Department of Mathematics
第三节 泰勒展式 (续 )
定理 4.1：定理 4.1设函数 f(z)在圆盘在内解析,那么在 U内,
RzzU |:| 0
.,,)(
!
)(
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)(
!2
)("
)(
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n
n
zz
n
zf
zz
zf
zz
zf
zfzf
定理 4.1的证明,
证明：在 U内任取一点 z。 以 z0为心,在 U内作一个圆 C,使 z属于其内区域 。 我们有由于当 时,
又因为
C dz
f
i
zf,)(
2
1)(?
C
1
0
0
q
z
zz
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1
1 2
n
定理 4.1的证明,
所以上式的级数当
)(
11
00 zzzz
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0
0
0
00 )(
)(
1
11
n
n
n
z
zz
z
zzz?
C
时一致收敛 。 把上面的展开式代入积分中,然后利用一致收敛级数的性质,得定理 4.1的证明,
其中
.,,)(.,,)()( 0010 nn zzzzzf
)1!0,.,,;2,1,0(
,
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)(
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2
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n
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d
z
f
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n
nn
由于 z是 U内任意一点,定理的结论成立 。
定理 4.2：定理 4.2,函数 f(z)在一点 z
0解析的必要与充分条件是：它在的某个邻域内有定理 4.1中的幂级数展式 。
注解 1,在定理 4.1中,f(z)在 U内的幂级数展式我们称为它在 U内的泰勒展式 。
注解 2,我们得到一个函数解析的另外一个刻画
。
注解 3,泰勒展式中的系数与 z0有关 。
系 4.1、系 4.1 幂级数
.,,)(.,,
)()()(
0
2
02010
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n
n
n
n
n
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是它的和函数 f(z)在收敛圆内的泰勒展式,即
,.,,),2,1,0(
!
)(),( 0)(
00 nn
zfzf n
n
系 4.2、
因此,我们有解析函数的幂级数展式的唯一性定理：
系 4.2 在定理 4.1中,幂级数的和函数 f(z)在 U内不可能有另一种形式的幂级数 。
注解：利用泰勒展式的唯一性定理,我们可以用多种方法求一个函数的泰勒展式,所得结果一定相同 。
例 1、求函数在 z=0的泰勒展式 。
解：由于
zze z c o s,s i n,
zz ee?)'(
所以
1|)( 0)(znze
因此
.,,
!
1.,,
!2
11 2 nz z
n
zze
例 2、求 Ln(1+z)的下列解析分支在
z=0的泰勒展式解：已给解析分支在 z=0的值为 0,它在 z=0的一阶导数为 1,二阶导数为 -1,n阶导数为
))1a rg (
)1a rg (|1|ln)1l n (
z
zizz
)!1()1( nn
例 2、
因此,它在 z=0或在 |z|<1的泰勒展式是：
其收敛半径 1。
.,,)1(.,,
32
)1ln ( 1
32
n
zzzzz nn
例 3,求的下列解析分支在 z=0的泰勒展式 （ 其中 a不是整数 ）,
解：已给解析分支在 z=0的值为 1,它在 z=0的一阶导数为 a,二阶导数为 a(a-1),n阶导数为
a(a-1)… (a-n+1)
因此,它在 z=0或在 |z|<1的泰勒展式是：
)1( z?
.,,)(.,,)
2
(1 2)1l n ( nz z
n
zze
例 3、
其中其收敛半径为 1。
注解,这是二项式定理的推广,对 a为整数的情况也成立 。
!
)1),.,(1(
n
n
n
例 4、函数 sec z 在内解析,求它在这个园盘内的泰勒展式 。
解：我们利用幂级数的唯一性和除法来求它的泰勒展式,设
2
||z
),
2
|.,,( |...s e c 2210 zzczczccz nn
但是,我们有
,
...
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例 4、
因此,
,,,
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2
210
zz
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故可以通过比较系数法或直接除法确定这些系数
,可以得到
).
2
|.,,( |
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42?
zzzz
解析函数的零点设函数 f(z)在 z0的邻域 U内解析,并且
0)( 0?zf
那么称 z0为 f(z)的零点 。 设 f(z)在 U内的泰勒展式是：
.,,)(.,,)()()( 020201 nn zzzzzzzf
现在可能有下列两种情形：
（ 1） 如果当 n=1,2,3,… 时,0?n?
那么 f(z)在 U内恒等于零 。
解析函数的零点
（ 2） 如果,...,.,,,,21 n
不全为零,并且对于正整数 m，,0?m?
而对于 n<m，,0?n?
那么我们说 z0是 f(z)的 m阶零点 。
按照 m=1,或 m>1,我们说 z0是 f(z)的单零点或 m
阶零点 。
如果 z0是解析函数 f(z)的一个 m阶零点,那么显然在它的一个邻域 U内
,0)(),()()( 00 zzzzzf m
其中 在 U内解析 。)(z?
解析函数的零点定理 5.1 设函数 f(z)在 z0解析,并且 z0是它的一个零点,那么或者 f(z)在 z0的一个邻域内恒等于零
,或者存在着 z0的一个邻域,在其中 z0是 f(z)的唯一零点 。
因此存在一个正数,使得当0 ||0 0zz
时,。 于是0)(?z?,0)(?zf
换而言之,存在着 z0的一个邻域,其中 z0是 f(z)
的唯一零点 。
注解：此性质我们称为解析函数零点的孤立性 。
解析函数的唯一性 我们知道,已知一般有导数或偏导数的单实变或多实变函数在它的定义范围内某一部分的函数值,完全不能断定同一个函数在其他部分的函数值 。 解析函数的情形和这不同：已知某一个解析函数在它区域内某些部分的值,同一函数在这区域内其他部分的值就可完全确定
。
引理 6.1 设 f(z)是区域 D内的解析函数 。 如果 f(z)
在 D内的一个圆盘内恒等于零,那么 f(z)在 D内恒等于零 。
引理 6.1的证明：
证明：设在 D内一个以为 z0心的圆盘 K0内,
.0)(?zf
我们只需证明在 K0以外任一点,0)'(,' zfDz
用 D内的折线 L连接 z0与 z’,存在着一个正数?
.?在 L上依次取,
011210,',,.,,,,,Kzzzzzzz nn 使而其他任意相邻两点的距离小于 ；?
使得 L上任一点与区域 D的边界上任一点的距离大于引理 6.1的证明：
作每一点 zj的 邻域
DKz jj 1
),.,,,2,1( njK j?
显然,当 j<n时,有由于 f(z)在 K0内恒等于零,,.,,)2,1(0)( 1)( nzf n
于是 f(z)在 K1内泰勒展式的系数都是零,从而 f(z)
在 K1内恒等于零 。
一般地,已经证明了 f(z)在 )1( njK j
内恒等于零,就可推出它在 Kj+1内恒等于零,而最后就得到 f(z’)=0,因此引理的结论成立 。
定理 6.1,2：定理 6.1 如果 f(z)在区域 D内解析,并且不恒等于零,那么 f(z)的每个零点 z0有一个邻域,在 z0其中是 f(z)唯一的零点 。
定理 6.2（ 解析函数的唯一性定理 ） 设函数 f(z)及
g(z)在区域 D内解析 。 设 zk是 D内彼此不同的点
(k=1,2,3,… ),并且点列 {zk}在 D内有极限点 。 如果,
,.,,)3,2,1)(()( kzgzf kk
那么在 D内,f(z)=g(z)。
定理 6.2的证明：
证明：假定定理的结论不成立 。 即在 D内,解析函数 F(z)=f(z)-g(z)不恒等于 0。 显然
,.,,)2,1(0)( kzF k
设 z0是点列 {zk}在 D内有极限点 。 由于 F(z)在 z0
连续,可见
,0)( 0?zF
可是这时找不到 z0的一个邻域,在其中 z0是 F(z)
唯一的零点,与解析函数零点的孤立性矛盾 。
例 1、
例 1,在复平面解析,在实数轴上等于 sinx的函数只能是 sinz.
解：设 f(z)在复平面解析,并且在实轴上等于
sinx,那么在复平面解析 f(z)-sinz在实轴等于零,由解析函数的唯一性定理,在复平面解析上 f(z)-sinz=0,即 f(z)=sinz。
例 1、
注解：有关幂函数的和函数在其收敛圆上某些点处解析,如第 3段例 1及例 2,由解析函数的唯一性定理,都不存在另一个解析函数,在收敛圆内与和函数恒等,而收敛圆上和函数为解析的点的邻域内,与它不恒等 。
例 2、
例 2,是否存在着在原点解析的函数 f(z),满足下列条件：
（ 1）,;2 1)2 1(,0)12 1( nnfnf
（ 2）,,
1)
1(
n
n
nf
其中 n=1,2,3,… 。
解,（ 1）,由于,.,,)3,2,1}2 1{}12 1{ nnn （及例 2、
的唯一的解析函数；但此函数不满足条件
nnf 2
1)
2
1(?
,.,,)3,2,1(0)12 1( nnf
因此在原点解析并满足这些条件的函数不存在；
都以 0为聚点,由解析函数的唯一性定理,
f(z)=z是在原点解析并满足例 2、(2),我们有
./11 1)1( nnf
由解析函数的唯一性定理,zzf 1 1)(
是在原点解析并满足此条件的唯一的解析函数 。
It’s The End！
Thank You！
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第三节 泰勒展式 (续 )
定理 4.1：定理 4.1设函数 f(z)在圆盘在内解析,那么在 U内,
RzzU |:| 0
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定理 4.1的证明,
证明：在 U内任取一点 z。 以 z0为心,在 U内作一个圆 C,使 z属于其内区域 。 我们有由于当 时,
又因为
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由于 z是 U内任意一点,定理的结论成立 。
定理 4.2：定理 4.2,函数 f(z)在一点 z
0解析的必要与充分条件是：它在的某个邻域内有定理 4.1中的幂级数展式 。
注解 1,在定理 4.1中,f(z)在 U内的幂级数展式我们称为它在 U内的泰勒展式 。
注解 2,我们得到一个函数解析的另外一个刻画
。
注解 3,泰勒展式中的系数与 z0有关 。
系 4.1、系 4.1 幂级数
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系 4.2、
因此,我们有解析函数的幂级数展式的唯一性定理：
系 4.2 在定理 4.1中,幂级数的和函数 f(z)在 U内不可能有另一种形式的幂级数 。
注解：利用泰勒展式的唯一性定理,我们可以用多种方法求一个函数的泰勒展式,所得结果一定相同 。
例 1、求函数在 z=0的泰勒展式 。
解：由于
zze z c o s,s i n,
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所以
1|)( 0)(znze
因此
.,,
!
1.,,
!2
11 2 nz z
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例 2、求 Ln(1+z)的下列解析分支在
z=0的泰勒展式解：已给解析分支在 z=0的值为 0,它在 z=0的一阶导数为 1,二阶导数为 -1,n阶导数为
))1a rg (
)1a rg (|1|ln)1l n (
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例 2、
因此,它在 z=0或在 |z|<1的泰勒展式是：
其收敛半径 1。
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32
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例 3,求的下列解析分支在 z=0的泰勒展式 （ 其中 a不是整数 ）,
解：已给解析分支在 z=0的值为 1,它在 z=0的一阶导数为 a,二阶导数为 a(a-1),n阶导数为
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因此,它在 z=0或在 |z|<1的泰勒展式是：
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例 3、
其中其收敛半径为 1。
注解,这是二项式定理的推广,对 a为整数的情况也成立 。
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例 4、函数 sec z 在内解析,求它在这个园盘内的泰勒展式 。
解：我们利用幂级数的唯一性和除法来求它的泰勒展式,设
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解析函数的零点设函数 f(z)在 z0的邻域 U内解析,并且
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那么称 z0为 f(z)的零点 。 设 f(z)在 U内的泰勒展式是：
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现在可能有下列两种情形：
（ 1） 如果当 n=1,2,3,… 时,0?n?
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解析函数的零点
（ 2） 如果,...,.,,,,21 n
不全为零,并且对于正整数 m，,0?m?
而对于 n<m，,0?n?
那么我们说 z0是 f(z)的 m阶零点 。
按照 m=1,或 m>1,我们说 z0是 f(z)的单零点或 m
阶零点 。
如果 z0是解析函数 f(z)的一个 m阶零点,那么显然在它的一个邻域 U内
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其中 在 U内解析 。)(z?
解析函数的零点定理 5.1 设函数 f(z)在 z0解析,并且 z0是它的一个零点,那么或者 f(z)在 z0的一个邻域内恒等于零
,或者存在着 z0的一个邻域,在其中 z0是 f(z)的唯一零点 。
因此存在一个正数,使得当0 ||0 0zz
时,。 于是0)(?z?,0)(?zf
换而言之,存在着 z0的一个邻域,其中 z0是 f(z)
的唯一零点 。
注解：此性质我们称为解析函数零点的孤立性 。
解析函数的唯一性 我们知道,已知一般有导数或偏导数的单实变或多实变函数在它的定义范围内某一部分的函数值,完全不能断定同一个函数在其他部分的函数值 。 解析函数的情形和这不同：已知某一个解析函数在它区域内某些部分的值,同一函数在这区域内其他部分的值就可完全确定
。
引理 6.1 设 f(z)是区域 D内的解析函数 。 如果 f(z)
在 D内的一个圆盘内恒等于零,那么 f(z)在 D内恒等于零 。
引理 6.1的证明：
证明：设在 D内一个以为 z0心的圆盘 K0内,
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我们只需证明在 K0以外任一点,0)'(,' zfDz
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.?在 L上依次取,
011210,',,.,,,,,Kzzzzzzz nn 使而其他任意相邻两点的距离小于 ；?
使得 L上任一点与区域 D的边界上任一点的距离大于引理 6.1的证明：
作每一点 zj的 邻域
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显然,当 j<n时,有由于 f(z)在 K0内恒等于零,,.,,)2,1(0)( 1)( nzf n
于是 f(z)在 K1内泰勒展式的系数都是零,从而 f(z)
在 K1内恒等于零 。
一般地,已经证明了 f(z)在 )1( njK j
内恒等于零,就可推出它在 Kj+1内恒等于零,而最后就得到 f(z’)=0,因此引理的结论成立 。
定理 6.1,2：定理 6.1 如果 f(z)在区域 D内解析,并且不恒等于零,那么 f(z)的每个零点 z0有一个邻域,在 z0其中是 f(z)唯一的零点 。
定理 6.2（ 解析函数的唯一性定理 ） 设函数 f(z)及
g(z)在区域 D内解析 。 设 zk是 D内彼此不同的点
(k=1,2,3,… ),并且点列 {zk}在 D内有极限点 。 如果,
,.,,)3,2,1)(()( kzgzf kk
那么在 D内,f(z)=g(z)。
定理 6.2的证明：
证明：假定定理的结论不成立 。 即在 D内,解析函数 F(z)=f(z)-g(z)不恒等于 0。 显然
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设 z0是点列 {zk}在 D内有极限点 。 由于 F(z)在 z0
连续,可见
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可是这时找不到 z0的一个邻域,在其中 z0是 F(z)
唯一的零点,与解析函数零点的孤立性矛盾 。
例 1、
例 1,在复平面解析,在实数轴上等于 sinx的函数只能是 sinz.
解：设 f(z)在复平面解析,并且在实轴上等于
sinx,那么在复平面解析 f(z)-sinz在实轴等于零,由解析函数的唯一性定理,在复平面解析上 f(z)-sinz=0,即 f(z)=sinz。
例 1、
注解：有关幂函数的和函数在其收敛圆上某些点处解析,如第 3段例 1及例 2,由解析函数的唯一性定理,都不存在另一个解析函数,在收敛圆内与和函数恒等,而收敛圆上和函数为解析的点的邻域内,与它不恒等 。
例 2、
例 2,是否存在着在原点解析的函数 f(z),满足下列条件：
（ 1）,;2 1)2 1(,0)12 1( nnfnf
（ 2）,,
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其中 n=1,2,3,… 。
解,（ 1）,由于,.,,)3,2,1}2 1{}12 1{ nnn （及例 2、
的唯一的解析函数；但此函数不满足条件
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因此在原点解析并满足这些条件的函数不存在；
都以 0为聚点,由解析函数的唯一性定理,
f(z)=z是在原点解析并满足例 2、(2),我们有
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是在原点解析并满足此条件的唯一的解析函数 。
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Thank You！
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