或多实变函数在它的定义范围内某一部分的函数值,完全不能断定同一个函数在其他部分的函数值 。 解析函数的情形和这不同：已知某一个解析函数在它区域内某些部分的值,同一函数在这区域内其他部分的值就可完全确定 。
引理 6.1 设 f(z)是区域 D内的解析函数 。 如果 f(z)在 D
内的一个圆盘内恒等于零,那么 f(z)在 D内恒等于零 。
引理 4.1的证明：
证明：设在 D内一个以为 心的圆盘内,0z
0K
.0)(?zf
我们只需证明在 以外任一点,0)'(,' zfDz0K
用 D内的折线 L连接,存在着一个正数
,使得 L上任一点与区域 D的边界上任一点的距离大于
'0 zz 与
.?
在 L上依次取,
011210,',,.,,,,,Kzzzzzzz nn 使而其他任意相邻两点的距离小于 ；?
引理 4.1的证明：
作每一点 的 邻域
DKz jj 1
jz? ),.,,,2,1( njK j?
显然,当 j<n时,有由于 f(z)在 内恒等于零,0K,.,,)2,1(0)( 1)( nzf n
于是 f(z)在 内泰勒展式的系数都是零,从而 f(z)在 内恒等于零 。
1K
1K
一般地,已经证明了 f(z)在 内恒等于零,就可推出它在 内恒等于零,而最后就得到,因此引理的结论成立 。
)1( njK j
1?jK
0)'(?zf
定理 4.1,2：定理 6.1 如果 f(z)在区域 D内解析,并且不恒等于零,那么 f(z)的每个零点 有一个邻域,在 其中是 f(z)唯一的零点 。
0z0z
定理 6.2（ 解析函数的唯一性定理 ） 设函数 f(z)及
g(z)在区域 D内解析 。 设 是 D内彼此不同的点
(k=1,2,3,… ),并且点列 在 D内有极限点 。
如果,
}{ kz
kz
,.,,)3,2,1)(()( kzgzf kk
那么在 D内,f(z)=g(z)。
定理 4.2的证明：
证明：假定定理的结论不成立 。 即在 D内,解析函数 F(z)=f(z)-g(z)不恒等于 0。 显然
,.,,)2,1(0)( kzF k
设 是点列 在 D内有极限点 。 由于 F(z)
在 连续,可见0
z }{ kz
0z,0)( 0?zF
可是这时找不到 的一个邻域,在其中 是
F(z)唯一的零点,与解析函数零点的孤立性矛盾
。
0z 0z
例 1、
例 1,在复平面解析,在实数轴上等于 sinx的函数只能是 sinz.
解：设 f(z)在复平面解析,并且在实轴上等于
sinx,那么在复平面解析 f(z)-sinz在实轴等于零
,由解析函数的唯一性定理,在复平面解析上
f(z)-sinz=0,即 f(z)=sinz。
注解：有关幂函数的和函数在其收敛圆上某些点处解析,如第 3段例 1及例 2,由解析函数的唯一性定理,都不存在另一个解析函数,在收敛圆内与和函数恒等,而收敛圆上和函数为解析的点的邻域内,与它不恒等 。
例 2、
例 2,是否存在着在原点解析的函数 f(z),满足下列条件：
（ 1）,;2 1)2 1(,0)12 1( nnfnf
（ 2）,,
1)
1(
n
n
nf
其中 n=1,2,3,… 。
解,（ 1）,由于,.,,)3,2,1}2 1{}12 1{ nnn （及都以 0为聚点,由解析函数的唯一性定理,
f(z)=z是在原点解析并满足例 3、
的唯一的解析函数；但此函数不满足条件
nnf 2
1)
2
1(?
,.,,)3,2,1(0)12 1( nnf
因此在原点解析并满足这些条件的函数不存在；
(2),我们有,
/11
1)1(
nnf
由解析函数的唯一性定理,zzf 1 1)(
是在原点解析并满足此条件的唯一的解析函数 。
It’s The End！
Thank You！
Complex Function Theory Department of Mathematics
第三节、泰勒展式解析函数的零点设函数 f(z)在 的邻域 U内解析,并且0z
0)( 0?zf
那么称 为 f(z)的零点 。 设 f(z)在 U内的泰勒展式是,0
z
.,,)(.,,)()()( 020201 nn zzzzzzzf
现在可能有下列两种情形：
（ 1） 如果当 n=1,2,3,… 时,0?n?
那么 f(z)在 U内恒等于零 。
解析函数的零点
（ 2） 如果,...,.,,,,21 n
不全为零,并且对于正整数 m，,0?m?
而对于 n<m,那么我们说 是 f(z)的 m阶零点 。
,0?n? 0z
按照 m=1,或 m>1,我们说 是 f(z)的单零点或 m阶零点 。 0
z
如果 是解析函数 f(z)的一个 m阶零点,那么显然在它的一个邻域 U内0
z
,0)(),()()( 00 zzzzzf m
其中 在 U内解析 。)(z?
解析函数的零点定理 5.1 设函数 f(z)在 解析,并且 是它的一个零点,那么或者 f(z)在 的一个邻域内恒等于零,或者存在着 的一个邻域,在其中 是
f(z)的唯一零点 。
因此存在一个正数,使得当0 ||0 0zz
时,。 于是0)(?z?,0)(?zf
换而言之,存在着 的一个邻域,其中 是
f(z)的唯一零点 。 0
z 0z
0z
0z 0z
0z 0z
注解：此性质我们称为解析函数零点的孤立性 。
解析函数的唯一性我们知道,已知一般有导数或偏导数的单实变或多实变函数在它的定义范围内某一部分的函数值,完全不能断定同一个函数在其他部分的函数值 。 解析函数的情形和这不同：已知某一个解析函数在它区域内某些部分的值,同一函数在这区域内其他部分的值就可完全确定 。
引理 6.1 设 f(z)是区域 D内的解析函数 。 如果 f(z)在 D
内的一个圆盘内恒等于零,那么 f(z)在 D内恒等于零 。
引理 4.1的证明：
证明：设在 D内一个以为 心的圆盘内,0z
0K
.0)(?zf
我们只需证明在 以外任一点,0)'(,' zfDz0K
用 D内的折线 L连接,存在着一个正数
,使得 L上任一点与区域 D的边界上任一点的距离大于
'0 zz 与
.?
在 L上依次取,
011210,',,.,,,,,Kzzzzzzz nn 使而其他任意相邻两点的距离小于 ；?
引理 4.1的证明：
作每一点 的 邻域
DKz jj 1
jz? ),.,,,2,1( njK j?
显然,当 j<n时,有由于 f(z)在 内恒等于零,0K,.,,)2,1(0)( 1)( nzf n
于是 f(z)在 内泰勒展式的系数都是零,从而 f(z)在 内恒等于零 。
1K
1K
一般地,已经证明了 f(z)在 内恒等于零,就可推出它在 内恒等于零,而最后就得到,因此引理的结论成立 。
)1( njK j
1?jK
0)'(?zf
定理 4.1,2：定理 6.1 如果 f(z)在区域 D内解析,并且不恒等于零,那么 f(z)的每个零点 有一个邻域,在 其中是 f(z)唯一的零点 。
0z0z
定理 6.2（ 解析函数的唯一性定理 ） 设函数 f(z)及
g(z)在区域 D内解析 。 设 是 D内彼此不同的点
(k=1,2,3,… ),并且点列 在 D内有极限点 。
如果,
}{ kz
kz
,.,,)3,2,1)(()( kzgzf kk
那么在 D内,f(z)=g(z)。
定理 4.2的证明：
证明：假定定理的结论不成立 。 即在 D内,解析函数 F(z)=f(z)-g(z)不恒等于 0。 显然
,.,,)2,1(0)( kzF k
设 是点列 在 D内有极限点 。 由于 F(z)
在 连续,可见0
z }{ kz
0z,0)( 0?zF
可是这时找不到 的一个邻域,在其中 是
F(z)唯一的零点,与解析函数零点的孤立性矛盾
。
0z 0z
例 1、
例 1,在复平面解析,在实数轴上等于 sinx的函数只能是 sinz.
解：设 f(z)在复平面解析,并且在实轴上等于
sinx,那么在复平面解析 f(z)-sinz在实轴等于零
,由解析函数的唯一性定理,在复平面解析上
f(z)-sinz=0,即 f(z)=sinz。
注解：有关幂函数的和函数在其收敛圆上某些点处解析,如第 3段例 1及例 2,由解析函数的唯一性定理,都不存在另一个解析函数,在收敛圆内与和函数恒等,而收敛圆上和函数为解析的点的邻域内,与它不恒等 。
例 2、
例 2,是否存在着在原点解析的函数 f(z),满足下列条件：
（ 1）,;2 1)2 1(,0)12 1( nnfnf
（ 2）,,
1)
1(
n
n
nf
其中 n=1,2,3,… 。
解,（ 1）,由于,.,,)3,2,1}2 1{}12 1{ nnn （及都以 0为聚点,由解析函数的唯一性定理,
f(z)=z是在原点解析并满足例 3、
的唯一的解析函数；但此函数不满足条件
nnf 2
1)
2
1(?
,.,,)3,2,1(0)12 1( nnf
因此在原点解析并满足这些条件的函数不存在；
(2),我们有,
/11
1)1(
nnf
由解析函数的唯一性定理,zzf 1 1)(
是在原点解析并满足此条件的唯一的解析函数 。
It’s The End！
Thank You！
Complex Function Theory Department of Mathematics
