Department of Mathematics
第一章 复数及复平面第一节 复数及其几何表示
1,复数域
2,复平面
3,复球面与无穷大复数域,
每个复数具有 z=x+iy的形状,其中 x和 y是实数,i是虚数单位 (-1的平方根 )。 x和 y分别称为的实部和虚部,分别记作：
复数和相等是指它们的实部与虚部分别相等 。
如果 Imz=0,则 z可以看成一个实数；如果
Imz不等于零,那么称 z为一个虚数；如果,
Imz不等于零,而 Rez=0,则称 z为一个纯虚数 。
zyzx Im,Re
复数的四则运算,
复数的 四则运算 定义为：
复数在四则运算这个 代数结构 下,构成一个复数域 (对加,减,乘,除运算封闭 ）,记为
C,复数域可以看成实数域的扩张 。
)()()()( 21212211 bbiaaibaiba
)()())(( 122121212211 babaibbaaibaiba
2
2
2
2
2112
2
2
2
2
2121
22
11 )
)(
)(
ba
baba
i
ba
bbaa
iba
iba
复平面,
复数域 C也可以理解成平面 RxR,我们 称
C为 复平面,作映射：
则在复数集 C与平面 RxR之建立了一个 1-1对应 （ 双射 ） 。
平面上横坐标轴我们称为实轴,纵坐标轴称为虚轴；复平面一般称为 z-平面,w-平面等 。
),(:2 yxiyxzRC
复平面,
复数可以等同于平面中的向量等价类 （ 在平移关系下 ） 。 向量的长度称为复数的模,定义为
：
非零实轴之间的夹角称为复数的辐角,定义为：
22|| yxz
复数的共轭定义为：
),( yx
kxyz 2a r c t a nA r g
iyxz
复数的三角表示,
非零复数的三角表示定义为：
复数加,减法的几何表示如下图：
)s i n( c o s|| A r g ziA r g zzz
2z
1z0
21 zz?
21 zz?
2z?
2z
1z
2z
基本不等式,
关于两个复数的和与差的模,有以下不等式：
||||||)1( 2121 zzzz、
||||||||)2( 2121 zzzz
||||||)3( 2121 zzzz
||||||||)4( 2121 zzzz
|||Im||,||Re|)5( zzzz
zzz?2||)6(
2z
1z0
21 zz?
21 zz?
2z?
2z
1z
2z
例 1 试用复数表示圆的方程,
其中,a,b,c,d是实常数 。
解：利用
0)( 22 dcybxyxa
yzz
xzz
yxzz
2
,2
,
22
0 dzzzaz得：
).(
2
1 icb其中，
例 2 设,是两个复数,证明：1z 2z
21212121,zzzzzzzz
11 zz?
222111,iyxziyxz证明：设
)()( 221121 iyxiyxzz则，
)()( 2121 yyixx
)()( 2121 yyixx
212211 zziyxiyx
例 2
))(( 221121 iyxiyxzz则，
)()( 21212121 xyyxiyyxx
)()( 21212121 xyyxiyyxx
212211 ))(( zziyxiyx
])()([
)])(([
2121
2121
xyyxi
yyxx
111111 ziyxiyxz
三角表示的乘法：
利用复数的三角表示,我们可以更简单的表示复数的乘法与除法,设其中后一个式子应理解为集合相等 。
)s i n( co s|| 1111 A r g ziA r g zzz
)s i n( co s|| 2222 A r g ziA r g zzz
则有
)]s i n (
)[ c o s (||||
21
212121
A r g zA r g zi
A r g zA r g zzzzz
|||||| 2121 zzzz?
2121 )( A r g zA r g zzzA r g
三角表示的乘法：
同理,对除法,也有：
其中后一个式子也应理解为集合相等 。
)]s i n (
)[ c o s (||/||/
21
212121
A r g zA r g zi
A r g zA r g zzzzz
2121 )/( A r g zA r g zzzA r g
||/|||/| 2121 zzzz?
例 3设,是两个复数，求证,1z 2z
),R e (2|||||| 212221221 zzzzzz
)(|| 2121221 zzzzzz ）（证明：
））（ 2121 ( zzzz
21212211 zzzzzzzz
2121
2
2
2
1 |||| zzzzzz
)R e (2|||| 212221 zzzz
例 4、作出过复平面 C上不同两点 a,b的直线及过不共线三点 a,b,c的圆的表示式 。
a b
0Im?
ab
az直线：
,0a rg
ab
az
是实数，所以即
ab
az
例 4、作出过复平面 C上不同两点 a,b
的直线及过不共线三点 a,b,c的圆的表示式。
0)I m (?
bc
ac
bz
az
圆：
,0a r ga r g
bc
ac
bz
az
a
b
c
z
a,c,b,z构成一个圆内接四边形或在同以侧复数的乘幂：
利用复数的三角表示,我们也可以考虑复数的乘幂：
)s in( c o s|| n A r g zin A r g zzz nn
，则令 nn
z
z 1
)]s in (
)[ c o s (||
n A r g zi
n A r g zzz nn
,s i nco s)s i n( co s nini n
复数的乘幂：
进一步,有：
)]1s in ()1[ c o s (||
1
A r g zniA r g znzz nn
)]2a r g1s i n ()2a r g1[ c o s (|| n kznin kznzn
可以看到,k=0,1,2,…,n-1时,可得 n个不同的值,即 z有 n个 n次方根,其模相同,辐角相差一个常数,均匀分布于一个圆上 。 这样,复数的乘幂可以推广到有理数的情形 。
例 5、求所有值：
解：由于
4 )1( i?
)
4
s i n
4
(c o s21 ii
所以有
)]24(41s i n)24(41[c o s2)1( 84 kiki
)]
216
s i n ()
216
[ c o s (2)1( 84 kiki
3,2,1,0?k 有四个根 。
复球面与无穷大,
在点坐标是 (x,y,u)的三维空间中,把 xOy
面看作是 z 平面 。 考虑球面 S：
取定球面上一点 N(0,0,1)称为球极 。
我们可以建立一个复平面 C到 S-{N}之间的一个 1-1对应 （ 球极射影 ）,
iyxzuyx,1222
'1
''
u
iyx
iyxz
球极射影,
我们称上面的映射为球极射影：
1||
' 2
z
zz
x
1||
' 2
z
zz
y
1||
1||
' 2
2
z
z
u
u
x
y)1,0,0(N
)1,0,0(?S
O)0,,( yxA
)',','(' uyxA1,(x,y,0),(x’,y’,u’),
(0,0,1)三点共线
2,x:y:-1=x’:y’:u’-1;
无穷远点,
对应于球极射影为 N,我们引入一个新的非正常复数无穷远点，
称 为扩充复平面，记为 。
}{C?Cu
x
y
)1,0,0(N
)1,0,0(?S
O)0,,( yxA
)',','(' uyxA
无穷远点,
关于无穷远点,我们规定其实部,虚部,辐角无意义,模等于：
它和有限复数的基本运算为：
||
aa
)0( aaa
)(0 );0(0 aaaa
这些运算无意义,.0/0,/,0,
It’s The End！
Thank You！
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第一章 复数及复平面第一节 复数及其几何表示
1,复数域
2,复平面
3,复球面与无穷大复数域,
每个复数具有 z=x+iy的形状,其中 x和 y是实数,i是虚数单位 (-1的平方根 )。 x和 y分别称为的实部和虚部,分别记作：
复数和相等是指它们的实部与虚部分别相等 。
如果 Imz=0,则 z可以看成一个实数；如果
Imz不等于零,那么称 z为一个虚数；如果,
Imz不等于零,而 Rez=0,则称 z为一个纯虚数 。
zyzx Im,Re
复数的四则运算,
复数的 四则运算 定义为：
复数在四则运算这个 代数结构 下,构成一个复数域 (对加,减,乘,除运算封闭 ）,记为
C,复数域可以看成实数域的扩张 。
)()()()( 21212211 bbiaaibaiba
)()())(( 122121212211 babaibbaaibaiba
2
2
2
2
2112
2
2
2
2
2121
22
11 )
)(
)(
ba
baba
i
ba
bbaa
iba
iba
复平面,
复数域 C也可以理解成平面 RxR,我们 称
C为 复平面,作映射：
则在复数集 C与平面 RxR之建立了一个 1-1对应 （ 双射 ） 。
平面上横坐标轴我们称为实轴,纵坐标轴称为虚轴；复平面一般称为 z-平面,w-平面等 。
),(:2 yxiyxzRC
复平面,
复数可以等同于平面中的向量等价类 （ 在平移关系下 ） 。 向量的长度称为复数的模,定义为
：
非零实轴之间的夹角称为复数的辐角,定义为：
22|| yxz
复数的共轭定义为：
),( yx
kxyz 2a r c t a nA r g
iyxz
复数的三角表示,
非零复数的三角表示定义为：
复数加,减法的几何表示如下图：
)s i n( c o s|| A r g ziA r g zzz
2z
1z0
21 zz?
21 zz?
2z?
2z
1z
2z
基本不等式,
关于两个复数的和与差的模,有以下不等式：
||||||)1( 2121 zzzz、
||||||||)2( 2121 zzzz
||||||)3( 2121 zzzz
||||||||)4( 2121 zzzz
|||Im||,||Re|)5( zzzz
zzz?2||)6(
2z
1z0
21 zz?
21 zz?
2z?
2z
1z
2z
例 1 试用复数表示圆的方程,
其中,a,b,c,d是实常数 。
解：利用
0)( 22 dcybxyxa
yzz
xzz
yxzz
2
,2
,
22
0 dzzzaz得：
).(
2
1 icb其中，
例 2 设,是两个复数,证明：1z 2z
21212121,zzzzzzzz
11 zz?
222111,iyxziyxz证明：设
)()( 221121 iyxiyxzz则，
)()( 2121 yyixx
)()( 2121 yyixx
212211 zziyxiyx
例 2
))(( 221121 iyxiyxzz则，
)()( 21212121 xyyxiyyxx
)()( 21212121 xyyxiyyxx
212211 ))(( zziyxiyx
])()([
)])(([
2121
2121
xyyxi
yyxx
111111 ziyxiyxz
三角表示的乘法：
利用复数的三角表示,我们可以更简单的表示复数的乘法与除法,设其中后一个式子应理解为集合相等 。
)s i n( co s|| 1111 A r g ziA r g zzz
)s i n( co s|| 2222 A r g ziA r g zzz
则有
)]s i n (
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A r g zA r g zi
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三角表示的乘法：
同理,对除法,也有：
其中后一个式子也应理解为集合相等 。
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21
212121
A r g zA r g zi
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2121 )/( A r g zA r g zzzA r g
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例 3设,是两个复数，求证,1z 2z
),R e (2|||||| 212221221 zzzzzz
)(|| 2121221 zzzzzz ）（证明：
））（ 2121 ( zzzz
21212211 zzzzzzzz
2121
2
2
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1 |||| zzzzzz
)R e (2|||| 212221 zzzz
例 4、作出过复平面 C上不同两点 a,b的直线及过不共线三点 a,b,c的圆的表示式 。
a b
0Im?
ab
az直线：
,0a rg
ab
az
是实数，所以即
ab
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例 4、作出过复平面 C上不同两点 a,b
的直线及过不共线三点 a,b,c的圆的表示式。
0)I m (?
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az
圆：
,0a r ga r g
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z
a,c,b,z构成一个圆内接四边形或在同以侧复数的乘幂：
利用复数的三角表示,我们也可以考虑复数的乘幂：
)s in( c o s|| n A r g zin A r g zzz nn
，则令 nn
z
z 1
)]s in (
)[ c o s (||
n A r g zi
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,s i nco s)s i n( co s nini n
复数的乘幂：
进一步,有：
)]1s in ()1[ c o s (||
1
A r g zniA r g znzz nn
)]2a r g1s i n ()2a r g1[ c o s (|| n kznin kznzn
可以看到,k=0,1,2,…,n-1时,可得 n个不同的值,即 z有 n个 n次方根,其模相同,辐角相差一个常数,均匀分布于一个圆上 。 这样,复数的乘幂可以推广到有理数的情形 。
例 5、求所有值：
解：由于
4 )1( i?
)
4
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4
(c o s21 ii
所以有
)]24(41s i n)24(41[c o s2)1( 84 kiki
)]
216
s i n ()
216
[ c o s (2)1( 84 kiki
3,2,1,0?k 有四个根 。
复球面与无穷大,
在点坐标是 (x,y,u)的三维空间中,把 xOy
面看作是 z 平面 。 考虑球面 S：
取定球面上一点 N(0,0,1)称为球极 。
我们可以建立一个复平面 C到 S-{N}之间的一个 1-1对应 （ 球极射影 ）,
iyxzuyx,1222
'1
''
u
iyx
iyxz
球极射影,
我们称上面的映射为球极射影：
1||
' 2
z
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1||
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y)1,0,0(N
)1,0,0(?S
O)0,,( yxA
)',','(' uyxA1,(x,y,0),(x’,y’,u’),
(0,0,1)三点共线
2,x:y:-1=x’:y’:u’-1;
无穷远点,
对应于球极射影为 N,我们引入一个新的非正常复数无穷远点，
称 为扩充复平面，记为 。
}{C?Cu
x
y
)1,0,0(N
)1,0,0(?S
O)0,,( yxA
)',','(' uyxA
无穷远点,
关于无穷远点,我们规定其实部,虚部,辐角无意义,模等于：
它和有限复数的基本运算为：
||
aa
)0( aaa
)(0 );0(0 aaaa
这些运算无意义,.0/0,/,0,
It’s The End！
Thank You！
Complex Function Theory Department of Mathematics
