Department of Mathematics
第一章 复数与复变函数第三节 复变函数基本概念设在复平面 C上以给点集 E。 如果有一个法则 f,使得,
同它对应,则称 f为在 E上定义了一个复变数函数
,简称为复变函数,记为 w=f(z)。
注 1,同样可以定义函数的定义域与值域；
注 2,我们也称这样的函数为单复变函数,即对 E
中的每个 z,唯一存在一个复数 w和它对应；
,Eiyxz C ivuw
注 3,复变函数等价于两个实变量的实值函数：
若记 z=x+iy，
w=Ref(z)+iImf(z)=u(x,y)+iv(x,y)，
则 f(z)等价于两个二元实变函数 u(x,y)和 v(x,y) 。
注 4,一些标准的记法也可以推广到复变函数的情形 。
函数的几何意义,
函数 f也称为从 E到 C上的一个 映射 或 映照 。
把集合 E表示在一个复平面上,称为 z-平面；
把相应的函数值表示在另一个复平面上,称为 w-
平面 。
从集合论的观点,令记作 A=f(E),我们称映射 w=f(z)把任意的映射成为
},|)({ EzzfA
Ez?0
.)( 00 Azfw
函数的几何意义,
把集 E映射成集 A。
称 及 A分别为 和 E的象,而称 和 E分别为及 A的原象 。
0w 0z 0w0z
若 w=f(z)把 E中不同的点映射成 A中不同的点,则称它是一个从 E到 A的双射 。
例 1：
考虑映射 w=z+a。 令
z=x+iy,w=u+iv,a=a+ib,
其中 x,y,u,v,a和 b都是实数。我们显然有：
u=x+a,y=y+b,
显然,w=z+a是从 z平面到 w平面的一个双射。如果把 z以及它的象作在同一个复平面上，则这个映射是 z平面的一个平移。
例 2：考虑映射 其中
.0, zw
解：令
),s i n( c o s ir
其中 是它的幅角，的模，是r
显然,这个映射可以看作是下列函数或映射的复合函数或复合映射：
,,)s i n( c o s rwzi
这表示一个旋转和一个以原点为中心的相似映射 。
例 3：考虑映射
.
1
z
w?
解：这一映射可以看作是下列两个映射的复合映射：
,,
1
11 zwzz
把 都作在同一个复平面上 。 显然,映射,,,
1 wzz
是关于实轴的对称映射,而映射
,1zw?
,
1
1 zz?
例 3：把 z映射成,其幅角与 z的幅角相同,
1z
,1 Ar g zzAr gAr g z模为
,
||
1
||
11
|| 1
zzz
z
满足
,1|||| 1?zz
我们把中心在原点,半径为 1的圆称为单位圆 。
于是,映射
.
1
z
w?
例 3：称为关于单位圆的对称映射,对应的点称为关于单位圆的互相对称点 。
w=1/z把原点以外的任何点映射为另外一个点 。 把 z及 w表示在不同的扩充复平面,并规定
,0,,0 wz?
则我们得到一个扩充 z平面到扩充 w平面的一个双射 。
y
o
x
z
1z
1zw?
例 4：考虑映射
.2zw?
解：由于
,2)( 2222 i x yyxiyxzw
因此,这个映射等价于下面的两个实变映射：
.2,22 xyvyxu
规定：除特别说明外,集 E表示简单曲线,区域或闭区域 。
复变函数极限的定义内有定义。
的空心邻域在设函数 ||0)( 00 zzzzfw
00)(,，使得如果存在一个复数 AA
，
，都有的一切对满足
|)(|
)0(||0 0
Azf
zzz
时的极限。趋于当为函数则称 0)( zzzfA
)()()(lim 0
0
zzAzfAzfzz 当或记作复变函数极限与实值函数极限
0
,
0
,
00000
),(l im),(l im
)(l im,,
),,(),()(
0000
0
vyxvuyxu
AzfiyxzivuA
yxivyxuzf
yyxxyyxx
zz
的充要条件是则设函数结论的证明
，根据定义，当如果必要性 Azfzz )(lim:
0
时，则有
20200 )()(||0 yyxxzz
2
0
2
0
00
)()(
|)()(||)(|
vvuu
ivuivuAzf
时，有所以，当 2020 )()(0 yyxx
|v-v| || 00uu
0,0 ),(lim,),(lim
0000
vyxvuyxu
yyxxyyxx
。即 Azfzz )(li m
0
有时于是当,||0 0 zz
||||
)()(
|)()(||)(|
00
2
0
2
0
00
vvuu
vvuu
vviuuAzf
时，有即当 2020 )()(0 yyxx
2/|v-v| 2/|| 00 uu
0,0 ),(lim,),(lim:
0000
vyxvuyxu yyxxyyxx如果充分性注解：
1、几何意义：
2、与重极限的关系：
3、四则运算：保持加、减乘除（分母不等于零）
复变函数连续性的定义内连续。在一点连续，则称中每在区域如果处连续。在则称成立如果
Dzf
Dzfzzf
zfzf
zz
)(
)( )(
,)()(lim
0
0
0
复变函数连续性与实值函数连续性的关系
.
),(),(),(
),(),()(
00
000
续处连在与变函数处连续的充要条件是实在函数
yxyxvyxu
iyxz
yxivyxuzf
注 1、初等函数在其有定义的地方连续。
注 2、连续函数在有界闭域上的性质也成立 。
注解：
1、四则运算：保持加、减乘除（分母不等于零）；
2、复合运算；
3、关于实变连续的函数的基本性质也可以推广过来：如一致连续性、闭区域上连续函数的基本性质（一致连续性、有界性、
取到极大模和极小模等）。
4、同样我们也可以定义非正常极限。
例 5 处有无极限。在问函数 0)( zzzzf
.}0{\)(,构成的区域的定义域是函数解?zCzf
)s i n( c o s
0
irz
z
时，采用极坐标，即令当
)2s i n ()2c o s () f(
iz
则极限不存在。
以不同时，极限不同，所容易看到,?
例 6
上不连续。域上连续，在负实数轴实数轴的区个复平面除去原点和负在整求证,)0(a r g)( zzzf
zz
x
z
xz
z
xz
a r glim,a r glim
,
0Im0Im
1
01
有在负实数轴上时解：当在负实数轴上不连续；故 zar g
,}0Im,0{ R e\0 时当 zzCz
0z
y
xO
与负实数轴不相交。
使得角状域
00
a r ga r g
,0
zz
中，
包含在邻域的，则取
}a r ga r ga r g|{
||
)s in (||
00
0
00
zzzz
zz
zz
连续。在，即所以 00 )(}|a r ga r g| zzfzz
It’s The End！
Thank You！
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第一章 复数与复变函数第三节 复变函数基本概念设在复平面 C上以给点集 E。 如果有一个法则 f,使得,
同它对应,则称 f为在 E上定义了一个复变数函数
,简称为复变函数,记为 w=f(z)。
注 1,同样可以定义函数的定义域与值域；
注 2,我们也称这样的函数为单复变函数,即对 E
中的每个 z,唯一存在一个复数 w和它对应；
,Eiyxz C ivuw
注 3,复变函数等价于两个实变量的实值函数：
若记 z=x+iy，
w=Ref(z)+iImf(z)=u(x,y)+iv(x,y)，
则 f(z)等价于两个二元实变函数 u(x,y)和 v(x,y) 。
注 4,一些标准的记法也可以推广到复变函数的情形 。
函数的几何意义,
函数 f也称为从 E到 C上的一个 映射 或 映照 。
把集合 E表示在一个复平面上,称为 z-平面；
把相应的函数值表示在另一个复平面上,称为 w-
平面 。
从集合论的观点,令记作 A=f(E),我们称映射 w=f(z)把任意的映射成为
},|)({ EzzfA
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函数的几何意义,
把集 E映射成集 A。
称 及 A分别为 和 E的象,而称 和 E分别为及 A的原象 。
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若 w=f(z)把 E中不同的点映射成 A中不同的点,则称它是一个从 E到 A的双射 。
例 1：
考虑映射 w=z+a。 令
z=x+iy,w=u+iv,a=a+ib,
其中 x,y,u,v,a和 b都是实数。我们显然有：
u=x+a,y=y+b,
显然,w=z+a是从 z平面到 w平面的一个双射。如果把 z以及它的象作在同一个复平面上，则这个映射是 z平面的一个平移。
例 2：考虑映射 其中
.0, zw
解：令
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显然,这个映射可以看作是下列函数或映射的复合函数或复合映射：
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这表示一个旋转和一个以原点为中心的相似映射 。
例 3：考虑映射
.
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解：这一映射可以看作是下列两个映射的复合映射：
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把 都作在同一个复平面上 。 显然,映射,,,
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是关于实轴的对称映射,而映射
,1zw?
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例 3：把 z映射成,其幅角与 z的幅角相同,
1z
,1 Ar g zzAr gAr g z模为
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满足
,1|||| 1?zz
我们把中心在原点,半径为 1的圆称为单位圆 。
于是,映射
.
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例 3：称为关于单位圆的对称映射,对应的点称为关于单位圆的互相对称点 。
w=1/z把原点以外的任何点映射为另外一个点 。 把 z及 w表示在不同的扩充复平面,并规定
,0,,0 wz?
则我们得到一个扩充 z平面到扩充 w平面的一个双射 。
y
o
x
z
1z
1zw?
例 4：考虑映射
.2zw?
解：由于
,2)( 2222 i x yyxiyxzw
因此,这个映射等价于下面的两个实变映射：
.2,22 xyvyxu
规定：除特别说明外,集 E表示简单曲线,区域或闭区域 。
复变函数极限的定义内有定义。
的空心邻域在设函数 ||0)( 00 zzzzfw
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，
，都有的一切对满足
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1、几何意义：
2、与重极限的关系：
3、四则运算：保持加、减乘除（分母不等于零）
复变函数连续性的定义内连续。在一点连续，则称中每在区域如果处连续。在则称成立如果
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续处连在与变函数处连续的充要条件是实在函数
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注 1、初等函数在其有定义的地方连续。
注 2、连续函数在有界闭域上的性质也成立 。
注解：
1、四则运算：保持加、减乘除（分母不等于零）；
2、复合运算；
3、关于实变连续的函数的基本性质也可以推广过来：如一致连续性、闭区域上连续函数的基本性质（一致连续性、有界性、
取到极大模和极小模等）。
4、同样我们也可以定义非正常极限。
例 5 处有无极限。在问函数 0)( zzzzf
.}0{\)(,构成的区域的定义域是函数解?zCzf
)s i n( c o s
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z
时，采用极坐标，即令当
)2s i n ()2c o s () f(
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则极限不存在。
以不同时，极限不同，所容易看到,?
例 6
上不连续。域上连续，在负实数轴实数轴的区个复平面除去原点和负在整求证,)0(a r g)( zzzf
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有在负实数轴上时解：当在负实数轴上不连续；故 zar g
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