Department of Mathematics
第七章 共形映射第 7.2节 分式线性函数及其映射性质分式线性函数 的定义分式线性函数是指下列形状的函数：
,
z
zw
其中 是复常数,而且 。,,,
0
0
在 时,我们也称它为整线性函数 。
分式线性函数的反函数为
,
w
wz
它也是分式线性函数,其中 0))((
注解：
注解 1,当 时,所定义的分式线性函数是把 z平面双射到 w平面,即把 C双射到 C的单叶解析函数；
0
注解 2,当 时,所定义的分式线性函数是把 双射到 的单叶解析函数；
0
}{C
}{C
注解 3,我们可以把分式线性函数的定义域推广到扩充复平面 。 当 时,规定它把映射成 ；当 时,规定它把映射成 ；则把 双射到 。
C 0
z
w 0
C?C
zz,
ww,
分式线性函数 的拓广现在把保形映射的概念扩充到无穷远点及其邻域,如果
)(
1
zf
t?
把 及其一个邻域保形映射成 t=0及其一个邻域,那么我们说 w=f(z)把 及其一个邻域保形映射成 及其一个邻域 。
0zz?
0zz?
w
如果
)/1(
1
ft?
把 及其一个邻域保形映射成 t=0及其一个邻域,那么我们说 w=f(z)把 及其一个邻域0z
分式线性函数 的拓广
w保形映射成 及其一个邻域 。
注解 4,分式线性函数把扩充 z平面保形映射成扩充 w平面 。
注解 5,区域,连通性等概念可以推广到扩充复平面 。
（ 为一个复数 ） ；
分式线性函数 的分解一般分式线性函数是由下列四种简单函数叠合而得的：
（ 1）, zw?
（ 2）,（ 为一个实数 ） ；zew i
（ 3）,（ r为一个正数 ） ；rzw?
（ 4）,。
z
w 1?
分式线性函数 的分解事实上,我们有：
),0( )( zzw
),0(
)(2
zz
z
w
把 z及 w看作同一个复平面上的点,则有：
（ 1）, zw
确定一个平移；
分式线性函数 的分解
（ 2）,
zew i
确定一个旋转；
（ 3）,rzw?
确定一个以原点为相似中心的相似映射；
（ 4）,
z
w 1?
是由 映射及关于实轴的对称映射 叠合而得 。zz
1
1?
1zw?
定理 4.1保圆性：
规定：在扩充复平面上,任一直线看成半径是无穷大的圆 。
定理 4.1 在扩充复平面上,分式线性函数把圆映射成圆 。
证明：由于分式线性函数所确定的映射是平移
,旋转,相似映射及
zw
1?
型的函数所确定的映射复合而得,但前三个映射显然把圆映射成圆,所以只用证明映射也把圆映射为圆即可 。 zw 1?
保圆性：
在圆的方程
,0)( 22 dcybxyxa（ 如果 a=0,这表示一条直线 ） 中,代入
,
2
,
2
,22
i
zzyzzxzzyx
则得圆的复数表示：
,0 dzzzaz
其中 a,b,c,d是实常数,是复常数 。)(
2
1 icb
保圆性：
函数 把圆映射成为
zw
1?
,0 awwwdw
即 w平面的圆 （ 如果 d=0,它表示一条直线,即扩充 w平面上半径为无穷大的圆 ） 。
注解：
注解 1,设分式线性函数把扩充 z平面上的圆 C映射成扩充 w平面上的圆 C‘。 于是,C及 C’把这两个扩充复平面分别分成两个没有公共点的区域
,及,其边界分别是 C及 C'。21,DD ',' 21 DD
注解 2,此分式线性函数把 映射成之中的一个区域；
1D ',' 21 DD
注解 3,映射后的区域的象究竟是 还是,我们必须通过检验其中某一个点的象来决定 。
'1D '2D
定理 4.2
定理 4.2 对于扩充 z平面上任意三个不同的点
321,,zzz
以及扩充 w平面上任意三个不同的点,
321,,www
存在唯一的分式线性函数,把
321,,zzz
依次分别映射成,,,
321 www
证明：先考虑已给各点都是有限点的情形 。 设所求分式线性函数是
,
dcz
bazw
定理 4.2的证明：
那么,由
dcz
bazw
dcz
bazw
dcz
bazw
2
2
2
2
2
2
1
1
1,,
得
))((
))(())((
1
11
1 dczdcz
dczbazdczbazww
))((
))((
1
1
dczdcz
bcadzz
同理,有：
))((
))((
1
1
1 dczdcz
bcadzzww
))((
))((
13
13
13 dczdcz
bcadzzww
))((
))((
23
23
23 dczdcz
bcadzzww
))((
))((
2
2
2 dczdcz
bcadzzww
定理 4.2的证明：
因此,有
23
13
2
1
23
13
2
1,:
zz
zz
zz
zz
ww
ww
ww
ww
由此,我们可以解出分式线性函数 。 由此也显然得这样的分式线性函数也是唯一的 。
其次,如果已给各点除 外都是有限点 。
则所求分式线性函数有下列的形式：
3w
,)(
3zzc
bazw
定理 4.2的证明：
那么,由
,)(,)(
32
2
2
31
1
1 zzc
bazw
zzc
bazw
同理有
23
13
2
1
2
1,
zz
zz
zz
zz
ww
ww
由此,我们可以解出分式线性函数 。 由此也显然得这样的分式线性函数也是唯一的 。
注解与推论：
注解,和 分别称为及 的交比,分别记为
23
13
2
1,
zz
zz
zz
zz
23
13
2
1,
ww
ww
ww
ww
321,,,zzzz
321,,,wwww
),,,( 321 zzzz ),,,( 321 wwww
系 4.1 在分式线性函数所确定的映射下,交比不变 。 即设一个分式线性函数把扩充 z平面上任意不同四点 映射成扩充 w平面上四点
,那么
4321,,,zzzz
4321,,,wwww
).,,,(),,,( 43214321 wwwwzzzz?
定理 4.3
定理 4.3 扩充 z平面上任何圆,可以用一个分式线性函数映射成扩充 w平面上任何圆 。
证明：设 C是 z平面上的一个圆,C'是 w平面上的一个圆,在 C和 C'上分别取三个不同的点
321,,zzz 321
,,www
由定理 4.2,存在一个分式线性函数,把
321,,zzz
映射成,从而把圆 C映射成圆 C‘。
321,,www
关于圆的对称点：
注解 1,圆 C上的点是它本身关于圆 C的对称点；
注解 2,规定 及 是关于圆 C的对称点；
注解 3,利用此定理也可以解释关于直线的对称点
。
设已给圆 )0(|:|
0 RRzzC
如果两个有限点 及 在过 的同一射线上
,并且
1z 2z 0z
2
0201 |||| Rzzzz
那么我们说它们是关于圆 C的对称点 。
0z
y
x
1w
zw /1?
z
而 及 都是有限的情形 。
引理 4.1:
引理 4.1 不同两点 及 是关于圆 C的对称点的必要与充分条件是：通过 及 的任何圆与圆
C直交 。
1z 2z
1z 2z
证明：如果 C是直线 （ 半径为无穷大的圆 ） ；或者 C是半径为有限的圆,及 之中有一个是无穷远点,则结论显然 。
现在考虑圆 C为
1z 2z（ 必要性 ） 设 及 关于圆 C的对称,那么通过 及 的直线 （ 半径为无穷大的圆 ） 显然和圆 C直交 。
1z 2z
1z 2z
1z 2z
)0(|| 0 RRzz
引理 4.1的证明,
作过 及 的任何圆 （ 半径为有限 ） C‘。 过作圆 C'的切线,设其切点是 z'。 于是1
z 2z 0z
2
0201
2
0 |||||'| Rzzzzzz
从而
Rzz |'| 0
这说明,从而上述 C'的切线恰好是圆 C的半径,因此 C与 C'直交 。
Cz?'
（ 充分性 ） 过 及 作一个圆 （ 半径为有限 ）
C‘,与 C交于一点 z’。 由于圆 C与 C‘直交,C’在 z‘
的切线通过圆 C的心 。
1z 2z
0z
显然,及 在这切线的同一侧 。
又过 及 作一直线 L,由于 L与 C直交,它通过圆心 。
引理 4.1的证明,
1z 2z
1z 2z
0z
于是 及 在通过 的一条射线上 。 我们有
1z 2z 0z
2
0201 |||| Rzzzz
因此,及 是关于圆 C的对称点 。1z 2z
定理 4.4(保圆的对城性）：
定理 4.4 如果分式线性函数把 z平面上圆 C映射成 w平面上的圆 C‘,那么它把关于圆 C的对称点及 映射成关于圆 C‘的对称点 及 。1z
2z 1w 2w
证明：过 及 的任何圆是由过 及 的圆映射得来的 。
1w 2w 1z 2z
由引理 4.1,过 及 的任何圆与圆 C直交,1z
2z
从而由分式线性函数的保形性,过 及 的任何圆与圆 C‘直交 。 再利用引理 4.1,及 是关于圆 C'的对称点 。
1w 2w
1w 2w
例子：
例：考虑扩充 w平面上的一个圆 |w|=R。 分式线性函数
2
1
zz
zzw
把 及 映射成关于圆 w|=R的对称点 0及,
把扩充 z平面上的曲线
1z 2z?
,||
2
1 R
zz
zz?
映射成为圆 w|=R。 由定理 4.1,4.4知,上式表示的一个圆,及 是关于它对称点 。1z
2z
两个特殊的分式线性函数：
(1),试求把上半平面 Imz>0保形映射成单位圆盘
|w|<1的分式线性函数 。
解：首先,这种函数应当一方面把 Imz>0内某一点 映射成 w=0,一方面把 Imz=0映射成 |w|=1。
0z
由于线性函数把关于实轴 Imz=0的对称点映射成为关于圆 |w|=1的对称点,所求函数不仅把 映射成 w=0,而且把 映射成 。 因此这种函数的形状是：
0z
0zw
,
0
0
zz
zzw
其中 是一个复常数 。
把上半平面映射成单位圆内部的映射：
其次,如果 z是实数,那么
,1||||||||
0
0
zz
zzw
于是,其中 是一个实常数 。 因此所求的函数应是
ie
,
0
0
zz
zzew i
由于 z是实数时,|w|=1,因此它把直线 Imz=0映射成圆 |w|=1,从而把上半平面 Imz>0映射成
|w|<1或 |w|>1,又因为当 时,|w|=0<1,因此这个函数正是我们所要求的 。
0zz?
注解：
注解 1,圆盘 |w|<1的直径是由通过 及 的圆在上半平面的弧映射成的； 0
z 0z
注解 2,以 w=0为心的圆由以 及 为对称点的圆映射成的； 0
z 0z
0zz?
注解 3,w=0是由 映射成的 。
注解 4,求解的方法具有一般性 。
注解 5,映射的具体性质如图 。
单位圆到单位圆内部的映射：
(2),试求把单位圆 |z|<1保形映射成单位圆盘
|w|<1的分式线性函数 。
解：首先,这种函数应当把 |z|<1内某一点 映射成 w=0,并且把 |z|=1映射成 |w|=1。 0
z
不难看出,与 关于圆 |z|=1的对称点是,和上面一样,这种函数还应当把 映射成因此这种函数的形状是：
0z
0/1 zw
0/1 z
,1/1
0
0
1
0
0
zz
zz
zz
zzw
其中 是一个复常数 。
1,
两个特殊的分式线性函数：
其次,如果 |z|=1时,那么
),(1 000 zzzzzzzzz
于是
,1|||
1
||||| 1
0
0
1
zz
zzw
因此,其中 是一个实常数 。? ie?
1?
所求的函数应是
,
1 0
0
zz
zzew i
由于当 |z|=1时,|w|=1,因此它把圆 |z|=1映射成圆 |w|=1,从而把 |z|<1映射成 |w|<1或 |w|>1,又因为当 时,|w|=0<1,因此这个函数正是我们所要求的 。0
zz?
注解：
注解 1,圆盘 |w|<1的直径是由通过 及的圆在 |z|<1内的弧映射成的；
0z 0/1 z
注解 2,以 w=0为心的圆由以 及 为对称点的圆映射成的；
0z 0/1 z
注解 3,w=0是由 映射成的 。0z
注解 4,求解的方法具有一般性 。
注解 5,映射的具体性质如图 。
It’s The End！
Thank You！
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第七章 共形映射第 7.2节 分式线性函数及其映射性质分式线性函数 的定义分式线性函数是指下列形状的函数：
,
z
zw
其中 是复常数,而且 。,,,
0
0
在 时,我们也称它为整线性函数 。
分式线性函数的反函数为
,
w
wz
它也是分式线性函数,其中 0))((
注解：
注解 1,当 时,所定义的分式线性函数是把 z平面双射到 w平面,即把 C双射到 C的单叶解析函数；
0
注解 2,当 时,所定义的分式线性函数是把 双射到 的单叶解析函数；
0
}{C
}{C
注解 3,我们可以把分式线性函数的定义域推广到扩充复平面 。 当 时,规定它把映射成 ；当 时,规定它把映射成 ；则把 双射到 。
C 0
z
w 0
C?C
zz,
ww,
分式线性函数 的拓广现在把保形映射的概念扩充到无穷远点及其邻域,如果
)(
1
zf
t?
把 及其一个邻域保形映射成 t=0及其一个邻域,那么我们说 w=f(z)把 及其一个邻域保形映射成 及其一个邻域 。
0zz?
0zz?
w
如果
)/1(
1
ft?
把 及其一个邻域保形映射成 t=0及其一个邻域,那么我们说 w=f(z)把 及其一个邻域0z
分式线性函数 的拓广
w保形映射成 及其一个邻域 。
注解 4,分式线性函数把扩充 z平面保形映射成扩充 w平面 。
注解 5,区域,连通性等概念可以推广到扩充复平面 。
（ 为一个复数 ） ；
分式线性函数 的分解一般分式线性函数是由下列四种简单函数叠合而得的：
（ 1）, zw?
（ 2）,（ 为一个实数 ） ；zew i
（ 3）,（ r为一个正数 ） ；rzw?
（ 4）,。
z
w 1?
分式线性函数 的分解事实上,我们有：
),0( )( zzw
),0(
)(2
zz
z
w
把 z及 w看作同一个复平面上的点,则有：
（ 1）, zw
确定一个平移；
分式线性函数 的分解
（ 2）,
zew i
确定一个旋转；
（ 3）,rzw?
确定一个以原点为相似中心的相似映射；
（ 4）,
z
w 1?
是由 映射及关于实轴的对称映射 叠合而得 。zz
1
1?
1zw?
定理 4.1保圆性：
规定：在扩充复平面上,任一直线看成半径是无穷大的圆 。
定理 4.1 在扩充复平面上,分式线性函数把圆映射成圆 。
证明：由于分式线性函数所确定的映射是平移
,旋转,相似映射及
zw
1?
型的函数所确定的映射复合而得,但前三个映射显然把圆映射成圆,所以只用证明映射也把圆映射为圆即可 。 zw 1?
保圆性：
在圆的方程
,0)( 22 dcybxyxa（ 如果 a=0,这表示一条直线 ） 中,代入
,
2
,
2
,22
i
zzyzzxzzyx
则得圆的复数表示：
,0 dzzzaz
其中 a,b,c,d是实常数,是复常数 。)(
2
1 icb
保圆性：
函数 把圆映射成为
zw
1?
,0 awwwdw
即 w平面的圆 （ 如果 d=0,它表示一条直线,即扩充 w平面上半径为无穷大的圆 ） 。
注解：
注解 1,设分式线性函数把扩充 z平面上的圆 C映射成扩充 w平面上的圆 C‘。 于是,C及 C’把这两个扩充复平面分别分成两个没有公共点的区域
,及,其边界分别是 C及 C'。21,DD ',' 21 DD
注解 2,此分式线性函数把 映射成之中的一个区域；
1D ',' 21 DD
注解 3,映射后的区域的象究竟是 还是,我们必须通过检验其中某一个点的象来决定 。
'1D '2D
定理 4.2
定理 4.2 对于扩充 z平面上任意三个不同的点
321,,zzz
以及扩充 w平面上任意三个不同的点,
321,,www
存在唯一的分式线性函数,把
321,,zzz
依次分别映射成,,,
321 www
证明：先考虑已给各点都是有限点的情形 。 设所求分式线性函数是
,
dcz
bazw
定理 4.2的证明：
那么,由
dcz
bazw
dcz
bazw
dcz
bazw
2
2
2
2
2
2
1
1
1,,
得
))((
))(())((
1
11
1 dczdcz
dczbazdczbazww
))((
))((
1
1
dczdcz
bcadzz
同理,有：
))((
))((
1
1
1 dczdcz
bcadzzww
))((
))((
13
13
13 dczdcz
bcadzzww
))((
))((
23
23
23 dczdcz
bcadzzww
))((
))((
2
2
2 dczdcz
bcadzzww
定理 4.2的证明：
因此,有
23
13
2
1
23
13
2
1,:
zz
zz
zz
zz
ww
ww
ww
ww
由此,我们可以解出分式线性函数 。 由此也显然得这样的分式线性函数也是唯一的 。
其次,如果已给各点除 外都是有限点 。
则所求分式线性函数有下列的形式：
3w
,)(
3zzc
bazw
定理 4.2的证明：
那么,由
,)(,)(
32
2
2
31
1
1 zzc
bazw
zzc
bazw
同理有
23
13
2
1
2
1,
zz
zz
zz
zz
ww
ww
由此,我们可以解出分式线性函数 。 由此也显然得这样的分式线性函数也是唯一的 。
注解与推论：
注解,和 分别称为及 的交比,分别记为
23
13
2
1,
zz
zz
zz
zz
23
13
2
1,
ww
ww
ww
ww
321,,,zzzz
321,,,wwww
),,,( 321 zzzz ),,,( 321 wwww
系 4.1 在分式线性函数所确定的映射下,交比不变 。 即设一个分式线性函数把扩充 z平面上任意不同四点 映射成扩充 w平面上四点
,那么
4321,,,zzzz
4321,,,wwww
).,,,(),,,( 43214321 wwwwzzzz?
定理 4.3
定理 4.3 扩充 z平面上任何圆,可以用一个分式线性函数映射成扩充 w平面上任何圆 。
证明：设 C是 z平面上的一个圆,C'是 w平面上的一个圆,在 C和 C'上分别取三个不同的点
321,,zzz 321
,,www
由定理 4.2,存在一个分式线性函数,把
321,,zzz
映射成,从而把圆 C映射成圆 C‘。
321,,www
关于圆的对称点：
注解 1,圆 C上的点是它本身关于圆 C的对称点；
注解 2,规定 及 是关于圆 C的对称点；
注解 3,利用此定理也可以解释关于直线的对称点
。
设已给圆 )0(|:|
0 RRzzC
如果两个有限点 及 在过 的同一射线上
,并且
1z 2z 0z
2
0201 |||| Rzzzz
那么我们说它们是关于圆 C的对称点 。
0z
y
x
1w
zw /1?
z
而 及 都是有限的情形 。
引理 4.1:
引理 4.1 不同两点 及 是关于圆 C的对称点的必要与充分条件是：通过 及 的任何圆与圆
C直交 。
1z 2z
1z 2z
证明：如果 C是直线 （ 半径为无穷大的圆 ） ；或者 C是半径为有限的圆,及 之中有一个是无穷远点,则结论显然 。
现在考虑圆 C为
1z 2z（ 必要性 ） 设 及 关于圆 C的对称,那么通过 及 的直线 （ 半径为无穷大的圆 ） 显然和圆 C直交 。
1z 2z
1z 2z
1z 2z
)0(|| 0 RRzz
引理 4.1的证明,
作过 及 的任何圆 （ 半径为有限 ） C‘。 过作圆 C'的切线,设其切点是 z'。 于是1
z 2z 0z
2
0201
2
0 |||||'| Rzzzzzz
从而
Rzz |'| 0
这说明,从而上述 C'的切线恰好是圆 C的半径,因此 C与 C'直交 。
Cz?'
（ 充分性 ） 过 及 作一个圆 （ 半径为有限 ）
C‘,与 C交于一点 z’。 由于圆 C与 C‘直交,C’在 z‘
的切线通过圆 C的心 。
1z 2z
0z
显然,及 在这切线的同一侧 。
又过 及 作一直线 L,由于 L与 C直交,它通过圆心 。
引理 4.1的证明,
1z 2z
1z 2z
0z
于是 及 在通过 的一条射线上 。 我们有
1z 2z 0z
2
0201 |||| Rzzzz
因此,及 是关于圆 C的对称点 。1z 2z
定理 4.4(保圆的对城性）：
定理 4.4 如果分式线性函数把 z平面上圆 C映射成 w平面上的圆 C‘,那么它把关于圆 C的对称点及 映射成关于圆 C‘的对称点 及 。1z
2z 1w 2w
证明：过 及 的任何圆是由过 及 的圆映射得来的 。
1w 2w 1z 2z
由引理 4.1,过 及 的任何圆与圆 C直交,1z
2z
从而由分式线性函数的保形性,过 及 的任何圆与圆 C‘直交 。 再利用引理 4.1,及 是关于圆 C'的对称点 。
1w 2w
1w 2w
例子：
例：考虑扩充 w平面上的一个圆 |w|=R。 分式线性函数
2
1
zz
zzw
把 及 映射成关于圆 w|=R的对称点 0及,
把扩充 z平面上的曲线
1z 2z?
,||
2
1 R
zz
zz?
映射成为圆 w|=R。 由定理 4.1,4.4知,上式表示的一个圆,及 是关于它对称点 。1z
2z
两个特殊的分式线性函数：
(1),试求把上半平面 Imz>0保形映射成单位圆盘
|w|<1的分式线性函数 。
解：首先,这种函数应当一方面把 Imz>0内某一点 映射成 w=0,一方面把 Imz=0映射成 |w|=1。
0z
由于线性函数把关于实轴 Imz=0的对称点映射成为关于圆 |w|=1的对称点,所求函数不仅把 映射成 w=0,而且把 映射成 。 因此这种函数的形状是：
0z
0zw
,
0
0
zz
zzw
其中 是一个复常数 。
把上半平面映射成单位圆内部的映射：
其次,如果 z是实数,那么
,1||||||||
0
0
zz
zzw
于是,其中 是一个实常数 。 因此所求的函数应是
ie
,
0
0
zz
zzew i
由于 z是实数时,|w|=1,因此它把直线 Imz=0映射成圆 |w|=1,从而把上半平面 Imz>0映射成
|w|<1或 |w|>1,又因为当 时,|w|=0<1,因此这个函数正是我们所要求的 。
0zz?
注解：
注解 1,圆盘 |w|<1的直径是由通过 及 的圆在上半平面的弧映射成的； 0
z 0z
注解 2,以 w=0为心的圆由以 及 为对称点的圆映射成的； 0
z 0z
0zz?
注解 3,w=0是由 映射成的 。
注解 4,求解的方法具有一般性 。
注解 5,映射的具体性质如图 。
单位圆到单位圆内部的映射：
(2),试求把单位圆 |z|<1保形映射成单位圆盘
|w|<1的分式线性函数 。
解：首先,这种函数应当把 |z|<1内某一点 映射成 w=0,并且把 |z|=1映射成 |w|=1。 0
z
不难看出,与 关于圆 |z|=1的对称点是,和上面一样,这种函数还应当把 映射成因此这种函数的形状是：
0z
0/1 zw
0/1 z
,1/1
0
0
1
0
0
zz
zz
zz
zzw
其中 是一个复常数 。
1,
两个特殊的分式线性函数：
其次,如果 |z|=1时,那么
),(1 000 zzzzzzzzz
于是
,1|||
1
||||| 1
0
0
1
zz
zzw
因此,其中 是一个实常数 。? ie?
1?
所求的函数应是
,
1 0
0
zz
zzew i
由于当 |z|=1时,|w|=1,因此它把圆 |z|=1映射成圆 |w|=1,从而把 |z|<1映射成 |w|<1或 |w|>1,又因为当 时,|w|=0<1,因此这个函数正是我们所要求的 。0
zz?
注解：
注解 1,圆盘 |w|<1的直径是由通过 及的圆在 |z|<1内的弧映射成的；
0z 0/1 z
注解 2,以 w=0为心的圆由以 及 为对称点的圆映射成的；
0z 0/1 z
注解 3,w=0是由 映射成的 。0z
注解 4,求解的方法具有一般性 。
注解 5,映射的具体性质如图 。
It’s The End！
Thank You！
Complex Function Theory Department of Mathematics
