Department of Mathematics
第 4.1节 级数和序列的基本性质 (1)
复数序列：复数序列就是：
,.,,,.,,,,222111 nnn ibazibazibaz
在这里,zn是复数,,Im,Re nnnn bzaz
一般简单记为 {zn}。 按照 {zn}是有界或无界序列
,我们也称 {zn}为有界或无界序列 。
设 z0是一个复常数 。 如果任给,0
|| 0zz n
那么我们说 zn收敛或有极限 z0,或者说 zn 是收敛序列,并且收敛于 z0,记作 0lim zz n
n
可以找到一个正数 N,使得当 n>N时复数序列：如果序列 {z
n}不收敛,则称 {zn}发散,或者说它是发散序列 。
令 ibaz0
其中 a和 b是实数 。 由不等式
|||||||||| 0 bbaazzbbaa nnnnn 及容易看出,0lim zz n
n
等价于下列两极限式：
,lim,lim bbaa n
nnn
因此,有下面的注解：
注解：
注解 1,序列收敛 {zn}（ 于 z0） 的必要与充分条件是：序列 {an}收敛 （ 于 a） 以及序列 {bn}收敛
（ 于 b） 。
注解 2,复数序列也可以解释为复平面上的点列
,于是点列 {zn}收敛于 z0,或者说有极限点 z0.
用几何语言可以叙述为：任给的 z0一个邻域
,相应地可以找到一个正整数 N,使得当 n>N时
,{zn}在这个邻域内 。
注解 3,利用两个实数序列的相应的结果,我们可以证明,两个收敛复数序列的和,差,积,
商仍收敛,并且其极限是相应极限的和,差积
,商 。
复数项级数：复数项级数就是
......21 nzzz
记为,或,? nz?
1n
nz
其中 是复数 。 定义其部分和序列为：nz
nn zzz,..21?如果序列 收敛,那么我们说级数 收敛；
}{ n nz
如果 的极限是,那么说}{ n
nz
的和是,或者说它收敛于,记作
1n
nz
如果序列 发散,那么我们说级数 发散 。
nz}{ n?
注解：
注解 1,对于一个复数序列,我们可以作一个复数项级数如下
}{ nz
.,,)(.,,)()( 123121nn zzzzzzz
则序列 {zn}的敛散性和此级数的敛散性相同 。
注解 2,级数 收敛于 的 定义可以叙述为：
||
1
n
k
kz
有时使得当,,0,0 NnN
N nz
注解：
注解 4,令注解 3,如果级数 收敛,那么? nz
,0)(limlim 1 nnnnn z
Im,Re,Im,Re,Re bazbzaza nnnnnn
我们有
n
k
k
n
k
kn bia
11
因此,级数收敛 （ 于 ） 的必要与充分条件是：级数收敛 （ 于 a） 以及级数收敛
（ 于 b） 。 n
b? na
nz
注解：
柯西收敛原理 （ 复数项级数 ）,级数注解 4,关于实数项级数的一些基本结果,可以不加改变地推广到复数项级数,例如下面的柯西收敛原理：
nz
收敛必要与充分条件是：任给,0
可 以 找 到 一 个 正 整 数 N,使 得 当 n>N,
p=1,2,3,… 时
|...| 21 pnnn zzz
柯西收敛准则：
柯西收敛原理 （ 复数序列 ）,序列 }{
nz
收敛必要与充分条件是：任给
|| mn zz
,0
可以找到一个正整数 N,使得当 m及 n>N，
绝对收敛：
对于复数项级数,我们也引入绝对收敛的概念：如果级数
nz
.,,||.,,|||| 21 nzzz
收敛,我们称级数 绝对收敛 。 nz
注解 1,级数 绝对收敛必要与充分条件是：? nz
级数 以及 绝对收敛；事实上,有? na? nb
,||||||||||
111
22
111
k
k
n
k
k
n
k
kk
n
k
nk
n
k
k
n
k
k babazba 及例：
注解 2,若级数 绝对收敛,则它一定收敛 。 nz
例,当 时,1||
.,,.,,1 2 n
绝对收敛；并且有
0lim,
1
1.,,1 112?
n
n
n
n?
我们有,当 时,
.
1
1.,,.,,1 2
n
1||
复数项级数和复数序列：
注解 3,如果复数项级数 及 绝对收敛'? nz? "nz
并且它们的和分别为,",'
那么级数 （ 它们的柯西积 ）
).,,( "1'" 1'2
1
"'
1 zzzzzz nn
n
n
也绝对收敛,并且它的和为 ".'
It’s The End！
Thank You！
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第 4.1节 级数和序列的基本性质 (1)
复数序列：复数序列就是：
,.,,,.,,,,222111 nnn ibazibazibaz
在这里,zn是复数,,Im,Re nnnn bzaz
一般简单记为 {zn}。 按照 {zn}是有界或无界序列
,我们也称 {zn}为有界或无界序列 。
设 z0是一个复常数 。 如果任给,0
|| 0zz n
那么我们说 zn收敛或有极限 z0,或者说 zn 是收敛序列,并且收敛于 z0,记作 0lim zz n
n
可以找到一个正数 N,使得当 n>N时复数序列：如果序列 {z
n}不收敛,则称 {zn}发散,或者说它是发散序列 。
令 ibaz0
其中 a和 b是实数 。 由不等式
|||||||||| 0 bbaazzbbaa nnnnn 及容易看出,0lim zz n
n
等价于下列两极限式：
,lim,lim bbaa n
nnn
因此,有下面的注解：
注解：
注解 1,序列收敛 {zn}（ 于 z0） 的必要与充分条件是：序列 {an}收敛 （ 于 a） 以及序列 {bn}收敛
（ 于 b） 。
注解 2,复数序列也可以解释为复平面上的点列
,于是点列 {zn}收敛于 z0,或者说有极限点 z0.
用几何语言可以叙述为：任给的 z0一个邻域
,相应地可以找到一个正整数 N,使得当 n>N时
,{zn}在这个邻域内 。
注解 3,利用两个实数序列的相应的结果,我们可以证明,两个收敛复数序列的和,差,积,
商仍收敛,并且其极限是相应极限的和,差积
,商 。
复数项级数：复数项级数就是
......21 nzzz
记为,或,? nz?
1n
nz
其中 是复数 。 定义其部分和序列为：nz
nn zzz,..21?如果序列 收敛,那么我们说级数 收敛；
}{ n nz
如果 的极限是,那么说}{ n
nz
的和是,或者说它收敛于,记作
1n
nz
如果序列 发散,那么我们说级数 发散 。
nz}{ n?
注解：
注解 1,对于一个复数序列,我们可以作一个复数项级数如下
}{ nz
.,,)(.,,)()( 123121nn zzzzzzz
则序列 {zn}的敛散性和此级数的敛散性相同 。
注解 2,级数 收敛于 的 定义可以叙述为：
||
1
n
k
kz
有时使得当,,0,0 NnN
N nz
注解：
注解 4,令注解 3,如果级数 收敛,那么? nz
,0)(limlim 1 nnnnn z
Im,Re,Im,Re,Re bazbzaza nnnnnn
我们有
n
k
k
n
k
kn bia
11
因此,级数收敛 （ 于 ） 的必要与充分条件是：级数收敛 （ 于 a） 以及级数收敛
（ 于 b） 。 n
b? na
nz
注解：
柯西收敛原理 （ 复数项级数 ）,级数注解 4,关于实数项级数的一些基本结果,可以不加改变地推广到复数项级数,例如下面的柯西收敛原理：
nz
收敛必要与充分条件是：任给,0
可 以 找 到 一 个 正 整 数 N,使 得 当 n>N,
p=1,2,3,… 时
|...| 21 pnnn zzz
柯西收敛准则：
柯西收敛原理 （ 复数序列 ）,序列 }{
nz
收敛必要与充分条件是：任给
|| mn zz
,0
可以找到一个正整数 N,使得当 m及 n>N，
绝对收敛：
对于复数项级数,我们也引入绝对收敛的概念：如果级数
nz
.,,||.,,|||| 21 nzzz
收敛,我们称级数 绝对收敛 。 nz
注解 1,级数 绝对收敛必要与充分条件是：? nz
级数 以及 绝对收敛；事实上,有? na? nb
,||||||||||
111
22
111
k
k
n
k
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k babazba 及例：
注解 2,若级数 绝对收敛,则它一定收敛 。 nz
例,当 时,1||
.,,.,,1 2 n
绝对收敛；并且有
0lim,
1
1.,,1 112?
n
n
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我们有,当 时,
.
1
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1||
复数项级数和复数序列：
注解 3,如果复数项级数 及 绝对收敛'? nz? "nz
并且它们的和分别为,",'
那么级数 （ 它们的柯西积 ）
).,,( "1'" 1'2
1
"'
1 zzzzzz nn
n
n
也绝对收敛,并且它的和为 ".'
It’s The End！
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