Department of Mathematics
第六章 留数理论及应用第 6.1节 留数留数的概念设函数 f(z)在点 z0解析 。 作圆 rzzC |:| 0
C dzzf )(等于零 。
设函数 f(z)在区域 0<| z-z0|<R内解析 。 选取 r，
使 0<r<R,并且作圆 rzzC |:| 0
那么如果 f(z)在 z0也解析,则上面的积分也等于零；
使 f(z)在以它为边界的闭圆盘上解析,那么根据柯西定理,积分如果 z0是 f(z)的孤立奇点,则上述积分就不一定等于零；这时,我们把积分留数的概念
C dzzfi )(2 1?
定义为 f(z)在孤立奇点 z0的留数,记作
),(Re s 0zf
这里积分是沿着 C按反时针方向取的 。
注解注解 1,我们定义的留数 Res(f,z0) 与圆 C的半径
r无关：事实上,在 0<| z-z0|<R内,f(z)有洛朗展式：
n
n
n zzzf )()( 0?
而且这一展式在 C上一致收敛 。 逐项积分,我们有
,2)()( 10?
idzzzdzzf
n C
n
nC
因此,
.),(R es 10zf
注解注解 2,即 f(z)在孤立奇点 z0的留数等于其洛朗级数展式中
0
1
zz?
的系数 。
注解 3,如果 z0是 f(z)的可去奇点,那么
.0),(R e s 0?zf
留数定理定理 1.1（ 留数定理 ） 设 D是在复平面上的一个有界区域,其边界是一条或有限条简单闭曲线 C
。 设 f(z)在 D内除去有孤立奇点
nzzz,.,,,,21
外,在每一点都解析,并且它在 C上每一点都解析,那么我们有：
),,(R e s2)(
1
k
n
k
C
zfidzzf
这里沿 C的积分按关于区域 D的正向取的 。
留数定理的基本思想留数定理的证明,
证明：以 D内每一个孤立奇点 zk为心,作圆 Ck，
使以它为边界的闭圆盘上每一点都在 D内,并且使任意两个这样的闭圆盘彼此无公共点 。 从 D中除去以这些 Ck为边界的闭圆盘的一个区域 G，
其边界是 C以及 Ck，
在 G及其边界所组成的闭区域上,f(z)解析 。 因此根据柯西定理,
,)()(
1
n
k
CC k
dzzfdzzf
这里沿 C的积分按关于区域 D的正向取的,沿 Ck
的积分按反时针方向取的 。 根据留数的定义,
得定理的结论成立 。
留数定理的证明,
注解 1,留数定理在两个从定义上看,完全不同
,也不相干的概念之间架起一个桥梁,是非常重要的 。
注解 2,具体计算一定要注意前面的系数,2 i?
一阶极点留数的计算：
本节讲述几种常见的情形下,如何计算留数 。
首先考虑一阶极点的情形 。 设 z0是 f(z)的一个一阶极点 。 因此在去掉中心 z0的某一圆盘内 0zz?
),(1)(
0
z
zz
zf?
其中 )(z?
,)()(
1
0?
n
n
n zzz
其中 在这个圆盘内包括 z=z0解析,其泰勒级数展式是：
一阶极点留数的计算：
而且 0)( 00 z
0
1
zz?
)( 0z?的系数等于
),()(li m),(R e s 00
0
zfzzzf
zz
如果容易求出 )(z?
00 ),(Re szf
否则要采用其他方法求留数 。
。 显然,在 f(z)的洛朗级数中,
的系数等于,因此如果容易求出 的泰勒级数展式,那么由此可得一阶极点留数的计算：
如果在上述去掉中心 z0的圆盘内 （ ）,0zz?
,)( )()( zQ zPzf?
其中 P(z)及 Q(z)在这圆盘内包括在 z0解析,
0)( 0?zP
z0是 Q(z)的一阶零点,并且 Q(z)在这圆盘内没有其他零点,那么 z0是 f(z)的一阶极点,因而
).('/)(
)()(
)(
)(lim )()(lim),(R e s
00
0
000
00
zQzP
zQzQ
zP
zzzfzzzf
zzzz
例 1：例 1,函数
,
1
)( 2
z
ezf iz
有两个一阶极点 iz
,
2
1
)('
)( ize
zzQ
zP?
因此
.
2
),(R e s,
2
),(R e s eiif
e
iif
有两个一阶极点有两个一阶极点,这时高阶极点留数的计算：
其次,我们考虑高阶极点得情形 。 设 z0是 f(z)的一个 k阶极点 (k>1)。 这就是说,在去掉中心 z0
的某一圆盘内 （ ）,0zz?
),(
)(
1
)(
0
z
zz
zf k?
其中 )(z?
,)()(
1
0?
n
n
n zzz
其中 在这个圆盘内包括 z=z0解析,其泰勒级数展式是：
高阶极点留数的计算：
由此可见,
,),(Re s 10 kzf?
因此问题转化为求 )(z?
10 ),(R es kzf?
否则要采用其他方法求留数 。
显然,
,
)!1(
)(
lim
)!1(
)( )1(0)1(
1
0?
k
z
k
z k
zz
k
k
因此问题转化为求 泰勒级数展式的系数 。
如果容易求出它的泰勒级数展式,那么由此可得高阶极点留数的计算：
因此,我们也可根据下列公式计算 ),(Re s 0zf
.)]()[(l i m
)!1(
1),(R e s
1
0
1
0
0
k
kk
zz dz
zfzzd
k
zf
例 2：
例 2,函数,s e c)(
3z
zzf?
在 z=0有三阶极点,则
...,!45!211s e c)( 42 zzzz?
因此,
2
1)0,(R e s?f
由上述公式也可得：
.
2
1)s e c(lim
2
1)0,(R e s
3
3
2
2
0
z
zz
dz
df
zz
例 3：
例 3,函数,)1()( 22 zz ezf
iz
在 z=i有二阶极点 。 这时,
)(
)( 2
izz
ez iz
令 z=i+t,那么在
,
)2)((
)( 2
)(
titi
e
th
iti
的泰勒展式中,t的系数就是 f(z)在 i的留数 。 写出 h(t)中每个因子的到 t的一次项,我们有：
例 3：当 |t|<1时
.,,),1(1)( itee izi
.,,),1(11 itiititi
.,,),1(
4
1
)
2
1(
1
4
1
)2(
1
2
2
itit
ti
因此当 |t|<1时,
.,,),31(
4
)( it
e
ith
于是,
4
3),(R e s
e
if
例 3：由上述公式也可得：
.
4
3
]
)(
[lim),(R e s
2 eizz
e
dz
d
if
iz
iz
It’s The End！
Thank You！
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第六章 留数理论及应用第 6.1节 留数留数的概念设函数 f(z)在点 z0解析 。 作圆 rzzC |:| 0
C dzzf )(等于零 。
设函数 f(z)在区域 0<| z-z0|<R内解析 。 选取 r，
使 0<r<R,并且作圆 rzzC |:| 0
那么如果 f(z)在 z0也解析,则上面的积分也等于零；
使 f(z)在以它为边界的闭圆盘上解析,那么根据柯西定理,积分如果 z0是 f(z)的孤立奇点,则上述积分就不一定等于零；这时,我们把积分留数的概念
C dzzfi )(2 1?
定义为 f(z)在孤立奇点 z0的留数,记作
),(Re s 0zf
这里积分是沿着 C按反时针方向取的 。
注解注解 1,我们定义的留数 Res(f,z0) 与圆 C的半径
r无关：事实上,在 0<| z-z0|<R内,f(z)有洛朗展式：
n
n
n zzzf )()( 0?
而且这一展式在 C上一致收敛 。 逐项积分,我们有
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n C
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因此,
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注解注解 2,即 f(z)在孤立奇点 z0的留数等于其洛朗级数展式中
0
1
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的系数 。
注解 3,如果 z0是 f(z)的可去奇点,那么
.0),(R e s 0?zf
留数定理定理 1.1（ 留数定理 ） 设 D是在复平面上的一个有界区域,其边界是一条或有限条简单闭曲线 C
。 设 f(z)在 D内除去有孤立奇点
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外,在每一点都解析,并且它在 C上每一点都解析,那么我们有：
),,(R e s2)(
1
k
n
k
C
zfidzzf
这里沿 C的积分按关于区域 D的正向取的 。
留数定理的基本思想留数定理的证明,
证明：以 D内每一个孤立奇点 zk为心,作圆 Ck，
使以它为边界的闭圆盘上每一点都在 D内,并且使任意两个这样的闭圆盘彼此无公共点 。 从 D中除去以这些 Ck为边界的闭圆盘的一个区域 G，
其边界是 C以及 Ck，
在 G及其边界所组成的闭区域上,f(z)解析 。 因此根据柯西定理,
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这里沿 C的积分按关于区域 D的正向取的,沿 Ck
的积分按反时针方向取的 。 根据留数的定义,
得定理的结论成立 。
留数定理的证明,
注解 1,留数定理在两个从定义上看,完全不同
,也不相干的概念之间架起一个桥梁,是非常重要的 。
注解 2,具体计算一定要注意前面的系数,2 i?
一阶极点留数的计算：
本节讲述几种常见的情形下,如何计算留数 。
首先考虑一阶极点的情形 。 设 z0是 f(z)的一个一阶极点 。 因此在去掉中心 z0的某一圆盘内 0zz?
),(1)(
0
z
zz
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其中 )(z?
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n
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其中 在这个圆盘内包括 z=z0解析,其泰勒级数展式是：
一阶极点留数的计算：
而且 0)( 00 z
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如果容易求出 )(z?
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否则要采用其他方法求留数 。
。 显然,在 f(z)的洛朗级数中,
的系数等于,因此如果容易求出 的泰勒级数展式,那么由此可得一阶极点留数的计算：
如果在上述去掉中心 z0的圆盘内 （ ）,0zz?
,)( )()( zQ zPzf?
其中 P(z)及 Q(z)在这圆盘内包括在 z0解析,
0)( 0?zP
z0是 Q(z)的一阶零点,并且 Q(z)在这圆盘内没有其他零点,那么 z0是 f(z)的一阶极点,因而
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例 1：例 1,函数
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有两个一阶极点 iz
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因此
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有两个一阶极点有两个一阶极点,这时高阶极点留数的计算：
其次,我们考虑高阶极点得情形 。 设 z0是 f(z)的一个 k阶极点 (k>1)。 这就是说,在去掉中心 z0
的某一圆盘内 （ ）,0zz?
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其中 )(z?
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其中 在这个圆盘内包括 z=z0解析,其泰勒级数展式是：
高阶极点留数的计算：
由此可见,
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因此问题转化为求 )(z?
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否则要采用其他方法求留数 。
显然,
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因此问题转化为求 泰勒级数展式的系数 。
如果容易求出它的泰勒级数展式,那么由此可得高阶极点留数的计算：
因此,我们也可根据下列公式计算 ),(Re s 0zf
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1),(R e s
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例 2：
例 2,函数,s e c)(
3z
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在 z=0有三阶极点,则
...,!45!211s e c)( 42 zzzz?
因此,
2
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由上述公式也可得：
.
2
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例 3：
例 3,函数,)1()( 22 zz ezf
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在 z=i有二阶极点 。 这时,
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令 z=i+t,那么在
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的泰勒展式中,t的系数就是 f(z)在 i的留数 。 写出 h(t)中每个因子的到 t的一次项,我们有：
例 3：当 |t|<1时
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