Department of Mathematics
第三节 初等多值函数
7,幂函数第二章 复变函数幂函数的定义,
利用对数函数,可以定义幂函数：设 a是任何复数,则定义 z的 a次幂函数为当 a为正实数，且 z=0时，还规定
)0(Ln zezw zaa
由于
.0?az
)a r g,01( ln2ln zeezw ikazaa
azwz,0
),(2 Zke ika
因此，对同一个 的不同数值的个数等于不同数值的因子 个数。
,2 时是正整数、当 n?
性，幂函数一般是、由于对数函数的多值 1
.0|| a r g)]2( a r g||ln[Ln zinnkziznznn ezeezw?
是一个单值函数；
,)(3 1 时是正整数、当 nn
)]2( a r g||ln[Ln 111?kzizz nnn eezw
值函数；是一个 n
).1,,2,1,0( || 2a rg1 nkez n kzn i
不同数值的个数等于数整个复平面上的多值函 (
。不同因子的个数 )2 ike
幂函数的基本性质：
,04 时是、当?;10L n z00 eez
）：的整数，
为互素与是有理数时，即、当
0
(5
q
qpqp
pkizkziz qqpqpqpqp eeez 2ln)]2( a r g||[ l nL n z 1
取，当为互素，所以不难看到与由于 kqp
个不同的值，即这时，得到，，,qq 1,210
值的函数；时幂函数是一个 q
幂函数的基本性质：
多值函数；
函数是无穷是无理数或复数时，幂、当?6
是无理数时，有事实上，当?
kizkziz eeez 2ln)]2( a r g||[ l nL n z
幂函数的基本性质：
时，有当 )0( bbia?
)]2( a r g||) [ l n()]2( a r g||[ l nL n z kzizbiakziz eeez
)]2( a r g||ln[)]2( a r g||) [ l n( kzazbikzzbae
例如
),2,1,0(2)]2( a r g1[ l nL n i 2 keeei kkiiiii
ikki eee 222ln2)]22( a r g2[ l n2L n 2222
),2,1,0,(k )2lns in2ln( c o s2 2 ie k?
)]22) [ l n1()]22( a r g2) [ l n1(L n 2)1(12 ikikiiii eee
)22( l n)22( l n22ln22ln kikkiik ee
),2,1,0( 2 222 ke ik?
上解析，、幂函数在 }0Re,0{ I m\7 zzC
幂函数的基本性质：
幂函数的基本性质,
设在区域 G内,我们可以把 Lnz分成无穷个解析分支 。 对于 Lnz的一个解析分支,相应地有一个单值连续分支 。 根据复合函数求导法则,的这个单值连续分支在 G内解析,并且其中 应当理解为对它求导数的那个分支，
lnz应当理解为对数函数相应的分支。
az
azw?
z
zae
z
a
z
w aza ln1
d
d
az
幂函数的基本性质,
对应于 Lnz在 G内任一解析分支：当 a是整数时,
在 G内有 n个解析分支； 当 a是无理数或虚数时,幂函数
az
)1( nnma 既约分数，
az
az
在 G内是同一解析函数；当时,
在 G内有无穷多个解析分支
,是一个无穷值多值函数 。
幂函数的基本性质,
例如当 n是大于 1的整数时,
称为根式函数,它是
nn zzw
1
nwz? 0?z
),a r g( ||
)2( a r g
1
2
1
)a r g||( l n
1
2
1
ln
1
Zkzez
eeeezw
kz
n
i
n
ik
n
ziz
n
ik
n
z
nn
的反函数 。 当时,有这是一个 n值函数 。
幂函数的基本性质,在复平面上以负实轴 （ 包括 0） 为割线而得的区域 D内,它有 n个不同的解析分支：
它们也可以记作
)1,.,,,1,0;a r g( || )2( a r g
1
nkzezw kznin
这些分支在负实轴的上沿与下沿所取的值,与相应的连续分支在该处所取的值一致 。
)1(
21?k
n
inn
ezw
支点,
当 a不是整数时,原点及无穷远点是为了理解这些结论,我们在 0或无穷远点的充分小的邻域内,任作一条简单闭曲线 C围绕 0
或无穷远点 。 在 C上任取一点,
azw?
1z
11ar gz
1z
)( l n iA r g zzaa ezw
111 ln)a r g( l n zaziza ee1z
的支点 。 但按照 a是有理数或者 a不是有理数,这两个支点具有完全不同的性质 。
确定 Argz在的一个值 ；相应地确定在 的一个值代数支点,
现在考虑下列两种情况：
(1) a是有理数也即第一次回到了它从
1z
)1(?nnm 既约分数，
1 n21?
n
m
zw? )||( l nln 111?iznmznm ee
11 ln)2( l n zn
mnz
n
m
ee
1z
n
m
zw?
,当一点 z从 出发按反时针或顺时针方向连续变动 n周时,argz从 连续变动到而 则从 相应地连续变动到出发时的值 。 这时,我们称原点和无穷远点是 的 n-1阶支点,
也称 n-1为阶代数支点 。
无穷阶支点,
（ 2） a不是有理数时,容易验证原点和无穷远点是 azw?
当 a不是整数时,由于原点和无穷远点是 azw?
1K 1D 1D
azw?
的无穷阶支点 。
的支点,所以任取连接这两个支点的一条简单连续曲线作为 割线,得一个区域 。 在内,可以把 分解成解析分支 。
幂函数的映射性质,关于幂函数当 a为正实数时的映射性质,有下面的结论：
设 是一个实数,并且在 z平面上取正实数轴 （ 包括原点 ） 作为割线,
得到一个区域 D*。 考虑 D*内的角形,
2,0 a
并取 在 D*内的一个解析分支
zA a r g0:
)11( aazw
azw?
幂函数的映射性质,
当 z描出 A内的一条射线时让 从 0增加到 （ 不包括 0及 ）,那么射线
l扫过角形 A,而相应的射线 扫过角形
0a rg,zl
01 a rg,?awl?
0
1l
awA ar g0:1
a
（ 不包括 0）,w在 w平面描出一条射线幂函数的映射性质,
因此 )11( aazw
1A
a
a
把夹角为 的角形双射成一个夹角为的角形,同时,这个函数把 A中以原点为心的圆弧映射成中 以原点为心的圆弧 。
类似地,我们有,当 n(>1)是正整数时,
)1,.,,,2,1,0( )1( 2
1
nkezw kninn?
幂函数的映射性质,
n zw?
n
kw
n
k )1(2a rg2
的 n个分支分别把区域 D*双射成 w平面的 n个角形例 1,作出一个含 i的区域,使得函数例 1：
,)2)(1( zzzw
)]}2A r g ()1A r g (A r g[2e x p {|)2)(1(| 2/1 zzzizzzw
在这个区域内可以分解成解析分支；求一个分支在点 i个的值 。
解：我们知道可能的支点为 0,1,2与无穷,具体分析见下图例 1：
结论,0,1,2与无穷都是 1阶支点 。
0 1 2 0 1 2
0 1 20 1 2
可以用正实数轴作为割线,在所得区域上,函数可以分解成单值解析分支 。 同时,我们注意到例 1：
),2[因此也可以用 [0,1]与 作割线 。
0 1 2
我们求函数下述的解析分支例 1：
在 z=i的值 。 在 z=1处,取
)6)1((,)2)(1( iwzzzw
,)2a r g ()1a r g (a r g zzz
在 w的两个解析分支为：
)1,0(|)2)(1(| )]2(a r g)1(a r g[ a r g22/1 kezzzw ikzzz
i?
如下图,
例 1：
,
2
1
a r c t a n)2a r g (
2
3
)1a r g (,
2
a r g
i
ii
所以
.1010)( 3
1a r c t a n
24)2
1a r c t a n
4(24
ii
eeiw
20 1
i
例 2,验证函数例 2：
,)1(4 3zzw
,|)1(|
)]-A r g ( 13A r g[
44/13
zzi
ezzw
在区域 D=C-[0,1]内可以分解成解析分支；求出这个分支函数在 (0,1)上沿取正实值的一个分支在 z=-1处的值及函数在 （ 0,1） 下沿的值 。
解：我们知道例 2：
0 1
，增加变，所以不，增加
2/a r g
)1a r g (2a r g
w
zz?
0 1
，增加变，所以不，增加
4/3a r g
a r g2)1a r g (
w
zz?
例 2：
结论,0,1是 3阶支点,无穷远点不是支点 。
回到同一个分支。增加
，所以也增加，增加
,24/)232(
a r g2)1a r g (2a r g
wzz
0 1
例 2：
因此,在区域 D=C-[0,1]内函数可以分解成解析分支；若在 （ 0,1） 的上沿规定
,0)1a r g (a r g zz
在 w的四个解析分支为：
则对应的解析分支为 k=0。 在 z=-1处,有,
),3,2,1,0(,|)1(| 2)]-(1a r g3[ a r g44/13 kezzw i
kzzi?
,02a r g)1a r g (,a r g zz?
例 2：所以
),1(28)1( 444 iew i
，变为所以
，减少不变，沿时，
的上沿变到下从沿曲线
2/3a r g
2)1a r g (a r g
)1,0(1
w
zz
Cz
0 1
2C 1C
，为同一个分支，变为不变，所以增加的上沿变到下沿时，从沿曲线
2/a r g)1a r g (
2a r g)1,0(2
wz
zCz
.)1(4 3xxiw对应分支在 (0,1)下沿的取值为
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7,幂函数第二章 复变函数幂函数的定义,
利用对数函数,可以定义幂函数：设 a是任何复数,则定义 z的 a次幂函数为当 a为正实数，且 z=0时，还规定
)0(Ln zezw zaa
由于
.0?az
)a r g,01( ln2ln zeezw ikazaa
azwz,0
),(2 Zke ika
因此，对同一个 的不同数值的个数等于不同数值的因子 个数。
,2 时是正整数、当 n?
性，幂函数一般是、由于对数函数的多值 1
.0|| a r g)]2( a r g||ln[Ln zinnkziznznn ezeezw?
是一个单值函数；
,)(3 1 时是正整数、当 nn
)]2( a r g||ln[Ln 111?kzizz nnn eezw
值函数；是一个 n
).1,,2,1,0( || 2a rg1 nkez n kzn i
不同数值的个数等于数整个复平面上的多值函 (
。不同因子的个数 )2 ike
幂函数的基本性质：
,04 时是、当?;10L n z00 eez
）：的整数，
为互素与是有理数时，即、当
0
(5
q
qpqp
pkizkziz qqpqpqpqp eeez 2ln)]2( a r g||[ l nL n z 1
取，当为互素，所以不难看到与由于 kqp
个不同的值，即这时，得到，，,qq 1,210
值的函数；时幂函数是一个 q
幂函数的基本性质：
多值函数；
函数是无穷是无理数或复数时，幂、当?6
是无理数时，有事实上，当?
kizkziz eeez 2ln)]2( a r g||[ l nL n z
幂函数的基本性质：
时，有当 )0( bbia?
)]2( a r g||) [ l n()]2( a r g||[ l nL n z kzizbiakziz eeez
)]2( a r g||ln[)]2( a r g||) [ l n( kzazbikzzbae
例如
),2,1,0(2)]2( a r g1[ l nL n i 2 keeei kkiiiii
ikki eee 222ln2)]22( a r g2[ l n2L n 2222
),2,1,0,(k )2lns in2ln( c o s2 2 ie k?
)]22) [ l n1()]22( a r g2) [ l n1(L n 2)1(12 ikikiiii eee
)22( l n)22( l n22ln22ln kikkiik ee
),2,1,0( 2 222 ke ik?
上解析，、幂函数在 }0Re,0{ I m\7 zzC
幂函数的基本性质：
幂函数的基本性质,
设在区域 G内,我们可以把 Lnz分成无穷个解析分支 。 对于 Lnz的一个解析分支,相应地有一个单值连续分支 。 根据复合函数求导法则,的这个单值连续分支在 G内解析,并且其中 应当理解为对它求导数的那个分支，
lnz应当理解为对数函数相应的分支。
az
azw?
z
zae
z
a
z
w aza ln1
d
d
az
幂函数的基本性质,
对应于 Lnz在 G内任一解析分支：当 a是整数时,
在 G内有 n个解析分支； 当 a是无理数或虚数时,幂函数
az
)1( nnma 既约分数，
az
az
在 G内是同一解析函数；当时,
在 G内有无穷多个解析分支
,是一个无穷值多值函数 。
幂函数的基本性质,
例如当 n是大于 1的整数时,
称为根式函数,它是
nn zzw
1
nwz? 0?z
),a r g( ||
)2( a r g
1
2
1
)a r g||( l n
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1
Zkzez
eeeezw
kz
n
i
n
ik
n
ziz
n
ik
n
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nn
的反函数 。 当时,有这是一个 n值函数 。
幂函数的基本性质,在复平面上以负实轴 （ 包括 0） 为割线而得的区域 D内,它有 n个不同的解析分支：
它们也可以记作
)1,.,,,1,0;a r g( || )2( a r g
1
nkzezw kznin
这些分支在负实轴的上沿与下沿所取的值,与相应的连续分支在该处所取的值一致 。
)1(
21?k
n
inn
ezw
支点,
当 a不是整数时,原点及无穷远点是为了理解这些结论,我们在 0或无穷远点的充分小的邻域内,任作一条简单闭曲线 C围绕 0
或无穷远点 。 在 C上任取一点,
azw?
1z
11ar gz
1z
)( l n iA r g zzaa ezw
111 ln)a r g( l n zaziza ee1z
的支点 。 但按照 a是有理数或者 a不是有理数,这两个支点具有完全不同的性质 。
确定 Argz在的一个值 ；相应地确定在 的一个值代数支点,
现在考虑下列两种情况：
(1) a是有理数也即第一次回到了它从
1z
)1(?nnm 既约分数，
1 n21?
n
m
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11 ln)2( l n zn
mnz
n
m
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1z
n
m
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,当一点 z从 出发按反时针或顺时针方向连续变动 n周时,argz从 连续变动到而 则从 相应地连续变动到出发时的值 。 这时,我们称原点和无穷远点是 的 n-1阶支点,
也称 n-1为阶代数支点 。
无穷阶支点,
（ 2） a不是有理数时,容易验证原点和无穷远点是 azw?
当 a不是整数时,由于原点和无穷远点是 azw?
1K 1D 1D
azw?
的无穷阶支点 。
的支点,所以任取连接这两个支点的一条简单连续曲线作为 割线,得一个区域 。 在内,可以把 分解成解析分支 。
幂函数的映射性质,关于幂函数当 a为正实数时的映射性质,有下面的结论：
设 是一个实数,并且在 z平面上取正实数轴 （ 包括原点 ） 作为割线,
得到一个区域 D*。 考虑 D*内的角形,
2,0 a
并取 在 D*内的一个解析分支
zA a r g0:
)11( aazw
azw?
幂函数的映射性质,
当 z描出 A内的一条射线时让 从 0增加到 （ 不包括 0及 ）,那么射线
l扫过角形 A,而相应的射线 扫过角形
0a rg,zl
01 a rg,?awl?
0
1l
awA ar g0:1
a
（ 不包括 0）,w在 w平面描出一条射线幂函数的映射性质,
因此 )11( aazw
1A
a
a
把夹角为 的角形双射成一个夹角为的角形,同时,这个函数把 A中以原点为心的圆弧映射成中 以原点为心的圆弧 。
类似地,我们有,当 n(>1)是正整数时,
)1,.,,,2,1,0( )1( 2
1
nkezw kninn?
幂函数的映射性质,
n zw?
n
kw
n
k )1(2a rg2
的 n个分支分别把区域 D*双射成 w平面的 n个角形例 1,作出一个含 i的区域,使得函数例 1：
,)2)(1( zzzw
)]}2A r g ()1A r g (A r g[2e x p {|)2)(1(| 2/1 zzzizzzw
在这个区域内可以分解成解析分支；求一个分支在点 i个的值 。
解：我们知道可能的支点为 0,1,2与无穷,具体分析见下图例 1：
结论,0,1,2与无穷都是 1阶支点 。
0 1 2 0 1 2
0 1 20 1 2
可以用正实数轴作为割线,在所得区域上,函数可以分解成单值解析分支 。 同时,我们注意到例 1：
),2[因此也可以用 [0,1]与 作割线 。
0 1 2
我们求函数下述的解析分支例 1：
在 z=i的值 。 在 z=1处,取
)6)1((,)2)(1( iwzzzw
,)2a r g ()1a r g (a r g zzz
在 w的两个解析分支为：
)1,0(|)2)(1(| )]2(a r g)1(a r g[ a r g22/1 kezzzw ikzzz
i?
如下图,
例 1：
,
2
1
a r c t a n)2a r g (
2
3
)1a r g (,
2
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ii
所以
.1010)( 3
1a r c t a n
24)2
1a r c t a n
4(24
ii
eeiw
20 1
i
例 2,验证函数例 2：
,)1(4 3zzw
,|)1(|
)]-A r g ( 13A r g[
44/13
zzi
ezzw
在区域 D=C-[0,1]内可以分解成解析分支；求出这个分支函数在 (0,1)上沿取正实值的一个分支在 z=-1处的值及函数在 （ 0,1） 下沿的值 。
解：我们知道例 2：
0 1
，增加变，所以不，增加
2/a r g
)1a r g (2a r g
w
zz?
0 1
，增加变，所以不，增加
4/3a r g
a r g2)1a r g (
w
zz?
例 2：
结论,0,1是 3阶支点,无穷远点不是支点 。
回到同一个分支。增加
，所以也增加，增加
,24/)232(
a r g2)1a r g (2a r g
wzz
0 1
例 2：
因此,在区域 D=C-[0,1]内函数可以分解成解析分支；若在 （ 0,1） 的上沿规定
,0)1a r g (a r g zz
在 w的四个解析分支为：
则对应的解析分支为 k=0。 在 z=-1处,有,
),3,2,1,0(,|)1(| 2)]-(1a r g3[ a r g44/13 kezzw i
kzzi?
,02a r g)1a r g (,a r g zz?
例 2：所以
),1(28)1( 444 iew i
，变为所以
，减少不变，沿时，
的上沿变到下从沿曲线
2/3a r g
2)1a r g (a r g
)1,0(1
w
zz
Cz
0 1
2C 1C
，为同一个分支，变为不变，所以增加的上沿变到下沿时，从沿曲线
2/a r g)1a r g (
2a r g)1,0(2
wz
zCz
.)1(4 3xxiw对应分支在 (0,1)下沿的取值为
It’s The End！
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