Department of Mathematics
第二章 复变函数第一节、解析函数
1,导数、解析函数
2,柯西 -黎曼条件导数于是邻域内任意一点，对的单值函数，
的某邻域内有定义在点设函数
zz
zzfw
0
0)(
，存在（为有限的复数）
，如果极限
A
z
zfzzf
z
w
zfzzfw
zz?
)()(
limlim
)()(
00
00
00
,)('
)()(
0
0
0
即，或的导数，记为称为函数处可导，在则称函数
zzdz
dw
zf
zfAzzf
，
z
zfzzfzf
z?
)()(l im)(' 00
00
0)z( |)(|)('
:
0 zozzfw
或
)(
)(')(')(
0
0
000
处可微。在处的微分，也称函数在函数为或也称
z
zzf
dzzfzzfzdf
导数的分析定义：
时，有，并且当使得当
，可以找到一个整数对任意的
||0
),(0
0zzDz
,|
)()(
|
0
0
A
zz
zfzf
解析函数的概念与求导法则
)(
)( 00
在处解析；称的邻域内处处可导，则及在如果
zf
zzzf
内解析函数；内解析，我们也说是在内处处解析，则称在区域如果
DD
zfDzf )()(
.
)(,
)(
解析内在闭区域那么称上每一点都属于内处处解析，而闭区域在区域如果
DzfG
DGzf
注解 1、“可微”有时也可以称为“单演”
，而“解析”有时也称为“单值解析”、“
全纯”、“正则”等；
注解 2、一个函数在一个点可导，显然它在这个点连续；
注解 2、解析性与可导性的关系：在一个点的可导性为一个局部概念，而解析性是一个整体概念；
注解：
注解 3、函数在一个点解析，是指在这个点的某个邻域内可导，因此在这个点可导，反之，
在一个点的可导不能得到在这个点解析；
注解 4、闭区域上的解析函数是指在包含这个区域的一个更大的区域上解析；
注解 5、解析性区域；
注解：
四则运算法则则上解析在区域和如果,)()( Dzgzf
上解析，并且有域在区、、
D
zgzgzfzgzfzgzf )0)(()()()()()()(
)(')()()(') ]'()([
)(')(') )'()((
zgzfzgzfzgzf
zgzfzgzf
2)]([ )(')()()(')( )( ' zg zgzfzgzfzg zf
复合函数求导法则
，内解析，又在区域内解析，函数在区域设函数
GDfGgw
Dzf
)()(
)(
)('))((') ) ] '(([)(' zfzfgzfgzh
并且有：
在内解析，则复合函数 )())(( zhzfgw
反函数求导法则
，又反函数且内解析，在区域设函数
0)('
)(
zf
Dzf?
))(('
1
)('
1)('
)( wfzf
z
wz?
则有：
存在且为连续，)()(1 wwfz
利用这些法则，我们可以计算常数、多项式以及有理函数的导数，其结果和数学分析的结论基本相同。
注解：
Cauchy-Riemann条件：
条件是可导的充要在点内确定，那么在区域设函数定理
Diyxzzf
Dyxivyxuzf
)(
),(),()( 1.3
处可微，
在点和虚部、实部 ),(),(),(1 yxyxvyxu
方程）：程（简称黎曼方满足柯西和、
RC
yxvyxu
-),(),(2
x
v
y
u
y
v
x
u
定理 3.1的证明（必要性）：
导数的定义，可得：
，则由处可导，把记为在设 ibazfiyxzzf )(')(
|)(|))((
|)(|)()()(
zoyixiba
zozibazfzzf
实部和虚部整理得：
。按，其中 yixzviuzfzzf )()(；|)(|),(),( zoybxayxuyyxxu；|)(|),(),( zoybxayxuyyxxu
x
v
y
u
y
v
x
u
程成立：
方处可微，并有在及因此,RCyxyxvyxu?),(),(),(
程成立，则有方处可微，并有在及设 RCyxyxvyxu?),(),(),(；|)(|),(),( '' zoyyxuxyxuu yx；|)(|),(),( '' zoyyxvxyxvv yx
:方程可得由 RC?；|)(|))](,(),([ '' zoyixyxivyxuviuw xx
所以
ibayxivyxu xxzwz ),(),(lim ''0
处可导。在即 iyxzzf)(
定理 3.1的证明（充分性）：
解充要条件是内区域函数定理 Dyxivyxuzf ),(),()( 2.3
处处可微，
内在区域和虚部、实部 Dyxvyxu ),(),(1
方程）：程（简称黎曼方满足柯西和、
RC
yxvyxu
-),(),(2
x
v
y
u
y
v
x
u
复变函数的解析条件注解,
和数学分析中的结论不同，此定理表明解析函数 (可导函数 )的实部和虚部不是完全独立的，它们是柯西 -黎曼方程的一组解；
柯西 -黎曼条件是复变函数解析的必要条件而非充分条件（见反例）；
解析函数的导数有更简洁的形式：
y
u
y
v
y
u
x
u
x
v
y
v
x
v
x
u
ii
iizf
)('
反例,u(x,y),v(x,y)如下：
00
0
),(),(
22
22
22
yx
yx
yxvyxu yx
xy
方程：
满足，则在点令
RC
zyxivyxuzf
0),(),()(
0 0 xvyuyvxu
.,0)(
)0,0(),(),(
从而不可导不连续在函数不连续，所以复变在点、但
zzf
yxvyxu
有定义，
内区域推论：设函数 Dyxivyxuzf ),(),()(
成立：
方程，并且四个偏导数存在且连续的和内在如果
RC
yxvyxuDzf
),(),()(
x
v
y
u
y
v
x
u
内解析。在则 Dzf )(
例 1 讨论下列函数的可导性和解析性：
).s in( c o s)( ( 3 ),;||( 2 ),;Re.1 2
yiyezf
zwzw
x
）（
，且，）因为解：（ 01 vxu
0 0 0,1 yvxvyuxu
.,
Re
从而不解析导可在整个复平面内处处不所以立，方程在整个复平面不成所以
zw
RC
且，，所以、,0||)2( 22222 vyxuyxzw
0 02 y,2 yvxvyuxu x
不解析。，因此，在整个复平面上不可导。，；可导，
在方程成立，所以处只有在点
)(
)(00)('0
)()0,0(
zf
zfzzfz
zfR
且
，，所以因为
,s in
c o s)s in( c o s)( ( 3 ),
yev
yeuyiyezf
x
xx
c o s y,s in y,
s in y,,c o s y
x
y
vx
x
v
x
y
ux
x
u
ee
ee
在整个复平面内解析；
方程成立，所以四个偏导数连续，并且 )(R-C zf
).()s in( c o s)(' zfyiye
x
v
i
x
u
zf x
事实上，
例为常数：在内下列条件之一，则内解析，而且满足在区域如果
Dzf
Dzf
)(
)(
为常数）、（
常数；、；、
|)(|3
)(Re)2( 0)(')1(
zf
zfzf
得，、由证明,0)(')1( yvyuxvxu iizf
)( 内为常数；在均为常数，从而、
由数学分析的结论知，
Dzfvu
，0?
y
v
x
v
y
u
x
u
方程知：
，由常数，所以、因为 RCu yuxu)2(
，0?
y
v
x
v
y
u
x
u
)( 内为常数；在均为常数，从而、
由数学分析的结论知，
Dzfvu
，,00 yvyuxvxu vuvu
导数得：
求、常数，分别对、因为 yxzf?2|)(|)3(
，，
方程得：解析，所以由因为
00
)(
y
u
x
u
y
u
x
u uvvu
RCzf
。，所以 0)(0)( 2222 yuxu vuvu
结论成立。
，，故时，当 0)(00)( 22 zfvuvu
It’s The End！
Thank You！
Complex Function Theory Department of Mathematics
第二章 复变函数第一节、解析函数
1,导数、解析函数
2,柯西 -黎曼条件导数于是邻域内任意一点，对的单值函数，
的某邻域内有定义在点设函数
zz
zzfw
0
0)(
，存在（为有限的复数）
，如果极限
A
z
zfzzf
z
w
zfzzfw
zz?
)()(
limlim
)()(
00
00
00
,)('
)()(
0
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即，或的导数，记为称为函数处可导，在则称函数
zzdz
dw
zf
zfAzzf
，
z
zfzzfzf
z?
)()(l im)(' 00
00
0)z( |)(|)('
:
0 zozzfw
或
)(
)(')(')(
0
0
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处可微。在处的微分，也称函数在函数为或也称
z
zzf
dzzfzzfzdf
导数的分析定义：
时，有，并且当使得当
，可以找到一个整数对任意的
||0
),(0
0zzDz
,|
)()(
|
0
0
A
zz
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解析函数的概念与求导法则
)(
)( 00
在处解析；称的邻域内处处可导，则及在如果
zf
zzzf
内解析函数；内解析，我们也说是在内处处解析，则称在区域如果
DD
zfDzf )()(
.
)(,
)(
解析内在闭区域那么称上每一点都属于内处处解析，而闭区域在区域如果
DzfG
DGzf
注解 1、“可微”有时也可以称为“单演”
，而“解析”有时也称为“单值解析”、“
全纯”、“正则”等；
注解 2、一个函数在一个点可导，显然它在这个点连续；
注解 2、解析性与可导性的关系：在一个点的可导性为一个局部概念，而解析性是一个整体概念；
注解：
注解 3、函数在一个点解析，是指在这个点的某个邻域内可导，因此在这个点可导，反之，
在一个点的可导不能得到在这个点解析；
注解 4、闭区域上的解析函数是指在包含这个区域的一个更大的区域上解析；
注解 5、解析性区域；
注解：
四则运算法则则上解析在区域和如果,)()( Dzgzf
上解析，并且有域在区、、
D
zgzgzfzgzfzgzf )0)(()()()()()()(
)(')()()(') ]'()([
)(')(') )'()((
zgzfzgzfzgzf
zgzfzgzf
2)]([ )(')()()(')( )( ' zg zgzfzgzfzg zf
复合函数求导法则
，内解析，又在区域内解析，函数在区域设函数
GDfGgw
Dzf
)()(
)(
)('))((') ) ] '(([)(' zfzfgzfgzh
并且有：
在内解析，则复合函数 )())(( zhzfgw
反函数求导法则
，又反函数且内解析，在区域设函数
0)('
)(
zf
Dzf?
))(('
1
)('
1)('
)( wfzf
z
wz?
则有：
存在且为连续，)()(1 wwfz
利用这些法则，我们可以计算常数、多项式以及有理函数的导数，其结果和数学分析的结论基本相同。
注解：
Cauchy-Riemann条件：
条件是可导的充要在点内确定，那么在区域设函数定理
Diyxzzf
Dyxivyxuzf
)(
),(),()( 1.3
处可微，
在点和虚部、实部 ),(),(),(1 yxyxvyxu
方程）：程（简称黎曼方满足柯西和、
RC
yxvyxu
-),(),(2
x
v
y
u
y
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定理 3.1的证明（必要性）：
导数的定义，可得：
，则由处可导，把记为在设 ibazfiyxzzf )(')(
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|)(|)()()(
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实部和虚部整理得：
。按，其中 yixzviuzfzzf )()(；|)(|),(),( zoybxayxuyyxxu；|)(|),(),( zoybxayxuyyxxu
x
v
y
u
y
v
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u
程成立：
方处可微，并有在及因此,RCyxyxvyxu?),(),(),(
程成立，则有方处可微，并有在及设 RCyxyxvyxu?),(),(),(；|)(|),(),( '' zoyyxuxyxuu yx；|)(|),(),( '' zoyyxvxyxvv yx
:方程可得由 RC?；|)(|))](,(),([ '' zoyixyxivyxuviuw xx
所以
ibayxivyxu xxzwz ),(),(lim ''0
处可导。在即 iyxzzf)(
定理 3.1的证明（充分性）：
解充要条件是内区域函数定理 Dyxivyxuzf ),(),()( 2.3
处处可微，
内在区域和虚部、实部 Dyxvyxu ),(),(1
方程）：程（简称黎曼方满足柯西和、
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yxvyxu
-),(),(2
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y
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复变函数的解析条件注解,
和数学分析中的结论不同，此定理表明解析函数 (可导函数 )的实部和虚部不是完全独立的，它们是柯西 -黎曼方程的一组解；
柯西 -黎曼条件是复变函数解析的必要条件而非充分条件（见反例）；
解析函数的导数有更简洁的形式：
y
u
y
v
y
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x
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u
ii
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反例,u(x,y),v(x,y)如下：
00
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方程：
满足，则在点令
RC
zyxivyxuzf
0),(),()(
0 0 xvyuyvxu
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从而不可导不连续在函数不连续，所以复变在点、但
zzf
yxvyxu
有定义，
内区域推论：设函数 Dyxivyxuzf ),(),()(
成立：
方程，并且四个偏导数存在且连续的和内在如果
RC
yxvyxuDzf
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x
v
y
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内解析。在则 Dzf )(
例 1 讨论下列函数的可导性和解析性：
).s in( c o s)( ( 3 ),;||( 2 ),;Re.1 2
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）（
，且，）因为解：（ 01 vxu
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从而不解析导可在整个复平面内处处不所以立，方程在整个复平面不成所以
zw
RC
且，，所以、,0||)2( 22222 vyxuyxzw
0 02 y,2 yvxvyuxu x
不解析。，因此，在整个复平面上不可导。，；可导，
在方程成立，所以处只有在点
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zf
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，，所以因为
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在整个复平面内解析；
方程成立，所以四个偏导数连续，并且 )(R-C zf
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事实上，
例为常数：在内下列条件之一，则内解析，而且满足在区域如果
Dzf
Dzf
)(
)(
为常数）、（
常数；、；、
|)(|3
)(Re)2( 0)(')1(
zf
zfzf
得，、由证明,0)(')1( yvyuxvxu iizf
)( 内为常数；在均为常数，从而、
由数学分析的结论知，
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，0?
y
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方程知：
，由常数，所以、因为 RCu yuxu)2(
，0?
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)( 内为常数；在均为常数，从而、
由数学分析的结论知，
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，,00 yvyuxvxu vuvu
导数得：
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，，
方程得：解析，所以由因为
00
)(
y
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x
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。，所以 0)(0)( 2222 yuxu vuvu
结论成立。
，，故时，当 0)(00)( 22 zfvuvu
It’s The End！
Thank You！
Complex Function Theory Department of Mathematics
