Department of Mathematics
第二章 复变函数第二节 初等解析函数 (1)
3,指数函数
4,多值函数导引：幅角函数指数函数的定义：;)(,1 xexfRx、
我们首先把指数函数的定义扩充到整个复平面 。
要求复变数 z=x+iy的函数 f(z)满足下列条件：
上解析；在,Czf )(2
);()()(,,3 212121 zfzfzzfCzz、
);()()( iyfeiyxfzf x首先，
),()()( yiByAiyf设指数函数的定义：
由解析性,我们利用柯西 -黎曼条件,有
),()()( yBieyAezf xx则
),()('),(')( yByAyByA
所以,
,s i n)(,c o s)( yyByyA
因此,
).s i n( co s yiyee xz
yiye iy s inc o s
我们也重新得到欧拉公式：
面上的解析拓广；
是实变指数函数在复平、指数函数 zew?2
指数函数的基本性质且有：在整个复平面是解析，
在整个复平面有定义，、指数函数 zew?1
zz ee?)'(
,2,1,02
||
kkyA r g e
ee
z
xz
，?
、从定义知道，3
.04?ze、
的周期函数：是周期为、指数函数 iew z?26?
，则若加法定理）：、指数函数代数性质（
222111,
5
iyxziyxz
)s in( c o s)s in( c o s 2211 2121 yiyeyiyeee xxzz
。即 2121ze zzz ee
极限，但有时，无：、指数函数的渐进性态z7
)]s in ()[ c o s ( 212121 yyiyye xx
21 zze
。即 zziz eieee )2s in2( c o se 2i2z
x
x
xz
z
elimelim z
0
0li meli m z
0
x
x
xz
z
e
：、指数函数的几何性态8
平面；为整个映照把
w
zzew z?2Im0,Re
平面的射线映照为把直线 wyz 0Im
2Im0,Re}{ a r g 00 zxzyw ；把线段；映照为平面的圆 }|{| 0xew?
y
x
z-平面
uw-平面
v
i?2 zew?
iy0
0x
L
'L
B
'B
多值函数导引：幅角函数,因为初等复变多值函数的多值性是由于辐角的多值性引起的,所以我们先研究辐角函数
：
} ),0{\C( Ar g zzw
它本身不是一般意义下的初等函数 。
w=Argz函数有无穷个不同的值：
0),( 2a r gAr g zZkkzzw?
其中 argz表示 Argz的主值,(我们也把 Argz的任意一个确定的值记为 argz)
za r g
多值函数导引：幅角函数,为了研究方便起见,我们把幅角函数在某些区域内分解为一些单值连续函数,每一个单值连续函数称为幅角函数在这区域内的一个单值连续分支 。
考虑复平面除去负实轴 （ 包括 0） 而得的区域 D
。 显然,在 D内,Argz的主值 argz
是一个单值连续函数 。
za r g
多值函数导引：幅角函数,对一个固定的整数 k，
也是一个单值连续函数 。
因此,w=Argz在区域 D内可以分解成无穷多个单值连续函数,它们都是 w=Argz在 D内的单值连续分支 。
我们首先研究下图的情形：
kz 2a r g?
沿负实轴的割线：
上沿下沿
下沿上沿
|a r g
|a r g
z
z
一般区域：
不变。
一圈时，绕时，
z
zzz
a r g
0 00?
2a r g
0 00
增加或减少一圈时，绕时，
z
zzz?
00?z
00?z
一般区域（含无穷远点）：
2a r g
"" 00
增加或减少一圈时，绕时，
z
zzz
0z
结论,因此,对于幅角函数 w=Argz,0和无穷远点是特殊的两点 。
在复平面上,取连接 0和无穷远点的一条无界简单连续曲线 L作为割线,得到一个区域 D,其边界就是曲线 L。 则可以将 argz分解成一些 连续分支：
1,当 L为负实轴时,幅角函数可以分解成无穷个单值连续分支；
2,一般区域见下图：
结论：
唯一确定。
由一个初值（起点）
每个单值连续分支穷个单值连续分支也可以分解成无za r g
结论,因此,对于幅角函数 w=Argz可以分解成无穷个单值连续分支
),( ar g2ar g 11 zkz
Argz在 C内上任一点 （ 非原点 ） 的各值之间的联系：通过作一条简单连续曲线围绕 0或无穷远点,让 z从某点按一定方向沿曲线连续变动若干周后,回到该点时,Argz相应地可从幅角函数的一值连续变动到它在预先指定的其它任一值,即从 Argz的一个单值连续分支在该点的值,连续变动到预先指定的其它单值连续分支在该点的值 。
例子：在 C上作割线得到区域 D=C-K,取 Argz在 D内的一个单值连续分支 f(z)=argz(arg1=0),那么
)5,(}0Im,1|4||{
)2,3(}0Im,1|1||{
zzz
zzzK
.)4(,)1( ff
O2?
1?
3?5?
4?
It’s The End！
Thank You！
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第二章 复变函数第二节 初等解析函数 (1)
3,指数函数
4,多值函数导引：幅角函数指数函数的定义：;)(,1 xexfRx、
我们首先把指数函数的定义扩充到整个复平面 。
要求复变数 z=x+iy的函数 f(z)满足下列条件：
上解析；在,Czf )(2
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多值函数导引：幅角函数,因为初等复变多值函数的多值性是由于辐角的多值性引起的,所以我们先研究辐角函数
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多值函数导引：幅角函数,为了研究方便起见,我们把幅角函数在某些区域内分解为一些单值连续函数,每一个单值连续函数称为幅角函数在这区域内的一个单值连续分支 。
考虑复平面除去负实轴 （ 包括 0） 而得的区域 D
。 显然,在 D内,Argz的主值 argz
是一个单值连续函数 。
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多值函数导引：幅角函数,对一个固定的整数 k，
也是一个单值连续函数 。
因此,w=Argz在区域 D内可以分解成无穷多个单值连续函数,它们都是 w=Argz在 D内的单值连续分支 。
我们首先研究下图的情形：
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不变。
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在复平面上,取连接 0和无穷远点的一条无界简单连续曲线 L作为割线,得到一个区域 D,其边界就是曲线 L。 则可以将 argz分解成一些 连续分支：
1,当 L为负实轴时,幅角函数可以分解成无穷个单值连续分支；
2,一般区域见下图：
结论：
唯一确定。
由一个初值（起点）
每个单值连续分支穷个单值连续分支也可以分解成无za r g
结论,因此,对于幅角函数 w=Argz可以分解成无穷个单值连续分支
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Argz在 C内上任一点 （ 非原点 ） 的各值之间的联系：通过作一条简单连续曲线围绕 0或无穷远点,让 z从某点按一定方向沿曲线连续变动若干周后,回到该点时,Argz相应地可从幅角函数的一值连续变动到它在预先指定的其它任一值,即从 Argz的一个单值连续分支在该点的值,连续变动到预先指定的其它单值连续分支在该点的值 。
例子：在 C上作割线得到区域 D=C-K,取 Argz在 D内的一个单值连续分支 f(z)=argz(arg1=0),那么
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