Department of Mathematics
第二章 解析函数第二节 初等解析函数 (2)
5,对数函数
6,三角函数对数函数的定义：
。称为对数函数，记为
，的函数满足方程
zw
zfwzze w
Ln
)()0(
和实变量一样，复变量的对数函数也定义为指数函数的反函数：
注解、由于对数函数是指数函数的反函数，而指数函数是周期为 2 的周期函数
，所以对数函数必然是多值函数，事实上，有,
i?
，则由定义知道，，如果令 ivuwrez i
iivu ree
所以有：
),2,1,0( 2,ln kkvru
,A r g2
zkv
zv
u
角，所以的幅是是多值的；因为多值性知道，
函数的是单值的，而由于幅角容易看到，
0 i A r g|z|lnL n z zz,w
对数函数的主值：
,a r g||lnln zizzw
相应与幅角函数的主值，我们定义对数函数 Lnz的主值 lnz为：
则这时，有
,2ln2a r g||lnLn ikzikzizzw
三种对数函数的联系与区别：
函数 单值与多值
xln
zLn
zln
单值多值单值定义域所有正实数所有非零复数所有非零复数注解一个单值时，0 xz
xln为
zln分支为对数函数的基本性质;
Ln1
去原点上的多值函数是定义在整个复平面减、对数函数 zw?
（运算性质）：、对数函数的代数性质2
LnLn)L n ( 2121 zzzz
等式将不再成立：集合相等，并且下面的的等式应该理解为和幅角的加法一样上面
LnLn)/L n ( 2121 zzzz
,Ln2L n z 2 z? LnLn 1n zn?
ikzizz
ikzizz
nn?
2a r g||lnLn
,2a r g2||ln2Ln
11n
2
而应是：
：、对数函数的解析性质 3
在除去原点和负对数函数的主值分支 zln
zz z 1dd ln?
。事实上,)a r g(a r g||lnln zzizz
均没有定义；与时，当 zzz a rg||ln0?
,a r gli m,a r gli m0
00
zzxz
yy
时，当连续，在原点和负实数轴上不所以,zw ln?
并且有实轴的复平面上解析，
从而不可导。
内在区域指数函数 }a r g{ zvez w
是单值的，所以的反函数 zw ln?
zez w
w
wez
111dd
dd
ln
：、对数函数的几何性态4
平面把支对数函数的单值解析分 zzw ln
00 lnIm}{ a r g ywyz 映射为直线把射线
2Im0,lnRe}|{| wrwrz 映射称线段把圆平面的带域映照的 wzzC }0Im,0{ R e\
2Im0,Re ww
u
v
w-平面
xz-平面
y
i?2zw ln?
iy0ln
rln
B
'Br
对数函数的单值化：
相应与幅角函数的单值化，我们也可以将对数函数单值化,
考虑复平面除去负实轴（包括 0）而得的区域 D
。显然，在 D内,对数函数可以分解为无穷多个单值连续分支。
,2ln2a r g||lnLn ikzikzizzw
沿负实轴的割线的取值情况：
上沿下沿
izw
izw
下沿上沿
|ln
|ln
一般区域：
穷个单值连续分支也可以分解成无zLn
则若规定,ar g 11z
,2||lnLn 11 ikizz
),||lnl n ( l nw 111?izz
我们记对数函数的单值化：
由于对数函数的每个单值连续分支都是解析的，所以我们也将它的连续分支称为解析分支。
我们也称对数函数是一个无穷多值解析函数。
我们称原点和无穷远点是对数函数的无穷阶支点
（对数支点）；特点：
1、当 z绕它们连续变化一周时,Lnz连续变化到其它值；
2、不论如何沿同一方向变化，永远不会回到同一个值。
例 1 的值。计算 )1(Ln?
，所以有，解：因为 )1a r g (1|1|
)2k(1lnL n ( - 1 ) i
。),2,1,0(
)12(
k
ik?
例 2 的值。计算 )32(Ln i?
，所以有，解：因为 23a r c ta n)32a r g (13|32| ii
)2k( a r c ta n13ln3 i)-L n ( 2 23 i
。),2,1,0(
)2( a r c t a n13ln 2321
k
ki?
例 3 。的值和计算 )01( l n)32l n (ln ii
知：解：由对数函数的定义
i;a rg||lnl n i 2 iii
)32a r g (|32|ln)32l n ( iiii
)a rc t a na rg (13ln 2321i
三角函数 的概念,
由于 Euler公式,对任何实数 x,我们有：
所以有
xixexixe ixix s i nc o s,s i nc o s
因此,对任何复数 z,定义余弦函数和正弦函数如下：
,
2
s in,
2
c o s
i
ee
x
ee
x
ixixixix
,
2
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2
c o s
i
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三角函数 的基本性质,
则对任何复数 z,Euler公式也成立：
关于复三角函数,有下面的基本性质：
1,cosz和 sinz是单值函数；
2,cosz是偶函数,sinz是奇函数,
,s i nc o s zize iz
,c o s
22
)c o s (
)()(
zeeeez
izizzizi
,s in
22
)s in (
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z
i
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i
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三角函数 的基本性质,
3,cosz和 sinz是以为周期的周期函数,
,c o s
2
)2c o s (
)2()2(
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zizi
,s in
2
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)2()2(
z
i
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212121 s i nco sco ss i n)s i n (4 zzzzzz、
212121 s i ns i nco sco s)co s ( zzzzzz
证明：
)(
4
1
22
s i nc o s
)()()()(
21
21212121
2211
zzizzizzizzi
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eeee
i
i
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s i nc o s
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12
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2
1
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)()(
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2121 zzee
i
zzzz
zzizzi
所以，
三角函数 的基本性质,
注解：由于负数可以开平方,所以由此不能得到例如 z=2i时，有;1c o ss i n5 22 zz、
1
2
2
4
2
)
2
()
2
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2222
2222
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,
2
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2
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2222
i
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三角函数 的基本性质,6,cosz和 sinz在整个复平面解析,并且有：
证明：
.c o s)'( s i n,s i n)'( c o s zzzz
,s in222c o s zieeieieeedzdzdzd
iziziziziziz
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i
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i
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d iziziziziziz c o s
222
s in
三角函数 的基本性质,7,cosz和 sinz在复平面的零点,cosz在复平面的零点是,
sinz在复平面的零点是
8,同理可以定义其他三角函数：
)(2 Zkkz
)( Zkkz
,
s in
1
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1
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,
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z
z
z
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z
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z
z
三角函数 的基本性质,9,反正切函数：由函数 所定义的函数
w称为 z的反正切函数,记作由于令,得到
wz t a n?
zw A rc t a n?
iwiw
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ee
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z?
1
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三角函数 的基本性质,从而所以反正切函数是多值解析函数,它的支点是无穷远点不是它的支点 。
iz
iz
])(Ln)([ L n
2
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2
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A r c ta n
iiziz
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iz
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zw
iz
It’s The End！
Thank You！
Complex Function Theory Department of Mathematics
第二章 解析函数第二节 初等解析函数 (2)
5,对数函数
6,三角函数对数函数的定义：
。称为对数函数，记为
，的函数满足方程
zw
zfwzze w
Ln
)()0(
和实变量一样，复变量的对数函数也定义为指数函数的反函数：
注解、由于对数函数是指数函数的反函数，而指数函数是周期为 2 的周期函数
，所以对数函数必然是多值函数，事实上，有,
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对数函数的主值：
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相应与幅角函数的主值，我们定义对数函数 Lnz的主值 lnz为：
则这时，有
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三种对数函数的联系与区别：
函数 单值与多值
xln
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单值多值单值定义域所有正实数所有非零复数所有非零复数注解一个单值时，0 xz
xln为
zln分支为对数函数的基本性质;
Ln1
去原点上的多值函数是定义在整个复平面减、对数函数 zw?
（运算性质）：、对数函数的代数性质2
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等式将不再成立：集合相等，并且下面的的等式应该理解为和幅角的加法一样上面
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而应是：
：、对数函数的解析性质 3
在除去原点和负对数函数的主值分支 zln
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均没有定义；与时，当 zzz a rg||ln0?
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并且有实轴的复平面上解析，
从而不可导。
内在区域指数函数 }a r g{ zvez w
是单值的，所以的反函数 zw ln?
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：、对数函数的几何性态4
平面把支对数函数的单值解析分 zzw ln
00 lnIm}{ a r g ywyz 映射为直线把射线
2Im0,lnRe}|{| wrwrz 映射称线段把圆平面的带域映照的 wzzC }0Im,0{ R e\
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w-平面
xz-平面
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对数函数的单值化：
相应与幅角函数的单值化，我们也可以将对数函数单值化,
考虑复平面除去负实轴（包括 0）而得的区域 D
。显然，在 D内,对数函数可以分解为无穷多个单值连续分支。
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沿负实轴的割线的取值情况：
上沿下沿
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一般区域：
穷个单值连续分支也可以分解成无zLn
则若规定,ar g 11z
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我们记对数函数的单值化：
由于对数函数的每个单值连续分支都是解析的，所以我们也将它的连续分支称为解析分支。
我们也称对数函数是一个无穷多值解析函数。
我们称原点和无穷远点是对数函数的无穷阶支点
（对数支点）；特点：
1、当 z绕它们连续变化一周时,Lnz连续变化到其它值；
2、不论如何沿同一方向变化，永远不会回到同一个值。
例 1 的值。计算 )1(Ln?
，所以有，解：因为 )1a r g (1|1|
)2k(1lnL n ( - 1 ) i
。),2,1,0(
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例 2 的值。计算 )32(Ln i?
，所以有，解：因为 23a r c ta n)32a r g (13|32| ii
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例 3 。的值和计算 )01( l n)32l n (ln ii
知：解：由对数函数的定义
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三角函数 的概念,
由于 Euler公式,对任何实数 x,我们有：
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因此,对任何复数 z,定义余弦函数和正弦函数如下：
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三角函数 的基本性质,
则对任何复数 z,Euler公式也成立：
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1,cosz和 sinz是单值函数；
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三角函数 的基本性质,6,cosz和 sinz在整个复平面解析,并且有：
证明：
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三角函数 的基本性质,7,cosz和 sinz在复平面的零点,cosz在复平面的零点是,
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8,同理可以定义其他三角函数：
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三角函数 的基本性质,9,反正切函数：由函数 所定义的函数
w称为 z的反正切函数,记作由于令,得到
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三角函数 的基本性质,从而所以反正切函数是多值解析函数,它的支点是无穷远点不是它的支点 。
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Thank You！
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